Questions tagged «computability»

可计算性理论又称为递归理论。

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黑暗整数：Internet路由器上的通用计算
格雷格·埃根（Greg Egan）的小说“黑暗整数”（关于两个具有两个不同数学的宇宙的故事，通过证明数学上不一致的定理进行交流）声称可以仅使用其基本功能就可以在现有的互联网路由器上仅构建通用计算机数据包交换（准确地说是校验和校正）。 原则上可行吗？ 更新。 为了使问题更精确： 路由器网络必须具备的绝对最低限度的属性集是什么？
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与“第二大”
HT(n)HT(n)HT(n)nnnBB(n)=maxHT(n)BB(n)=maxHT(n)BB(n) = \max HT(n) 关于的第二大数字，我们能说什么？将此。HT(n)HT(n)HT(n)BB2(n)BB2(n)BB_2(n) BB2(n)BB2(n)BB_2(n)很难计算，因为它允许一个计算：只需等待另一台机器停止运行。天真地，我希望的差距像“忙碌的海狸一样”，比任何可计算的函数增长都快。这可以证明吗？BB(n)BB(n)BB(n)BB(n)−BB2(n)BB(n)−BB2(n)BB(n) - BB_2(n)
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不能通过停止问题的减少来证明不确定性
证明不确定性的通常方法是减少RE-完全问题，例如停止问题，一阶逻辑的有效性，丢番图方程的可满足性等。 已知存在递归枚举但不确定的问题，这些问题不是RE完整的，而是人工构造（即，为显示此“密度”结果而定义的集合）。 一个人如何解决不确定性而又不因RE完全问题而减少？对角化？
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可以机械地实施任何程序吗？
是否可以构建一个单一目的的（非图灵完整的）机械实现，例如Microsoft Word？是否可以实现诸如迭代器，一阶函数以及整个编程技术之类的东西？齿轮和其他机械零件能否代表数据结构甚至是程序对象？在某种程度上，这是否有必要建造一台通用的图灵等效机器，或者每个功能，变量等都可以以飞轮和/或齿轮，棘轮的形式拥有自己独特的机械结构，那么您呢？总之，我想知道标准计算机上的任何给定软件是否可以编译为机械蓝图。
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不可撤销证明的自然例子是什么？
据我了解，证明P = NP或P≠NP的​​证明将是不可相对的（如在递归理论中一样）。 但是，几乎所有证据似乎都是可以相对论的。 有哪些非可相对性证明的好例子，例如P = NP / P≠NP证明，这些证明不是平凡的还是人为的？ （我不是递归理论家，所以请避免缺少引用。） [编辑：更好的mathoverflow帖子]
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压缩有关Oracle Turing机器暂停问题的信息
众所周知，停止问题是无法解决的。但是，可以按指数方式“压缩”有关暂停问题的信息，以便对它进行解压缩是可计算的。 更确切地说，它是可能从的描述来计算图灵机和ñ位建议国家答案的停机问题对所有2 ñ - 1图灵机，假定建议国家是值得信赖的-我们让我们的顾问选择一些位来描述有多少图灵机以二进制形式停止，等到那么多停止后，再输出其余部分不停止。2ñ− 12n−12^{n}-1ñnn2ñ− 12n−12^{n}-1 该论证是证明Chaitin常数可用于解决停止问题的简单证明。令我惊讶的是它的锋利。从图灵机的描述和n位建议状态到2 n位暂停输出，对于图灵机的每个元组，对于某些元组，没有一个可计算的映射，从而获得正确的答案。如果有的话，我们可以通过对角化来产生一个反例，使用2 n个图灵机中的每一个，模拟程序对n位的2 n种可能排列之一进行的操作，然后选择自己的停止状态以违反预测。