Questions tagged «co.combinatorics»

我今天的问题（像往常一样）有点愚蠢。但请您考虑一下。 我想知道树宽概念背后的起源和/或动机。我肯定知道FPT算法中使用了它，但是我不认为这就是定义此概念的原因。 我在Robin Thomas教授的课堂上写了关于这个主题的笔记笔记。我想我了解这个概念的一些应用（因为它将树的分离属性传递给分解的图），但是由于某种原因，我并不十分相信这个概念的产生是为了测量图的紧密度到树上。 我将努力使自己更加清楚（我不确定是否可以，如果问题不清楚，请告诉我）。我想知道在数学的其他分支中其他地方是否也存在类似的概念。我的猜测将是拓扑结构-但是由于缺乏背景，我什么也不能说。 我对此感到好奇的主要原因是，当我第一次阅读它的定义时，我不确定有人为什么会以及如何构想它以及达到什么目的。如果问题仍然不清楚，我将最终尝试以这种方式进行说明-让我们假装不存在树宽的概念。什么是离散设置的自然问题（或某些数学定理/概念的扩展）会导致人们将定义（如涉及的词）定义为树宽。

61 graph-theory  co.combinatorics  big-picture  ho.history-overview  treewidth 

在使用信息论以简单方式证明整洁的组合陈述时，您最喜欢的示例是什么？ 一些例子我能想到的都涉及到降低对本地解码的代码，如边界，在此纸：假设为一串二进制字符串的长度的Ñ它认为对于每个我，对于ķ 我不同双{ Ĵ 1，Ĵ 2 }，ê 我 = X Ĵ 1 ⊕ X Ĵ 2。那么m在n中至少是指数的，其中指数线性地取决于k的平均比率X1个，。。。，X米x1,...,xmx_1,...,x_mñnn一世iiķ一世kik_iĴ1个，Ĵ2j1,j2j_1,j_2Ë一世= xĴ1个⊕ XĴ2。ei=xj1⊕xj2.e_i = x_{j_1} \oplus x_{j_2}.。ķ一世/米ki/mk_i/m 另一个（相关的）示例是布尔立方体上的等距不等式（请在您的答案中详细说明）。 你有更多好的例子吗？最好简短易懂。

54 co.combinatorics  big-list  it.information-theory 

考虑{1,2，…，n}，F 1，F 2，… F t的不相交的子集。ŤttF1个，F2，… FŤF1,F2,…Ft{\cal F}_1,{\cal F_2},\dots {\cal F_t} 假设 （*） 对于每一个 和每ř ∈ ˚F我，和Ť ∈ ˚F ķ，有小号∈ ˚F Ĵ含有ř ∩ Ť。i < j < ki<j<ki \lt j \lt k[R ∈ ˚F一世R∈FiR \in {\cal F}_iŤ∈ ˚FķT∈FkT \in {\cal F}_k小号∈ ˚FĴS∈FjS \in {\cal F}_jř ∩ ŤR∩TR \cap T 基本问题是： 不能多大？？？ …

