Questions tagged «finite-element»

一种求解常微分方程和偏微分方程的方法。问题的领域被分解成要素，并且在功能的基础上扩展了每个要素中的解决方案。有限元方法非常适合于自适应细化，不规则几何形状和良好的误差估计。

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线性PDE的这种简单误差估计如何？
令为的凸多边形有界Lipschitz域，令。- [R 2 ˚F ∈ 大号2（Ω ）ΩΩ\Omega[R2R2\mathbb R^2F∈ 大号2（Ω ）f∈L2(Ω)f \in L^2(\Omega) 然后的狄利克雷问题的解决方案在，上具有独特的解决方案并且被适定的，即对于某一常数我们有。Δ û = ˚FΔu=f\Delta u = fΩΩ\Omega跟踪u = 0trace⁡u=0\operatorname{trace} u = 0∂Ω∂Ω\partial\OmegaH2H2H^2CCC∥ ü ∥H2≤ ç∥ ˚F∥大号2‖u‖H2≤C‖f‖L2\|u\|_{H^2} \leq C \|f\|_{L^2} 对于某些有限元逼近üHuhu_h，例如在均匀网格上具有节点元素的情况下，我们得到误差估计 ∥ ü - üH∥H1个≤ ç^ h ∥ ü ∥H2‖u−uh‖H1≤Ch‖u‖H2\| u - u_h \|_{H^1} \leq C h \| u …
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二阶六面体有限元是否需要8个高斯点？
在不引入非物理模式的情况下，具有少于8个高斯点的六面体有限元是否可以获得二阶精度？单个中心高斯点引入了非物理剪切模式，并且与四面体离散化相比，8个高斯点的标准对称排列昂贵。 编辑：有人要求方程式。我感兴趣的方程是动态或准静态的非线性弹性。准静态方程为 ∇ ＆CenterDot;＆P（＆dtri; φ ） = 0∇⋅P（∇ϕ）=0\nabla \cdot P\left(\nabla \phi \right) = 0 其中，和是超弹性的第一Piola-Kirchoff应力函数。一个简单的例子是可压缩的新霍克函数，其中 ϕ ：Ω → R3ϕ：Ω→[R3\phi : \Omega \to \mathbf{R}^3Ω ⊂ ř3Ω⊂[R3\Omega \subset \mathbf{R}^3P：R3 × 3→ R3 × 3P：[R3×3→[R3×3P : \mathbf{R}^{3 \times 3} \to \mathbf{R}^{3 \times 3}P（F）= μ （F- ˚F- Ť）+ λ ˚F- Ť日志det FP（F）=μ（F-F-Ť）+λF-Ť日志⁡tF P(F) = …
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正交规则，方法和参考
至少有一个相当全面的正交规则百科全书，似乎没有在相当长的时间内更新过，并且访问受到限制。此资源是指几种古典和现代资源，通常可以很好地组合在一起。但是，它是从纯粹的理论方法出发构造正交规则的，因此错过了用于有限元计算的更实用的方法。 是否存在更多关于正交规则的多学科纲要，还是没有人知道开放源代码库，该库为简单域（例如用于有限元素的方法）实现了广泛的此类方法？
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在FEM中，为什么刚度矩阵是正定的？
在FEM类中，通常认为刚度矩阵是正定的，但我只是不明白为什么。有人可以解释一下吗？ 例如，我们可以考虑泊松问题： 其刚度矩阵为： K_ {ij} = \ int_ \ Omega \ nabla \ varphi_i \ cdot \ nabla \ varphi_j \，d \ Omega， 其中是对称且正定的 对称性是一个显而易见的特性，但是对我而言，正定性不是那么明确。−∇2u=f,−∇2u=f, -\nabla^2 u = f,Kij=∫Ω∇φi⋅∇φjdΩ,Kij=∫Ω∇φi⋅∇φjdΩ,K_{ij} = \int_\Omega\nabla\varphi_i\cdot\nabla\varphi_j\, d\Omega,
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您能举一些严重使用无网格方法的例子吗？
我想听听有关使用无网格方法（例如基于移动最小二乘函数的无网格Galerkin）的科学代码和商业软件包的信息。“严重”是指它们可用于解决与FEM解决的问题相当的问题。 自成立以来已经十五年了。开发它们的人认为它们非常有前途。我只是想了解当前的技术水平。
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周围是否有“轻量级”的FEM软件包？
基本上，FEM似乎是一个“已解决”的问题。现有许多强大的框架，例如Trilinos，PETSc，FEniCS，Libmesh或MOOSE。 它们的共同点是：它们非常“重”。首先，安装通常非常麻烦。其次，它们的接口/ API很繁琐-您必须将整个想法转化为相应库的思想。这也意味着很难满足特殊要求或现有代码的互操作性和可扩展性。 其他项目（例如随机示例）Boost，LibIGL，Aztec（线性求解器），Eigen或CGAL证明，绝对有可能编写功能强大的库，这些接口可以通过非常精简的界面无缝集成到C ++或Python代码中，而无需安装超重的框架。 FEM是否有真正轻巧的包装？我不是在寻找简单，自动的求解器-我是在寻找一个提供强大功能，同时保持精益接口，与常见数据结构（例如C ++ STL）互操作性以及轻量级安装（例如仅标题）的库。
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右侧仅在时的有限元方法的收敛性（泊松方程）