2ñ2n2^nñnn2ñ2n2^n2n2n2^n2n2n2^nnnn 根本无法使用暂停Oracle来压缩有关图灵机暂停问题的信息（您自己无法访问某种Oracle）。这些机器可以模拟您在所有可能的输入上预测的内容，而忽略那些您不会停止的输入，并选择它们的停止时间以按字典顺序给出您未对任何输入进行预测的第一个答案。 这激发了我思考其他神谕会发生什么： 是否有一个预言例，可以用线性和指数之间的中间增长率压缩具有该预言器的图灵机的停机问题？ f(n)f(n)f(n)mmmmmmnnnmmmmmmnnnmmm111000 n&lt;f(n)&lt;2n−1n&lt;f(n)&lt;2n−1n<f(n)<2^{n}-1ω(n)=f(n)=o(2n)ω(n)=f(n)=o(2n)\omega(n)=f(n)=o(2^n)
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Lambda演算如何精确地捕捉可计算性的直观概念？
我一直在试图绕过 -calculus 的内容，原因和方式，但是我无法理解“它为什么起作用”？λλ\lambda “直观地”，我得到了Turing Machines（TM）的可计算性模型。但是这个抽象只是让我感到困惑。λλ\lambda 让我们假设，TM不存在-那么如何才能“直观”地相信 -calculus捕获这种可计算性概念的能力。对所有事物拥有一堆功能及其可组合性如何暗示可计算性？我在这里想念什么？我读过阿隆佐·丘奇（Alonzo Church）的论文，但我仍然感到困惑，并希望对此有更“模糊的理解”。λλ\lambda
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空问题无法确定的最简单的计算模型是什么？
空问题无法确定的最简单的计算模型是什么？ 计算模型的空性问题（例如，有限状态自动机，交替下推自动机，带计数器的有界误差量子自动机，确定性LBA等）将确定对于给定的这种机器，该机器是否识别/定义了语言是空的。这里对机器的描述应该是有限的！ 我知道“最简单”这个词有点含糊。对于某些无与伦比的计算模型，可能会有多个答案。 作为一个特别的评论，我认为，通过分别关注一元和二进制字母，这个问题将变得更加有趣。 请注意，有许多计算模型可以确定停止问题，但无法确定空性问题（以及其他一些问题），例如线性有界自动机（LBA）。
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是否存在可以针对任何算法都无法给出时间界限的可确定问题？
是否存在可确定的问题，使得对于没有解决该问题的算法，我们无法根据输入实例的长度n给出时间限制？ 我想到这个问题是因为我在考虑以下问题： 假设我们有一个递归枚举但不确定的问题。进一步假设我是问题的“是”实例。然后，对于没有能够确定问题的“是”实例的算法，我们可以根据I的大小n给出一个时间范围。因为如果可以给出这样的时间范围，我们可以决定问题，因为我们可以简单地得出的结论是，超出时间限制时，我是“否”实例。 由于我们无法为递归式枚举，无法确定的问题提供时间限制（对于“是”实例的计算时间），我想知道是否也存在无法确定的可确定问题。
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将阈值问题简化为有限性问题
对于演算，通常更容易进行推论，其中的局限性是计算的局限性，而不是像“可以用多项式计算的时间量”这样的阈值。 在形式语言理论的例子，而使用∃n.xn+1=xn∃n.xn+1=xn\exists n. x^{n+1} = x^n表征非周期性独异，这是更容易使用profinite字，以便xω+1=xωxω+1=xωx^{\omega+1} = x^{\omega}。 在复杂性理论中，我所知道的唯一与之相关的技术是填充技巧，例如将P vs NP问题与EXPTIME vs NEXPTIME问题联系起来。但是复杂性问题的自然无限等价性是可计算性问题。 是否有一些结果通过某种编码将复杂性与可计算性问题联系在一起，从而使复杂性理论的资源阈值成为可计算性理论中计算的有限性问题？
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使用弱描述语言的Kolmogorov复杂性