52 co.combinatorics  cg.comp-geom  open-problem  linear-programming 

我感兴趣的问题与生成随机排列有关。以概率成对交换交换门为基本构建块，产生nnn元素的均匀随机排列的最有效方法是什么？在这里，我将“概率成对交换门”作为操作以某种概率p在选定元素iii和之间实现交换门jjjppp并且可以为每个门自由选择，否则可以选择同一性。 我意识到这通常不是生成随机排列的方式，通常人们可能会使用Fisher-Yates混编之类的方法，但是，由于允许的操作不同，因此这对于我想到的应用程序将不起作用。 显然可以做到这一点，问题是效率如何。为了达到这个目标，最少需要多少个概率交换？ 更新： Anthony Leverrier提供了以下方法，该方法的确使用O(n2)O(n2)O(n^2)门产生了正确的分布，而Ito Tsuyoshi Ito提供了另一种在注释中具有相同缩放比例的方法。不过，我迄今见过的最好的下界⌈log2(n!)⌉⌈log2⁡(n!)⌉\lceil \log_2(n!) \rceil，它可以扩展为O(nlogn)O(nlog⁡n)O(n\log n)。因此，问题仍然悬而未决：是否是O(n2)O(n2)O(n^2)可以完成的最佳选择（即下界是否更好）？或者，是否有更有效的电路系列？ 更新： 一些答案和评论提出了完全由概率互换组成的电路，其中概率固定为1212\frac{1}{2}。由于以下原因（从注释中删除），这种电路无法解决此问题： 想象一个使用mmm这种门的电路。然后有2m2m2^m概率的计算路径，因此对于某个整数k ，任何排列都必须以概率k2−mk2−mk 2^{−m}进行。但是，对于均匀分布，我们要求k2−m=1n!k2−m=1n!k 2^{−m}=\frac{1}{n!}kn!=2mkn!=2mk n! = 2^mkkkn≥3n≥3n\geq33|n!3|n!3|n!n≥3n≥3n\geq 33∤2m3∤2m3\nmid 2^m 更新（来自提供赏金的mjqxxxx）： 提供的赏金用于（1）需要门的证明，或（2）对于使用少于门的任何个工作电路。n n （n − 1 ）/ 2ω(nlogn)ω(nlog⁡n)\omega(n \log n)nnnn(n−1)/2n(n−1)/2n(n-1)/2

48 co.combinatorics  randomness  probabilistic-circuits 

非正式地说，字符串 Kolmogorov复杂度是输出的最短程序的长度。我们可以使用它定义“随机字符串”的概念（如果，则是随机的），很容易看出，大多数字符串都是随机的（没有那么多短程序）。xxxxxxxxxK(x)≥0.99|x|K(x)≥0.99|x|K(x) \geq 0.99 |x| 如今，Kolmogorov复杂性理论和算法信息论已经相当发达。还有几个有趣的例子，它们在不同定理的证明中使用Kolmogorov复杂度，这些定理的陈述中不包含有关Kolmogorov复杂度的任何东西（构造性LLL，Loomis-Whitney不等式等）。 Kolmogorov复杂度和算法信息论在计算复杂度和相关领域中是否有很好的应用？我认为应该有使用Kolmogorov复杂度作为简单计数参数的直接替代的结果。当然，这不是那么有趣。

44 cc.complexity-theory  big-list  co.combinatorics  it.information-theory 

受这个问题的启发，尤其是Or回答的最后一段，我有以下问题： 您知道对称群表示理论在TCS中的任何应用吗？ 对称组是具有组运算组成的所有置换的组。的表示形式是从到可逆 ×复矩阵的一般线性组的同态。表示通过矩阵乘法作用于。的不可约表示是一个不留下不变的适当子空间的动作。有限群的不可约表示允许对非阿贝尔群进行傅立叶变换 { 1 ，… ，n } S n S n n × n C n S n C nSnSnS_n{1,…,n}{1,…,n}\{1, \ldots, n\}SnSnS_nSnSnS_nn×nn×nn \times nCnCn\mathbb{C}^nSnSnS_nCnCn\mathbb{C}^n。该傅立叶变换在循环/阿贝尔群上具有离散傅立叶变换的一些优良特性。例如，卷积在傅立叶基础上变为逐点乘法。 对称组的表示理论可以很好地组合。每个不可约表示都对应于的整数分区。这种结构和/或对称组的傅立叶变换是否在TCS中找到了任何应用？ ñSnSnS_nnnn

42 co.combinatorics  permutations  fourier-analysis  gr.group-theory 

如果对于将顶点映射到种颜色的每个函数有一个颜色分配，从而对于所有顶点，，则图是可选择的（也称为 -list- colorable，这样，对于所有边，。ķ ˚F ķ Ç v Ç （v ）∈ ˚F （v ）v 瓦特Ç （v ）≠ Ç （瓦特）kkkkkkfffkkkcccvvvc(v)∈f(v)c(v)∈f(v)c(v)\in f(v)vwvwvwc(v)≠c(w)c(v)≠c(w)c(v)\ne c(w) 现在假设图不是可选择的。也就是说，存在从顶点到颜色的元组的函数，该函数没有有效的颜色分配。我想知道的是，总共需要多少种颜色？可以有多小？是否存在一个数字（与无关），这样可以保证我们找到仅使用不同颜色的不可着色的？ķ ˚F ķ Ç ∪ v ∈ ģ ˚F （v ）Ñ （ķ ）ģ ˚F Ñ （ķ ）GGGkkkfffkkkccc∪v∈Gf(v)∪v∈Gf(v)\cup_{v\in G}f(v)N(k)N(k)N(k)GGGfffN(k)N(k)N(k) 与CS的相关性是，如果存在，我们可以在单指数时间内测试常数选择性（只需尝试f的所有\ binom {N（k）} {k} ^ n个选择，然后对于每个检查，检查它是否可以在时间k ^ nn ^ {O（1）}中着色），否则可能需要像n ^ {kn}这样更快地生长的东西。k …

