理论计算机科学

理论计算机科学家和相关领域的研究人员的问答

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是否存在可以针对任何算法都无法给出时间界限的可确定问题？
是否存在可确定的问题，使得对于没有解决该问题的算法，我们无法根据输入实例的长度n给出时间限制？ 我想到这个问题是因为我在考虑以下问题： 假设我们有一个递归枚举但不确定的问题。进一步假设我是问题的“是”实例。然后，对于没有能够确定问题的“是”实例的算法，我们可以根据I的大小n给出一个时间范围。因为如果可以给出这样的时间范围，我们可以决定问题，因为我们可以简单地得出的结论是，超出时间限制时，我是“否”实例。 由于我们无法为递归式枚举，无法确定的问题提供时间限制（对于“是”实例的计算时间），我想知道是否也存在无法确定的可确定问题。
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满足特定语言视图的最小DFA
说一个有语言，但一个不知道是什么的字符串实际上是语言的一部分。所有一个具有是语言的有限视图：一个有限组琴弦甲⊆ 大号已知是在语言，和一组有限的字符串乙⊆ （Σ * ∖ 大号）已知为不会在语言。大号＆SubsetEqual; ＆Sigma;∗L⊆Σ∗L \subseteq \Sigma^*一个⊆ 大号A⊆LA \subseteq L乙⊆ （Σ∗∖ L ）B⊆(Σ∗∖L)B \subseteq (\Sigma^* \setminus L) 例如，假设我有和B = { b ，a a b ，a a a b a }。我的语言可能是L = { a 2 i + 1 b j | 我，Ĵ ∈ Ñ }，因为甲A = { a b …
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计算布隆过滤器的近似人口
给定大小为N位和K个哈希函数的Bloom过滤器，其中设置了过滤器的M位（其中M <= N）。 是否可以估计插入到布隆过滤器中的元素数量？ 简单的例子 我一直在考虑以下示例，假设BF为100位，并设置了5个散列函数，其中设置了10位... 最佳情况：假设哈希函数确实是完美的，并且为X个值的值唯一地映射了一点，那么在设置了10位的情况下，我们可以说仅在BF中插入了2个元素 最坏的情况：假设哈希函数很差，并且始终映射到同一位（彼此之间是唯一的），那么可以说，BF中已插入10个元素 范围似乎是[2,10]，此范围内的大约可能由过滤器的假阳性概率确定-在这一点上，我陷入了困境。
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动态图中的最大增量流量
我正在寻找一种快速算法来计算动态图中的最大流量。即给定的曲线图和小号，吨∈ V我们有最大流量˚F在ģ从小号到吨。然后，新的/旧的节点u加上/删除其相应边以形成图形G 1。新创建的图形中的最大流量是多少？有没有办法防止重新计算最大流量？G = （V，E）G=(V,E)G=(V,E)小号，吨∈ Vs,t∈Vs,t\in VFFFGGGsssŤttüuuG1个G1G^1 任何不占用大量时间/内存的预处理都值得赞赏。 最简单的想法是重新计算流量。 另一个简单的想法是，保存所有先前在最大流量计算中使用的扩展路径，添加一个顶点，我们可以找到简单的路径（在上一步的更新的容量图中），该路径从源头开始，一直到v，然后转到到了目的地，但问题是，这条道路应该是简单的，我找不到比Ø （ñ ⋅ 米）的这种情况下，米= | E | 。（还要注意，如果只是一条路径，可以在O （n + m ）中完成，但事实并非如此。）vvvvvvø （Ñ ⋅ 米）O(n⋅m)O(n\cdot m)m = | Ë|m=|E|m=|E|O （n + m ）O(n+m)O(n+m) 同样对于删除节点以上想法是行不通的。 我也已经看过诸如渐进式边缘法之类的论文，但是在这种情况下它们似乎还不够好，每个边缘的多于O （m ），并且在这种情况下似乎不合适（我们只是重新计算了流量）。另外，目前我正在使用Ford-Fulkerson最大流量算法。如果在线算法有更好的选择，那么很高兴知道这一点。O （米）O(m)O(m)
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将阈值问题简化为有限性问题
