Questions tagged «lo.logic»

我很难理解构造演算的强归一化证明。我尝试遵循Herman Geuvers论文中的证明“构造微积分的强规范化的简短而灵活的证明”。 我可以很好地遵循推理的主线。每种类型的Geuvers构造TTT 解释 [[T]]ξ[[T]]ξ[\![T]\!]_\xi 基于对类型变量的一些评估 ξ(α)ξ(α)\xi(\alpha)。然后他构造一些术语解释(|M|)ρ(|M|)ρ(\!|M|\!)_\rho 基于对术语变量的一些评估 ρ(x)ρ(x)\rho(x) 并证明对于有效评估，该断言 (|M|)ρ∈[[T]]ξ(|M|)ρ∈[[T]]ξ(\!|M|\!)_\rho \in [\![T]\!]_\xi 对所有人 Γ⊢M:TΓ⊢M:T\Gamma\vdash M:T 持有。 我的问题：对于简单类型（如系统F类型），类型解释 [[T]]ξ[[T]]ξ[\![T]\!]_\xi 确实是一组术语，所以断言 （| 中号|）ρ∈ [[ T]]ξ(|M|)ρ∈[[T]]ξ(\!|M|\!)_\rho \in [\![T]\!]_\xi说得通。但是对于更复杂的类型，解释[[ T]]ξ[[T]]ξ[\![T]\!]_\xi不是一组术语，而是一些适当功能空间的一组功能。我认为，我几乎了解函数空间的构造，但是它不能为（| 中号|）ρ∈ [[ T]]ξ(|M|)ρ∈[[T]]ξ(\!|M|\!)_\rho \in [\![T]\!]_\xi 对于更复杂的类型 ŤTT。 任何人都可以解释或给出一些更易于理解的证明表示的链接吗？ 编辑：让我尝试使问题更清楚。上下文ΓΓ\Gamma 有类型变量的声明 α ：Aα:A\alpha:A和对象变量。如果适用于所有类型，则类型评估有效（α ：甲）＆Element; Γ(α:A)∈Γ(\alpha:A) \in \Gamma 与 Γ ⊢ 甲：□Γ⊢A:◻\Gamma\vdash A:\square 然后 ξ（α …

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一方面，哥德尔的第二不完全性定理指出，任何足以表达任何基本算术表达式的一致形式理论都不能证明其自身的一致性。另一方面，形式（重写）系统的Church-Rosser属性告诉我们它是一致的，因为并不是所有方程都是可导数，例如K≠≠\neqI，因为它们没有相同的范式。 然后，归纳构造演算（CIC）明确规定了这两个条件。它足以表示算术命题（实际上，λ βηλβη\lambda\beta\eta-微积分本身已经能够编码教堂数字并代表所有原始递归函数）。而且，CIC还具有汇合或Church-Rosser属性。但： CIC不能不能通过第二不完全性定理证明自己的一致性吗？ 还是只是说CIC无法证明其在系统内部的一致性，并且融合特性是一个元定理？还是CIC的融合特性不能保证其一致性？ 如果有人可以阐明这些问题，我将不胜感激！ 谢谢！

9 lo.logic  type-theory  lambda-calculus 

从丘奇定理我们知道确定一阶可满足性通常是不确定的，但是可以使用多种技术来确定一阶可满足性。最明显的是搜索有限模型。但是，一阶逻辑中有许多语句可以证明没有有限模型。例如，单射和非单射函数在其中运行的任何域都是无限的。 在没有有限模型或未知有限模型的情况下，我们如何证明一阶语句的可满足性？在自动定理证明中，我们可以通过几种方式确定可满足性： 我们可以否定句子，并寻找矛盾。如果找到一个，我们证明该语句的一阶有效性，从而证明其可满足性。 我们将饱和度与分辨率结合使用，并且没有推断。通常，我们会有无数的推断，因此这是不可靠的。 我们可以使用强迫，它假设模型的存在以及理论的一致性。 我不知道有人将强迫作为一种自动定理证明的机械化技术来实现，而且看起来并不容易，但是我对它是否已经完成或尝试过很感兴趣，因为它被用来证明许多陈述的独立性在集合论中，它本身没有有限的模型。 是否存在其他可用于自动推理的搜索一阶可满足性的已知技术，或者有人在研究自动强制算法？

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大多数从属类型系统对于归纳类型都具有严格的阳性条件。有人知道违反条件会导致系统不一致的例子吗？

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如果您还没有听说过Foetus，可以在这里继续阅读。它使用“调用矩阵”和“调用图”系统查找函数中所有递归调用的“递归行为”。为了表明函数终止，它表明对函数进行的递归调用的所有递归行为都遵循一定的“字典顺序”。它的终止检查器允许所有原始递归函数以及诸如Ackermann函数之类的函数。基本上，它允许多参数原始递归。这基本上也是Agda的终止检查器；我相信Coq也有一些类似的功能，尽管也许更通用。 通过阅读DA Turner的论文“ Total Functional Programming”。他解释说，他提出的语言将能够表达Godel研究的System T中看到的所有“原始递归功能”。他继续说，该系统“已知包括每个递归函数，其整体可以通过一阶逻辑证明”。 胎儿剂量允许所有原始递归功能吗？如果可以，那么是否允许不是原始递归函数的函数？可以提供答案吗？（因为我只是感兴趣，所以这实际上不是必需的；只是一些阅读有关此事的婚姻会很好） 额外的问题：基本递归函数在组合器方面有一个非常简洁的定义：类型S和K（不能表示定点组合器），零，后继函数和迭代函数；而已。还有其他更通用的语言，它们的定义如此简洁，并且所有表达式都以这些语言终止吗？