39 graph-theory  co.combinatorics  graph-colouring  exp-time-algorithms 

除了纠错本身以外，纠错码在理论上还有什么应用？我知道以下三个应用程序：关于硬核钻头的Goldreich-Levin定理，Trevisan的提取器构造和布尔函数硬度的放大（由Sudan-Trevisan-Vadhan撰写）。 纠错码的其他“严肃”或“娱乐”应用是什么？ UPD：Reed-Solomon码的列表解码的一个有趣应用是对20个问题游戏的特定变体（以及另一个更直接的变体）的解决方案。

39 co.combinatorics  big-list  coding-theory 

四色定理（4CT）指出每个平面图都是四个可着色的。[Appel，Haken 1976]和[Robertson，Sanders，Seymour，Thomas 1997]给出了两个证明。这两个证明都是计算机辅助的，非常令人生畏。 图论中有几个推测暗示4CT。解决这些猜想可能需要更好地理解4CT的证明。这是一个这样的猜想： 猜想：令为平面图，令C为一组颜色，而f ：C → C为定点自由对合。让大号= （大号v：v ∈ V （G ^ ））是这样的GGGCCCF：C→ Cf:C→Cf : C \rightarrow CL = （Lv：v ∈ V（G ））L=(Lv:v∈V(G))L = (L_v : v \in V(G)) 针对所有 v ∈ V和| 大号v| ≥4|Lv|≥4|L_v| \geq 4v ∈ Vv∈Vv \in V 如果然后˚F （α ）∈ 大号v对于所有v ∈ V，对于所有的α ∈ Ç。α …

38 graph-theory  co.combinatorics  big-list  graph-colouring 

考虑Rubik's Cube的明显的推广。是NP难于计算最短的移动序列来解决给定的加扰多维数据集，还是有多项式时间算法？n × n × nn×n×nn\times n\times n [一些相关结果在我最近的博客文章中进行了介绍。]

38 cc.complexity-theory  co.combinatorics  np-hardness  open-problem  puzzles 

更新：所有无单色矩形4色的障碍物集（即可着色和不可着色网格大小之间的NxM“屏障”）现在是已知的。 任何人都愿意尝试5种颜色吗？;） 拉姆西理论引起以下问题。 考虑 ×网格图的着色。只要将四个具有相同颜色的单元格排列为某个矩形的角，就会存在A。例如，如果和具有相同的颜色，则它们将形成单色矩形。同样，和如果用相同的颜色着色，则会形成单色矩形。Ñ 米（0 ，0 ），（0 ，1 ），（1 ，1 ），（1 ，0 ）（2 ，2 ），（2 ，6 ），（3 ，6 ），（3 ，2 ）ķkkñnn米mmmonochromatic rectangle（0 ，0 ），（0 ，1 ），（1 ，1 ），(0,0),(0,1),(1,1),(0,0), (0,1), (1,1),（1 ，0 ）(1,0)(1,0)（2 ，2 ），（2 ，6 ），（3 ，6 ），(2,2),(2,6),(3,6),(2,2), (2,6), (3,6),（3 ，2 ）(3,2)(3,2) 问题：是否存在不包含单色矩形的 x网格图的色？如果是这样，请提供明确的颜色。17 17444171717171717 一些已知事实： 161616 ×是色的，没有单色矩形，但是已知的着色方案似乎没有扩展到 ×情况。（我省略了已知的 …