对于演算，通常更容易进行推论，其中的局限性是计算的局限性，而不是像“可以用多项式计算的时间量”这样的阈值。 在形式语言理论的例子，而使用∃n.xn+1=xn∃n.xn+1=xn\exists n. x^{n+1} = x^n表征非周期性独异，这是更容易使用profinite字，以便xω+1=xωxω+1=xωx^{\omega+1} = x^{\omega}。 在复杂性理论中，我所知道的唯一与之相关的技术是填充技巧，例如将P vs NP问题与EXPTIME vs NEXPTIME问题联系起来。但是复杂性问题的自然无限等价性是可计算性问题。 是否有一些结果通过某种编码将复杂性与可计算性问题联系在一起，从而使复杂性理论的资源阈值成为可计算性理论中计算的有限性问题？
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稀疏输入上的计算功能的单调电路复杂性
重一个二进制串的X ∈ { 0 ，1 } Ñ是那些在字符串中的数量。如果我们有兴趣对输入很少的输入计算单调函数感兴趣，该怎么办？|x||x||x|x∈{0,1}nx∈{0,1}nx\in\{0,1\}^n 我们知道，对于单调电路，很难确定一个图是否具有 -clique（尤其是参见Alon Boppana，1987），但是，如果一个图最多具有k 3个边，则有可能找到大小为单调的有界深度电路˚F （ķ ）⋅ ñ Ô （1 ） ，其决定ķ -clique。kkkk3k3k^3f(k)⋅nO(1)f(k)⋅nO(1)f(k)\cdot n^{O(1)}kkk 我的问题：即使重量小于输入，有没有单调电路难以计算的函数？这里硬装置的电路尺寸 Ñ ķ Ω （1 ）。kkknkΩ(1)nkΩ(1)n^{{k}^{\Omega(1)}} 甚至更好：即使我们只关心权重和k 2的输入，是否存在一个很难计算的显式单调函数？k1k1k_1k2k2k_2 埃米尔耶扎贝克已经观察到，已知的下界保持为分开两个类的输入（单调电路 -cliques VS最大（一- 1 ） -colorable图形）在概率参数一些独立的成本，从而有可能使之用于固定权重的两类输入。这将使k 2是我要避免的n的函数。aaa(a−1)(a−1)(a-1)k2k2k_2nnn 真正想要的是一个比n小得多的和k 2的显式硬函数（如在参数化复杂度框架中）。甚至更好，如果ķ 1 = ķ 2 + 1。 k1k1k_1k2k2k_2nnnk1=k2+1k1=k2+1k_1=k_2+1 注意，对于的肯定答案将意味着任意电路的指数下限。k1=k2k1=k2k_1=k_2 更新：这个问题可能是部分相关的。
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有弱的gegebra同态之类的东西吗？
给定一个endofunctor，我们可以将观测函数定义为对任何 -coalgebra 都是多态的函数，即对任何 -coalgebra都定义了。 另一角度看待观测函数是作为最终代数（如果存在）的函数。我们通过将具有唯一同态性的观察函数与最终的 coalgebra 组合来自动获得多态性。但这仅在最终的 -coalgebra存在的情况下有效。˚F ö b 小号˚F ⟨ 甲，Ç ：甲→ ˚F 甲⟩ ø b 小号：＆ForAll; ⟨ 甲，Ç ⟩ 。A → B FF:Set→SetF:Set→SetF : Set \rightarrow SetFFFobsobsobsFFF⟨A,c:A→FA⟩⟨A,c:A→FA⟩\langle A, c : A \rightarrow FA\rangleobs:∀⟨A,c⟩.A→Bobs:∀⟨A,c⟩.A→B obs : \forall \langle A, c \rangle . A \to B FFF˚FFFFFFF 观察函数的定义特征之一是，由于其多态性，它消除了在右边组成的任何恒星同态。如果是代数同态，则： 在我的研究中，为了定义一个与另一个之间的观测一致性的概念，我想到了弱的cogebra同态。我们的想法是，如果我们提前知道观测函数，就可以“伪造”一个代数同构。因此，我们可能满足 …
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外面一个“简单”的语言
我正在寻找具有以下属性的语言L： L不应与上下文无关。 L的补码不应无上下文限制。（您在教科书中看到的所有内容都是非上下文无关语言的主要示例，似乎没有达到第二个要求。） L不应太难，例如，我知道不确定的语言符合前两个要求，但是我想要的是一种可以通过稍微“改进”的自动机模型（例如概率下推式自动机）识别的简单语言。
