量子相位估计和HHL算法-需要特征值的知识吗？
的量子相位估计算法（QPE）计算相关联于一个量子门的一个给定的特征向量特征值的近似值。UUU 形式上，令为的特征向量，QPE允许我们找到，即的最佳位近似值，从而使并且 |ψ⟩|ψ⟩\left|\psi\right>UUU|θ~⟩|θ~⟩\vert\tilde\theta\ranglemmm⌊2mθ⌋⌊2mθ⌋\lfloor2^m\theta\rfloorθ∈[0,1)θ∈[0,1)\theta \in [0,1)U|ψ⟩=e2πiθ|ψ⟩.U|ψ⟩=e2πiθ|ψ⟩.U\vert\psi\rangle = e^{2\pi i \theta} \vert\psi\rangle. 的HHL算法（原纸）作为输入的矩阵满足和量子态并计算编码线性系统的解。AAAeiAt is unitary eiAt is unitary e^{iAt} \text{ is unitary } |b⟩|b⟩\vert b \rangle|x⟩|x⟩\vert x \rangleAx=bAx=bAx = b 备注：每个Hermitian矩阵都说明上的条件。AAA 为此，HHL算法在表示的量子门上使用QPE 。多亏线性代数结果，我们知道如果是的特征值，那么是的特征值。量子线性系统算法中也说明了这一结果：底漆（Dervovic，Herbster，Mountney，Severini，Usher＆Wossnig，2018年）（第29页，方程式68和69之间）。U=eiAtU=eiAtU = e^{iAt}{λj}j{λj}j\left\{\lambda_j\right\}_jAAA{eiλjt}j{eiλjt}j\left\{e^{i\lambda_j t}\right\}_jUUU 借助QPE，HLL算法的第一步将尝试估算使得。这使我们得出方程 即即 通过分析条件和，得出的结论是，如果（即），则相位估计算法无法预测正确的特征值。θ∈[0,1)θ∈[0,1)\theta \in [0,1)ei2πθ=eiλjtei2πθ=eiλjte^{i2\pi \theta} = e^{i\lambda_j t}2πθ=λjt+2kπ,k∈Z, θ∈[0,1)2πθ=λjt+2kπ,k∈Z, θ∈[0,1)2\pi \theta = \lambda_j t + …