37 co.combinatorics  puzzles  open-problem  ramsey-theory  graph-colouring 

有2个 问题最近问上cs.se它们或者涉及或有一个特殊的等同于以下问题情况： 假设有一个序列a1,a2,…ana1,a2,…ana_1, a_2, \ldots a_n的nnn号码，使得∑ni=1ai=n(n+1).∑i=1nai=n(n+1).\sum_{i=1}^n a_i = n(n+1). 分解成两个置换的总和，ππ\pi和σσ\sigma，的1…n1…n1 \dots n，使得ai=πi+σiai=πi+σia_i = \pi_i + \sigma_i\,。 有一些必要条件：如果aiaia_i 进行排序，这样a1≤a2≤…≤ana1≤a2≤…≤ana_1 \leq a_2 \leq \ldots \leq a_n\,，那么我们必须 ∑i=1kai≥k(k+1).∑i=1kai≥k(k+1).\sum_{i=1}^k a_i \geq k(k+1). 但是，这些条件还不够。从我问的这个math.se问题的答案来看，序列5,5,5,9,9,9不能分解为两个排列的总和（一个人可以通过使用1或5都只能与4配对）。 所以我的问题是：这个问题的复杂性是什么？

29 cc.complexity-theory  ds.algorithms  co.combinatorics  np-hardness  permutations 

组合Nullstellensatz和Chevalley-Warning定理说，多项式方法是加法组合学中的强大工具。通过用适当的多项式表示问题，它们可以保证解的存在或多项式的解的数量。它们已被用于解决诸如受限和集或零和问题之类的问题，并且该领域中的某些定理只能通过这种方法来证明。 对我来说，这些方法的非构造方式确实令人惊讶，并且我很好奇我们如何应用这些方法来证明复杂性类的任何有趣的包含和分离（即使结果可以用其他方法解决）。 是否有已知的复杂性结果可以通过多项式方法证明？

29 cc.complexity-theory  reference-request  co.combinatorics  polynomials 

有多种算法可在多项式时间内决定是否可以在平面上绘制图形，甚至有许多算法具有线性运行时间。但是，我找不到一种非常简单的算法，可以在课堂上轻松，快速地进行解释，并且无法证明PLANARITY在P中。您知道吗？ 如有必要，可以使用Kuratowski定理或Fary定理，但不能使用任何深层次的定理，例如图次要定理。还要注意，我不在乎运行时间，我只想要一些多项式。 以下是到目前为止的3种最佳算法，它们显示了简单/无需深入理论所需的权衡。 算法1：通过使用该算法，我们可以检查图在多项式时间内是否包含或作为次要，我们使用了深层理论，得到了一个非常简单的算法。（请注意，正如Saeed所指出的那样，该理论已经使用了图嵌入，所以这并不是真正的算法方法，只是简单地告诉已经知道/接受图次要定理的学生。）ķ5ķ5K_5ķ3 ，3ķ3，3K_{3,3} 算法2 [基于某人的答案]：显而易见，它足以处理3个连通图。对于这些，找到一张脸，然后应用Tutte的弹簧定理。 算法3 [Juho建议]：Demoucron，Malgrange和Pertuiset（DMP）算法。画一个循环，剩余图的组件称为片段，我们以适当的方式嵌入它们（同时创建新片段）。这种方法不使用其他定理。

28 graph-algorithms  co.combinatorics  planar-graphs 

注意：这是关于标准的9x9数独谜题的。该解决方案只需支持已解决的法律难题。因此，解决方案不需要支持空单元格，而可以依赖于已解决的数独难题的属性。 我想知道，但是我想不出一个我满意的答案。天真的解决方案将为每个单元（81个单元）使用一个字节，共648位。更复杂的解决方案是将整个数独谜题存储在以9为底的数字（每个单元格一位）中，并要求位。⌈ 日志2（981））⌉ = 257⌈log2⁡(981))⌉=257\lceil\log_2(9^{81}))\rceil = 257 但是它仍然可以改进，例如，如果您知道3x3子网格中9个数字中的8个，则可以轻松推论第9个数字。您可以将这些想法继续下去，直到这个问题归结为：独有的数独解决方案的数量是多少？现在，您可以使用一个巨大的查找表，该表将每个二进制数映射到一个数独难题，但这将不是一个可用的解决方案。 所以，我的问题是： 在不使用查找表的情况下，存储数独谜题所需的最小位数是多少？使用哪种算法？

28 co.combinatorics  puzzles