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近似比率的层次定理？
众所周知，NP硬性优化问题可以具有许多不同的近似比率，从具有PTAS一直到在任何因素下都不可近似的范围。在这两者之间，我们有各种常数，p o l y （n ）等。O （对数n ）O(log⁡n)O(\log n)p Ò 升ÿ（n ）poly(n)poly(n) 关于这组可能的比率了解多少？我们可以证明任何一种“近似层次”吗？形式上，对于哪些功能和克（Ñ ）可以我们证明了存在与近似比的问题˚F （Ñ ）≤ α &lt; 克（Ñ ）？F（n ）f(n)f(n)G（n ）g(n)g(n)F（Ñ ）≤ α &lt; 克（n ）f(n)≤α&lt;g(n)f(n)\leq \alpha < g(n) 在的情况下，是否存在近似比正好为α的问题？α = O （1 ）α=O(1)\alpha=O(1)αα\alpha
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相对于不包含
格雷格·库珀伯格（Greg Kuperberg）的“ 复杂性动物学”指出，存在一种语言XXX例如BPPX⊈Δ2PXBPPX⊈Δ2PX\mathsf{BPP}^X \nsubseteq \mathsf{\Delta_2 \mathsf{P}}^X换句话说，BPPX⊈PNPXBPPX⊈PNPX\mathsf{BPP}^X \nsubseteq \mathsf{P}^{\mathsf{NP}^X} -但未提供此结果的参考。为什么会这样？或者在哪里可以找到证明？ 这个问题部分是由于我对“短消息的多提供商交互式证明有什么了解？” 这一问题的回答而引起的。由Joe Fitzsimons撰写。 我张贴在这个问题上math.stackexchange.com 10月2日，但我没有收到任何答案，删除的问题上数学下面这个职位上meta.math。
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Barendregt证明的主题减少
我在Barendregt的主题减少证明中发现了一个问题（Lambda结石的 Thm 4.2.5 与类型有关）。 证明的最后一步（第60页）说： “因此是引理4.1.19（1）中的。”Γ,x:ρ⊢P:σ′Γ,x:ρ⊢P:σ′\quad\Gamma,x:\rho\vdash P:\sigma' 但是，根据引理4.1.19（1），它应该是，因为已进行替换在整个上下文中，不仅限于。 X ：ρ 'Γ[α⃗ :=τ⃗ ],x:ρ⊢P:σ′Γ[α→:=τ→],x:ρ⊢P:σ′\Gamma[\vec{\alpha}:=\vec{\tau}],x:\rho\vdash P:\sigma'x:ρ′x:ρ′x:\rho' 我猜标准解决方案可能是以某种方式证明，但是我不确定如何。α⃗ ∉FV(Γ)α→∉FV(Γ)\vec{\alpha}\notin FV(\Gamma) 我有一个证明，可以通过放宽抽象的生成引理来简化它，但是最近我发现有一个错误，而我的证明是错误的，因此我不确定如何再解决这个问题。 有人可以告诉我我在这里想念的吗？
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主方程和算子总和形式
我更像是量子光学专家，而不是量子信息专家，并且主要处理主方程。我对算子和形式感兴趣，我想对我正在模拟的一个小的量子系统以这种形式得出误差。 问题在于：量子系统是由以正弦函数建模的外部（经典）场驱动​​的，并且阻尼率很低，因此我无法进行旋转波近似来消除这种时间依赖性。鉴于我必须通过积分数值求解主方程，并且在时间的每次积分结果不足以找出这些误差，因此我需要做一些工作来恢复以矢量化密度运算的超级算子矩阵矩阵。也就是说，我向主方程式输入了一个矢量化的密度矩阵，该矩阵的单项输入为1，其余项为零，并针对特定时间τ建立矩阵。我在这里的路是否正确（健全性检查）？更明确地讲，如果v e c（Ťttττ\tau是一个密度矩阵的矢量化（因此它是一个列向量）形式的1位的单个条目我，Ĵ，在吨= 0已经进化到时间 τ，然后一个矩阵取从所述密度矩阵的矢量形式吨= 0至吨= τ被给定为中号 = Σ 我，Ĵ v è ç（ρ 我Ĵ ，吨= 0）v È Ç（ ρ我Ĵ ，吨= τ）vec(ρij,t=τ)\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=\tau})我，Ĵi,ji,jt = 0t=0t=0ττ\taut = 0t=0t=0t = τt=τt=\tau。