Questions tagged «ds.algorithms»

有关完成任务的明确指令的问题，以及有关时间/内存/等方面的相关分析。

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最大无H集的计算
在图中，独立集是不包含边作为诱导子图的顶点子集。在图中找到最大的独立集的问题是一个基本的算法问题，在这个问题上很难解决。让我们考虑一个更一般的问题，即在图中找到最大的无H集（的大小），其中无H意味着它不会诱导包含固定图H副本的子图作为诱导子图。 对于固定图H，给定输入图G，确定G中最大的无H集的大小是否难于NP？ 有没有一种明智的方法来构造图H（或H的类）的“表”，以便用上述问题的正确“是”或“否”的答案来填写条目？（让我们假设“ no” = P，甚至假设“ no”条目都意味着存在一个用于生成最大无H集的多时算法。） 否则，是否有非平凡的H类答案为是？...不？ 我在四处搜寻，研究了两个关于广义/无H色数的问题- 在这里和这里 -当我想到独立数H无类似物的（表面上更简单）“对偶”问题可能也是开放的。我知道有关随机图相关问题的经典论文，请参见。例如Erdos，Suen和Winkler（1995）或Bollobas和Thomason（2000），它们的研究仍很活跃。因此，也许已经有一些工作我还没有看到，但仍未解决这个更基本的问题，并且没有进行粗略的Internet搜索（因此没有参考请求标记）。
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尺寸减少而松弛？
约翰逊-Lindenstrauss引理表示大致是，对于任何集合的Ñ在点- [R d，存在地图˚F ：- [R d → [R ķ其中ķ = Ö （日志ñ / ε 2）使得对于所有X ，ÿ ∈ 小号： （1 − ϵ ）| | f （x ）− f （y ）| | SSSnnnRdRd\mathbb{R}^df:Rd→Rkf:Rd→Rkf:\mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}^kk=O(logn/ϵ2)k=O(log⁡n/ϵ2)k = O(\log n/\epsilon^2)x,y∈Sx,y∈Sx, y \in S 据了解，类似的语句是不可能的 ℓ 1度，但如果通过提供担保较弱各地获得这种下限的任何方式，知道了吗？例如，可以存在是用于上述引理的版本 ℓ 1（1 − ϵ ）| | F（x ）− …
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组同构问题最难的例子是什么？
如果存在从到的同构是双射的，则两个组和被称为同构。组同构问题如下：给定两个组，检查它们是否同构。有多种输入组的方式，其中最常用的两种是Cayley表和发电机组。在这里，我假设输入组由其Cayley表给出。更正式地：(G,⋅)(G,⋅)(G,\cdot)(H,×)(H,×)(H, \times)GGGHHH Group Isomorphism ProblemGroup Isomorphism Problem\textbf{Group Isomorphism Problem} Input : Input : \textbf{Input : }（G ，⋅ ）（H ，× ）两组和。(G,⋅)(G,⋅)(G,\cdot)(H,×)(H,×)(H,\times) Decide : Decide : \textbf{Decide : } ģ ≅ ħ是吗？G≅HG≅HG \cong H 让我们假设n=|G|=|H|n=|G|=|H|n = |G| = |H| 通常，在中不存在由Cayley表指定输入组时的组同构问题。尽管存在类似问题的组类（例如阿贝尔群组），但这些组是阿贝尔群的扩展，简单组等。即使对于幂等类两个组，没有什么算法比蛮力更好了众所周知。PP\textbf{P} Tarjan给出了用于组同构的蛮力算法，如下所示。令和为两个输入组，令为组的生成集。众所周知的事实是，每个有限组都允许生成大小的集合，并且可以在多项式时间内找到它。从到的同态的发电机组的图像数量是。现在，检查每个可能的同态是否都是双射的。整体运行时间为。GGGHHHSSSGGGO(logn)O(log⁡n)\mathcal{O}(\log n)SSSGGGHHHnlognnlog⁡nn^{\log n}nlogn+O(1)nlog⁡n+O(1)n^{\log n + \mathcal{O}(1)} 让我首先定义组的中心：GGG Z(G)={g∈G∣ag=ga,∀a∈G}Z(G)={g∈G∣ag=ga,∀a∈G}Z(G) = \{g \in G …