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这个问题本质上是我对Mathoverflow提出的问题。 一元二阶（MSO）逻辑是对一元谓词进行量化的二阶逻辑。也就是说，对集合进行量化。有几种MSO逻辑对于计算机科学中研究的结构至关重要。 问题1.单子二阶逻辑是否具有分类语义？ 问题2。对分类逻辑的处理经常谈论“高阶直觉逻辑”。我是否正确地假设它们是指高阶函数，而不是对二阶谓词的量化？ 问题3。（在Neel回答后于2013年11月8日添加）我对一阶量化的理解（以下面提到的Pitts表示）是因为它是针对投影态射影的回拉的。具体而言，通用量化被解释为的右伴随，而存在量化被解释为的左伴随。这些伴随关系必须满足一些条件，我有时将它们称为贝克-谢瓦尔利（Beck-Chevalley）和弗罗贝纽斯-互惠条件。π∗π∗\pi^*ππ\piπ∗π∗\pi^*π∗π∗\pi^* 现在，如果我们要量化谓词，我假设我处于笛卡尔封闭类别中，除了下面的与以前的结构不同之外，图片几乎相同。XXX ∃一世，X，∀一世，X：PC（我× X）→PC（我）∃一世，X，∀一世，X：PC（一世×X）→PC（一世） \exists_{I,X}, \forall_{I,X}: P_C(I\times X) \to P_C(I) 那正确吗？ 我相信我的思维障碍是因为我以前处理的是一阶超doctrines，不需要将该类设为笛卡尔封闭式，因此以后不再考虑。 背景和上下文。 我一直在研究安迪·皮茨（Andy Pitts）在他的《计算机科学中的逻辑手册》一书中对分类逻辑的介绍，但是我也熟悉Tripos理论在其博士学位论文中的论述，以及Awodey和Bauer的笔记。我开始研究Crole的《类型分类》以及Lambek和Scott的书，但是距我查阅最后两本书已经有一段时间了。 为了激发动力，我对下面定理中出现的那种MSO逻辑感兴趣。我不想处理在表达上等效于其中之一的逻辑。意思是说，我不想用高阶函数对单子谓词进行编码，然后再处理另一种逻辑，但是我很乐意研究包含这种编码的语义。 （Buechi和Elgot定理）（当结构的宇宙是有限字母上的有限词）时，如果语言可以在MSO中定义为带有表示连续位置的解释性谓词，则它就是正则语言。 （布契定理）（Buechi定理），当结构的整个宇宙是 omega- 有限字母表中的单词时，如果该语言在MSO中可以使用适当的解释谓词进行定义，则该语言就是 -regular。ωω\omegaωω\omega （撒切尔和赖特定理）只要在MSO中可以使用谓词进行解释，就可以由自底向上的有限树自动机识别一组有限树。 WS1S是一个后继者的弱单子二阶理论。公式定义了自然数集，二阶变量只能解释为有限集。WS1S可以通过将自然数元组编码为有限词来通过有限自动机来确定。 （拉宾定理）S2S是两个后继者的二阶理论。S2S可以由Rabin自动机决定。

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我在寻找公式可满足性的复杂性 ∀y1,…,yn,∃x1,…,xm,ϕ∀y1,…,yn,∃x1,…,xm,ϕ\forall y_1, \dots,y_n, \exists x_1,\dots,x_m, \phi 或公式 ∃x1,…,xm∀y1,…,yn,ϕ∃x1,…,xm∀y1,…,yn,ϕ \exists x_1,\dots,x_m \forall y_1, \dots,y_n,\phi 哪里 ϕϕ\phi 是以下形式的公式： ϕ:=ϕ∧ϕ | ¬ϕ | ϕ→ϕ | ψϕ:=ϕ∧ϕ | ¬ϕ | ϕ→ϕ | ψ\phi:= \phi \wedge\phi ~| ~\neg \phi ~| ~ \phi\to \phi~| ~\psi ψ:=t>t | t=tψ:=t>t | t=t\psi := t>t~| ~t=t t:=t+t | …

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我看到有些人在介绍函数的语法时使用Krivine的符号表示功能 λλ\lambda-结石。例如，λλ\lambda-术语 λ ˚F。λ X 。λ ÿ。F X ÿ λF。λX。λÿ。F X ÿ\lambda f . \lambda x . \lambda y . f\ x\ y（按照函数应用程序与左侧关联的常规约定，因此它实际上表示）写为（按照类似的约定，它实际上是指）。我看不出在最里面的周围有另一对括号的意义。人们为什么使用Krivine的符号而不是通常的符号？λ ˚F。λ X 。λ ÿ.((f x) y)λf.λx.λy.((f x) y)\lambda f . \lambda x . \lambda y . ((f\ x)\ y)λf.λx.λy.(f) x yλf.λx.λy.(f) x y\lambda f . \lambda x …