我知道分段线性有限元逼近 uhuhu_h 的 Δu(x)=f(x)in Uu(x)=0on ∂UΔu(x)=f(x)in Uu(x)=0on ∂U \Delta u(x)=f(x)\quad\text{in }U\\ u(x)=0\quad\text{on }\partial U 满足 ∥u−uh∥H10(U)≤Ch∥f∥L2(U)‖u−uh‖H01(U)≤Ch‖f‖L2(U) \|u-u_h\|_{H^1_0(U)}\leq Ch\|f\|_{L^2(U)} 假设足够光滑并且。UUUf∈L2(U)f∈L2(U)f\in L^2(U) 问题：如果，我们是否有以下类似的估计，其中两侧都取了一个导数： f∈H−1(U)∖L2(U)f∈H−1(U)∖L2(U)f\in H^{-1}(U)\setminus L^2(U)∥u−uh∥L2(U)≤Ch∥f∥H−1(U)?‖u−uh‖L2(U)≤Ch‖f‖H−1个(ü）？ \|u-u_{h}\|_{L^2(U)}\leq Ch\|f\|_{H^{-1}(U)}\quad? 你能提供参考吗？ 思想：由于我们仍有，因此应该有可能在获得收敛。直观地讲，这甚至可以使用分段常数函数。ü ∈H1个0（U）ü∈H01个（ü）u\in H^1_0(U)大号2（U）大号2（ü）L^2(U)
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如何在整体稀疏有限元刚度矩阵中有效地实现Dirichlet边界条件
我想知道整体稀疏有限元矩阵中的Dirichlet边界条件实际上是如何有效实现的。例如，假设我们的全局有限元矩阵为： ķ=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢520− 10241个0001个632− 1037000203⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥和右侧矢量图b =⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢b 1b 2b 3b 4b 5⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥K=[520−102410001632−1037000203]and right-hand side vectorb=[b1b2b3b4b5]K = \begin{bmatrix} 5 & 2 & 0 & -1 & 0 \\ 2 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 3 & 2 \\ -1 & 0 & 3 …
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随时间变化的PDE的时空有限元离散化
在FEM文献中，半变量方法通常用于时变PDE的解决方案中。我还没有看到一种完全可变的方法，即FEM将空间和时间离散化，也许允许使用非结构化的时空网格。尽管时间步进方法可能更易于实现，但是否存在时空网格划分不可行的特定原因？我想人们必须定制网格来尊重给定问题的物理特性，但是我不确定。
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自适应有限元法使用哪些新颖的数据结构？
许多自适应FEM库使用更高级的网格数据结构来处理添加/删除节点，边，三角形，四面体等。例如，p4est库使用八叉树数据结构进行自适应网格细化。您很少会在静态网格物体上找到用于计算的八叉树。 自适应有限元法在线性代数方面有什么变化？ 我能想到的最直截了当的方法是，每当细化或粗化网格时，就完全重建所有系统矩阵。如果网格自适应操作很少发生，那么最终将在其余计算中分摊这样做的费用。通过这种方法，可以轻松利用现有的稀疏线性代数软件（PETSc，Trilinos等）。 这个钝器方法是最常用的方法，还是在精炼过程中可以重用或修改旧矩阵的库？毕竟，在网格自适应过程中，大多数网格和相应的矩阵都是不变的。
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如何消除线性弹性中的刚体运动？
我想解决 Ku=bKu=bK u = b 哪里 KKK是我的刚度矩阵。但是，可能缺少一些约束，因此系统中可能仍然存在一些刚体运动（由于特征值零）。由于我使用CG求解线性系统，因此这是不可接受的，因为有时CG不会收敛于半正问题（但有时我会收敛）。 实际上，我在使用惩罚性置换方法，因为我要添加形式上的惩罚 α||u||2α||u||2 \alpha ||u||^2弹性能量。所以能量读 W(u):=12uT(K+αI)u−btuW(u):=12uT(K+αI)u−btu\begin{equation} \mathcal W(u) := \frac{1}{2} u^T (K + \alpha I) u - b^t u \end{equation} 哪里 αα\alpha与刚度矩阵的一些对角线输入成比例。但这实际上起到了抑制某些时候我想要的变形模式的作用。 我的问题是： a）我可以变换原始系统，所以必须使其不具有奇异性和正定性（例如坐标变换或全等变换或其他）吗？我的想法是使用这种转换在转换后的问题上仍然使用CG b）有什么标准方法可以处理这些奇异现象？ 非常感谢你 ！ 亲切的问候， 汤姆
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的建设
P. Oswald 在论文的Biharmonic方程的层次一致有限元方法中声称Clough-Tocher型元素具有C1个C1个C^1-连续性，同时是每个三角形上的三次多项式。他没有给出一组明确的基函数，而只是给出了正交点上的标准自由度。 类似地，在《有限元方法的数学理论》第3章中，作者为我们提供了三次Hermite有限元的构造，但他们没有提到三次Hermite元素的连续性。 但是，在本文的微分复数和数值稳定性中，Doulgas Arnold提出了C1个C1个C^1/H2H2H^2-符合离散空间，我们应该使用Hermite五次（或更确切地说是Argyris）有限元，这很难明确表示。 所以这是我的问题： （1）是否有任何论文提出了明确的公式来 C1个C1个C^1/H2H2H^2三角形或四面体网格上的三维有限元？ （2）分段三次应为以下项的最小多项式要求 C1个C1个C^1-连续性？
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