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没有已知量子优势的问题
我想知道当前的自然计算问题是什么，使用量子计算机没有已知的复杂性优势。 首先，我认为编辑距离的计算是一种最快的已知量子算法似乎是最快的经典算法。试探性地，我还建议将排序作为另一个没有已知的量子加速的问题（与最快的已知单位成本字RAM算法相比）。 尽管我不想设置严格的限制，但我对NP中的问题和/或没有已知有效经典解决方案的问题特别感兴趣。 根据Juan Bermejo Vega的建议，此处需要进一步澄清。我对NP中的问题感兴趣，如果您使用量子计算机，则NP中的问题目前根本没有已知的时间复杂性优势。OOO 我不是在关注可以证明没有优势的情况，也不是在关注指数加速（即多项式也可以）。到目前为止，似乎只有两个例子是我的问题，如果确实如此，这似乎非常令人惊讶。
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查找图的对偶
根据Gross和Tucker的《拓扑图论》一书，给定一个图在表面上的细胞嵌入（通过“表面”，我的意思是一个带有手柄的球体，而在以下指的是正好为的球体。可以通过将嵌入原始图的面视为顶点并为两个面之间添加一条边来定义对偶多重图，以使对应图面在原始图中具有相同的每一侧。n≥0n≥0n\geq 0SnSnS_nnnn 这是我的问题。给定一个图，我需要找到另一个图这样就存在一个表面并且在上存在的蜂窝嵌入，使得是嵌入的对偶。我知道有很多可能的图形；我只需要为每个图找到一个。GGGG′G′G'SSSGGGSSSG′G′G'GGGG′G′G'GGG 我有几个问题。我的当前策略是（1）确定属的，（2）发现的一个嵌入上，和（3）找到的双重该嵌入的。所有这些步骤都具有已知算法（尽管（1）是NP-Hard）。我想知道是否有找到绕过属类计算的的方法，因为这是该方法的瓶颈，这是我的第一个问题。我的第二个问题是：如果我知道是规则的，那可以简化类的计算吗？我的第三个问题是要求提供任何可以帮助我解决此问题的参考资料。nnnGGGGGGSnSnS_nG′G′G'GGG
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精确算法中使用的近似算法
近似算法可能会给输出带来一定的恒定因子。这比精确算法要令人满意的多。 但是，时间复杂度忽略了恒定因素。 所以我想如果下面的诀窍是可能的，或者使用，解决了一些问题，：乙∘ 一B∘AB \circ A 使用近似算法求解问题以得到常数因子之内的解S；一个AA小号SS 使用精确的算法来解决问题，其运行时间取决于S的权重，但是只要S是正确的解决方案就可以使用。乙BB小号SS小号SS 这样，近似值是精确算法的“子过程”，并且在步骤2中吞噬了在步骤1中丢失的常数因子。
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按平均
是否存在基于比较的排序算法，该算法平均使用了lg(n!)+o(n)lg(n!)+o(n)\mathrm{lg}(n!)+o(n)比较？ 最坏情况的lg(n!)+o(n)lg(n!)+o(n)\mathrm{lg}(n!)+o(n)比较算法的存在是一个开放问题，但是平均情况足以满足对每个输入具有预期的lg(n!)+o(n)lg(n!)+o(n)\mathrm{lg}(n!)+o(n)比较的随机算法。。的意义lg(n!)+o(n)lg(n!)+o(n)\mathrm{lg}(n!)+o(n)是它是o(n)o(n)o(n)从最佳比较，浪费平均只有o(1)o(1)o(1)每个元素的比较。 