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关闭。这个问题是题外话。它当前不接受答案。 想改善这个问题吗？ 更新问题，使它成为理论计算机科学堆栈交换的主题。 7年前关闭。 我们如何将“ ”表示为一阶公式？P=P小号P一个CËP=PSPACEP=PSPACE 算术层次结构的哪个级别包含此公式（以及包含该公式的层次结构的当前最低已知级别是什么？）？ 有关参考，请参阅Lipton的此博客文章。

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众所周知，模态μμ\mu-演算是表达树/图属性的最具表现力的时态逻辑之一，而CTL *的表现力远小于μμ\mu-结石。 在这里我想问一个例子 μμ\mu-calculus公式，尽可能简单，在CTL *中无法表达，并希望对其含义进行解释（定点公式很快变得难以理解）。对于“具体”简单示例的任何良好参考也将是很棒的！ 先感谢您

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假设我们不知道Joe B.Wells从1994年得出的结果，即系统F（AKA）中的可打字性和类型检查都无法确定 λ2λ2\lambda 2）。在Barendregt的Lambda Calcula with types（1992）中，我发现由于Malecki 1989的证明，类型检查意味着可打字性。这是因为 存在 σσ\sigma 这样 M:σM:σM:\sigma 相当于 (λxy.y)M:(α→α)(λxy.y)M:(α→α)(\lambda xy.y)M : (\alpha\rightarrow\alpha) （这是因为如果某个术语在系统F中是可键入的，则其所有子术语都可以。） 反过来有没有简单的证明呢？就是说，证明可打字性意味着在系统F中进行类型检查？

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为了更好地理解论文，我试图简要了解最小定点逻辑。有一些地方让我陷入困境。 如果 G = （V，E）G=(V,E)G = (V,E) 是图 Φ （P）= { （一，b ）| G ^ ⊨ ë（一，b ）∨ P（一，b ）∨ ∃ Ž（E（a ，z）∧ P（z，b ））}Φ(P)={(a,b)∣G⊨E(a,b)∨P(a,b)∨∃z(E(a,z)∧P(z,b))} \Phi(P) = \{(a,b) \mid G \models E(a,b) \lor P(a,b) \lor \exists z (E(a,z) \land P(z,b)) \} 是二元关系的运算符 PPP。我不明白为什么最不固定的点P∗P∗P^* 的 PPP 是...的传递闭包 ËEE。该示例摘自有限模型理论及其应用（第60页）。 用最少固定的指针运算符扩展一阶逻辑时，我不明白为什么关系符号 小号一世SiS_i在公式中需要为正。正意味着每次发生小号一世SiS_i 公式中的否定符号数为偶数。 …

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这篇文章引用了Curry-Howard同构和Martin-Löf类型理论。 该帖子声称在数学的描述语言和计算机编程的基于操作的语言之间存在未来的“统一”。 我的问题是： 这些想法会提高（通过语言）编写可证明正确代码的能力吗？ 在理论层面上是否已经发现了MLTT的全部含义？ 这篇文章是否描述了在COQ或Agda中无法完成的任何事情？

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我正在尝试了解有关PTIME的p-最优证明系统和逻辑的文章。本文中有一个称为证明系统的概念，但我没有得到直觉： Σ = { 0 ，1 }Σ={0,1}\Sigma = \{0,1\} ...我们认同的子集的问题在。问QQΣ∗Σ∗\Sigma^* 我认为直觉是我们用（例如无向图）编码某种结构，而这些结构的子集就是问题（例如平面图）。Σ∗Σ∗\Sigma^* 问题的证明系统是一个在多项式时间内计算的的射影函数。问⊂Σ∗Q⊂Σ∗Q \subset \Sigma^*P：Σ∗→ QP:Σ∗→QP:\Sigma^* \to Q 现在可以说是特定结构中所有可能模型的集合（例如，所有无向图）。但这没有意义，因为为什么将无向图映射到子集上？它可以被编码为图灵机，但这也没有意义...Σ∗Σ∗\Sigma^* 有任何想法吗？

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由有限乘积和总和构造的函子具有闭合序数 ωω\omega，在Francois Metayer的这份手稿中进行了详细 介绍。即我们可以达到归纳类型nat:=μX.1+Xnat:=μX.1+Xnat := \mu X. 1 + X 通过迭代函子 1+X1+X1 + X，它在达到 ωω\omega 迭代。 但是一旦我们允许常数取幂，例如 μX.1+X+(nat→X)μX.1+X+(nat→X)\mu X. 1 + X + (nat \rightarrow X)， 然后 ωω\omega 还不够 我正在寻找包含幂运算的结果。哪种普通食品就足够了？ 尤其值得一提的是，提供了证明此类函子是 αα\alpha-对于某些序数是连续的 αα\alpha 就像上面的手稿一样。

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