我们可以将字符串的Kolmogorov复杂度xxx视为最短程序PPP和输入的长度，yyy使得x=P(y)x=P(y)x = P(y)。通常，这些程序是从某些图灵完备集合中提取的（例如PPP可能是图灵机的描述，或者可能是LISP或C中的程序）。即使当我们研究资源受限的Kolmogorov复杂性时，我们仍然会研究Turing机器，但是它们的运行时或空间使用量有一定的限制。其后果之一是字符串的复杂性无法确定。这似乎是一个尴尬的功能。 如果我们使用非图灵完整的计算模型来定义Kolmogorov复杂度会怎样？ 如果我们选择一个限制性足够强的模型（比如说我们的模型只能实现同一性），那么尽管我们也会丢失不变性定理，但是字符串的复杂度却可以确定。是否有可能拥有一个足够强大的模型，使其复杂度等于（图灵完备的偏移量，甚至是乘数）图灵完备模型，但又仍然脆弱到足以确定字符串的复杂度呢？有非图灵完整计算模型的Kolmogorov复杂度是否有标准名称？我在哪里可以了解到更多信息？
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函授后问题变体
这可能很简单，但请考虑标准的“邮政对应问题”： 鉴于和β 1，... ，β Ñ，找到索引的序列我1，... ，我ķ使得α 我1 ⋯ α 我ķ = β 我1 ⋯ β 我ķ。当然，这是不确定的。α1个，… ，αñα1,…,αN\alpha_1, \ldots, \alpha_Nβ1个，… ，βñβ1,…,βN\beta_1, \ldots, \beta_N一世1个，…… ，我ķi1,…,iKi_1, \ldots, i_Kα一世1个⋯ α一世ķ= β一世1个⋯ β一世ķαi1⋯αiK=βi1⋯βiK\alpha_{i_1}\cdots \alpha_{i_K} = \beta_{i_1}\cdots \beta_{i_K} 现在，我称其为“变体”，但实际上并非如此，它实际上丢弃了“对应”。无论如何，请考虑以下变体： 鉴于和β 1，... ，β Ñ，发现2个索引的序列我1，... ，我ķ，Ĵ 1，... ，Ĵ ķ使得α 我1 ⋯ α 我ķ = β Ĵ 1 ⋯ …
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捕获P或NP的VO逻辑是否存在自然限制？
论文 Lauri Hella和JoséMaríaTurull-Torres， 使用高阶逻辑计算查询，TCS 355 197–214，2006。doi：10.1016 / j.tcs.2006.01.009 提出了逻辑VO，可变阶逻辑。这样可以量化变量的阶数。VO非常强大，可以表达一些无法计算的查询。 （正如下面的Arthur Milchior指出的那样，它实际上捕获了整个分析层次结构。） 作者表明，仅通过对有序变量进行有界通用量化而获得的VO片段准确地表达了所有ce查询。VO允许阶变量在自然数范围内，因此限制阶变量显然是施加的自然条件。 是否有一个（好的）VO片段捕获P或NP？ 作为类比，在经典的一阶逻辑中，允许对对象集进行量化给出了一种更强大的逻辑，称为二阶逻辑或SO。SO捕获整个多项式层次结构；这通常写为PH = SO。有很多SO捕捉重要复杂类限制的形式：NP = SO，P = SO-喇叭，和NL = SO-克罗姆。这些是通过对允许的公式的语法施加限制来获得的。∃∃\exists 因此，有直接的方法可以限制SO获得有趣的类。我想知道是否存在类似的VO直截了当的限制，大致上是P或NP表达水平的正确水平。如果不知道这些限制，我会对可能的候选人的建议感兴趣，或者在某些论点中为什么不存在这样的限制感兴趣。 我检查了引用该论文的（几篇）论文，并检查了Google和Scholar上显而易见的短语，但没有发现明显相关的内容。有关逻辑的逻辑比一阶函数更强大的大多数论文似乎都没有解决限制“合理”计算领域的限制，但是似乎满足于算术和分析类领域。我对搜索的指针或不明显的短语感到满意；这对于从事高阶逻辑工作的人可能是众所周知的。
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