由于我已经有了这样的算法，因此我将其作为答案（使用Q / A格式），但是我欢迎其他答案，包括其他算法，无论这种算法是否已知，都可以改善o(n)o(n)o(n)以及情况lg(n!)+o(n)lg(n!)+o(n)\mathrm{lg}(n!)+o(n)。 先前的工作： 合并排序使用比较（即使在最坏的情况下）。 合并插入排序（也称为福特约翰逊排序）也使用比较，但常数要小得多。改进了基于比较的排序的平均复杂度（由岩和一雄和Teruyama Junichi联合提出），他们的（1,2）Insertion算法类似于下面我的部分回答。l g（n ！）+ Θ（n ）Θ（n ）lg(n!)+Θ(n)lg(n!)+Θ(n)\mathrm{lg}(n!)+ Θ(n)lg(n!)+Θ(n)lg(n!)+Θ(n)\mathrm{lg}(n!)+ Θ(n)Θ(n)Θ(n)Θ(n)
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均质字符串的复杂性
动机：在开发用于数据版本控制的工具时，我们最终提出了“区分”两组整数的算法，方法是提出一系列将一组整数转换为另一组的转换。我们能够将这个问题简化为以下非常自然的问题，该问题似乎具有编辑距离，通过交换分组和最小公共字符串分区的连接。 问题：我们给了一个字符串，即一个字母序列，我们的目标是以最小的成本将其 均匀化。也就是说，我们需要重新排列序列，以使所有相似的字母彼此相邻。 唯一允许的操作是拾取一个相似的字母子序列，然后将该子序列移动到任何位置，这将花费我1个单位。 表征此问题的复杂性的任何帮助将不胜感激！ 范例： aabcdab：输入 bcd aa ab：将第一个aa移到“ d”之后的位置之后 b bcdaaa：将结尾的b移动到第一个位置后 由于生成的字符串是同质的，因此成本为2。 请注意，我们对输出没有任何限制：只要它是同质的，我们就不需要确保任何特定的顺序。
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是否可以确定换能器的输出长度是否受输入长度的限制？
这里考虑的换能器是那些维基百科上称为有限状态换能器的换能器。换能器的行为，即它计算的关系，记为：单词是 iff的输出。TTT[T][T][T]yyyxxxx[T]yx[T]yx[T]y 问题：以下问题是否可判定： 给定：换能器和常规语言 决定：是否认为，是一个单词，表示？TTTLLL∀x∈L∀x∈L\forall x \in L∀y∀y\forall yx[T]yx[T]yx[T]y|y|≤|x||y|≤|x||y| \leq |x| 我正在寻找非平凡的分析/可解决的子案例，减少已知问题和/或相关参考。（现在甚至不能确定它总体上是可判定的……？） 动机：这个问题是由对数论问题的自动定理证明 /分析和询问（通常是对Collat​​z猜想的研究）引起的。
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我们可以仅使用恒定的时间和空间在[n]上构造一个k方向的独立置换吗？
令为固定常数。给定一个整数，我们想要构造一个置换使得：Ñ σ ＆Element; 小号Ñk > 0k>0k>0ñnnσ∈ 小号ñσ∈Sn\sigma \in S_n 该构造使用恒定的时间和空间（即预处理占用恒定的时间和空间）。我们可以使用随机化。 给定，可以在恒定的时间和空间中计算。σ （我）我∈ [ Ñ ]i∈[n]i\in[n]σ（我）σ(i)\sigma(i) 排列是方向独立的，即，对于所有，随机变量是独立的并且均匀地分布在。ķ 我1，... ，我ķ σσσ\sigmaķkk一世1个，…… ，我ķi1,…,iki_1, \ldots, i_k[ Ñ ]σ（我1个），… ，σ（我ķ）σ(i1),…,σ(ik)\sigma(i_1), \ldots, \sigma(i_k)[ n ][n][n] 我目前所知道的唯一一件事是使用伪随机数生成器使用每个值使用对数空间和多项式计算时间。σ（我）σ(i)\sigma(i) 背景 在最近的一些工作中，我需要上述类似的东西，最后我使用了一些较弱的东西：我允许重复输入并验证是否覆盖了我需要的所有数字（即一团糟）。具体来说，我得到了一个向独立序列，该序列可以在时间中使用恒定空间进行计算。拥有一些简单的东西，或者只知道已知的东西，那将是很好的。Ô （1 ）ķkkO （1 ）O(1)O(1) 假设条件 我假设单位成本的RAM模型。存储器/寄存器中的每个字的大小均为，每个基本算术运算都需要时间。我愿意假设任何合理的密码学假设（单向函数，离散对数等）。O （1 ）O （对数n ）O(log⁡n)O(\log n)O （1 ）O(1)O(1) 当前的事 正如Kaveh所建议的那样，这是我目前拥有的“简单”技巧（这很标准）：让是素数的多项式（认为为）。在这里，每个是从均匀且随机地采样的。很容易看到是具有重复的序列，但它是方向独立的，大约为的数字按此顺序出现。但是请注意，由于数字按此顺序重复，因此不是排列。p p n a …
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最小可分解分解
给定两个多面体和Q，P和Q，如果有多面体的有限集是equidecomposable P 1，... ，P Ñ和Q 1，... ，Q Ñ使得P 我和Q 我是所有全等我，P = ∪ ñ 我= 1个 P 我和Q = ∪ ñ 我= 1个 QPPP问QQPPPQQQP1,…,PnP1,…,PnP_1, \ldots, P_nQ1,…,QnQ1,…,QnQ_1, \ldots, Q_nPiPiP_iQiQiQ_iiiiP=∪ni=1PiP=∪i=1nPiP = \cup_{i=1}^n P_i。已知如果 P和 Q是等面积的多边形，则始终存在这样的等分分解，并且通常对于较大的尺寸不成立。 Q=∪ni=1QiQ=∪i=1nQiQ = \cup_{i=1}^n Q_iPPPQQQ 我对最小分解问题的复杂性感到好奇： 对于两个多边形和Q，找到一个equidecomposition P 1，... ，P ñ和Q 1，... ，Q ñ最小化ñ。PPPQQQP1,…,PnP1,…,PnP_1, \ldots, P_nQ1,…,QnQ1,…,QnQ_1, \ldots, Q_nnnn 是否有算法（精确，多项式，指数，逼近）？是否知道复杂性？
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区间列表之间的单调双射
我有以下问题： 输入：两组间隔和（所有端点都是整数）。 查询：是否有单调双射？T f ：S → TSSSTTTf:S→Tf:S→Tf:S \to T 在和上，包含设置顺序的双射是单调的。 Ť ∀ X ⊆ Ý ∈ 小号，˚F （X ）⊆ ˚F （Ý ）SSSTTT∀X⊆Y∈S, f(X)⊆f(Y)∀X⊆Y∈S, f(X)⊆f(Y)\forall X\subseteq Y \in S, \ f(X) \subseteq f(Y) [我在这里不需要相反的条件。更新：如果需要相反的条件，即，那么它将在PTIME中进行，因为它相当于对相应包含物的同构测试姿势（根据构造其阶次维数为 2），由Möhring在PTIME中定义，定理的可计算可计算类，定理5.10，p。61∀X,Y,X⊆Y⇔f(X)⊆f(Y)∀X,Y,X⊆Y⇔f(X)⊆f(Y)\forall X, Y, X\subseteq Y \Leftrightarrow f(X) \subseteq f(Y) ]。 问题出在：我们可以有效地检查给定的是否为单调双射。 ˚FNPNP\mathsf{NP}fff 是否有针对此问题的多项式时间算法？还是困难？NPNP\mathsf{NP} 这个问题可以更一般地描述为在阶数为 2的两个给定姿态之间存在单调双射 。 通过从这个问题的答案中得到启发，我知道问题是在尺寸不受限制时很难解决。但是，尚不清楚在尺寸受到限制的情况下，缩小是否还会起作用。NPNP\mathsf{NP} …
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多项式的整数根
我们可以使用什么算法找到具有整数系数的多项式所有整数根？f(x)f(x)f(x) 我观察到，即使所有系数都很大，Sage仍可以在几秒钟内找到根。如何做到这一点？f(x)f(x)f(x)
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