M = ∑我，Ĵv È Ç（ ρ我Ĵ ，吨= 0）v e c（ρ我Ĵ ，吨= τ）†M=∑i,jvec(ρij,t=0)vec(ρij,t=τ)†\mathbf{M}=\sum_{i,j}\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=0})\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=\tau})^\dagger 问题：鉴于这种superoperator ，做中号中号M\mathbf{M}，怎样可以得到克劳斯运营商运营商求和当量的中号是在一个有用的形式？也就是说，所讨论的系统是一个qubit或qutrit和另一个qubit或qutrit。如果可能，我希望能够以每个矩阵上自旋矩阵的张量积的形式进行算子求和。中号v È Ç（ ρ0）= v e c（ρτ）Mvec(ρ0)=vec(ρτ)\mathbf{M}\,\mathrm{vec}(\rho_0)=\mathrm{vec}(\rho_\tau)中号M\mathbf{M} 侧问题：是一财矩阵？中号M\mathbf{M} 最后说明：我使用了Pinja建议的纸张，将接收结果授予Pinja。我自己在下面提供了一个答案，其中包含了详细信息。
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成员资格的复杂性-有限的阿贝尔群的测试
考虑以下阿贝尔亚组成员资格测试问题。 输入： 具有任意大的有限阿贝尔群并具有任意大的。G=Zd1×Zd1…×ZdmG=Zd1×Zd1…×ZdmG=\mathbb{Z}_{d_1}\times\mathbb{Z}_{d_1}\ldots\times\mathbb{Z}_{d_m}didid_i 子组的生成集。{h1,…,hn}{h1,…,hn}\lbrace h_1,\ldots,h_n\rbraceH⊂GH⊂GH\subset G 的元素。b∈Gb∈Gb\in G 输出：如果 'yes'，其他地方为'no'。b∈Hb∈Hb\in H 问题：可以在传统计算机中有效解决此问题吗？如果在传统图灵机的通常意义上使用时间和内存资源，我认为该算法有效。注意，对于任何子组，我们都可以假设。此问题的输入大小为。O(polylog|G|)O(polylog|G|)O(\text{polylog}|G|)n=O(log|G|)n=O(log⁡|G|)n= O(\log|G|)HHH⌈log|G|⌉⌈log⁡|G|⌉\lceil \log|G|\rceil 有点动力。从直觉上看，似乎可以使用算法来解决同余线性系统或线性双色子方程组（请参阅下文）。但是，似乎在使用整数进行计算时会使用不同的计算效率概念，例如：强多项式时间与弱多项式时间，代数与位复杂度。我不是这些定义的专家，我找不到明显解决此问题的参考。 更新：问题的答案是“是”。 在一个较晚的答案中，我提出了一种基于史密斯范式的方法，该方法对于具有规定格式的任何组都是有效的。 Blondin的答案表明，在所有都为且的形式的特殊情况下是“微小整数”，那么问题就属于。微小的整数随输入大小呈指数减小。ð 我 = Ñ Ë 我我 Ñ 我，ë 我NC 3 ⊂ P ø （日志的日志|甲|）didid_idi=Neiidi=Nieid_i= N_i^{e_i}Ni,eiNi,eiN_i, e_iNC3⊂PNC3⊂P\text{NC}^3\subset \text{P}O(loglog|A|)O(log⁡log⁡|A|)O(\log\log|A|) 在我的回答中，我使用“正交子组”来解决此问题，但是我认为这不是必需的。将来，我将基于我正在阅读的连续梯形表格方法，尝试提供更直接的答案。 一些可能的方法 该问题与求解全等线性系统和/或线性双色子方程密切相关。为了简单起见，我简要总结了这些连接。 以为矩阵，其生成集的元素 。以下方程组{ h 1，… ，h n }AAA{h1,…,hn}{h1,…,hn}\lbrace h_1, \ldots, h_n \rbrace AxT=⎛⎝⎜⎜⎜⎜h1(1)h1(2)⋮h1(m)h2(1)h2(2)⋮h2(m)……⋯…hn(1)hn(2)⋮hn(m)⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎛⎝⎜⎜⎜⎜x(1)x(2)⋮x(n)⎞⎠⎟⎟⎟⎟=⎛⎝⎜⎜⎜⎜b(1)b(2)⋮b(m)⎞⎠⎟⎟⎟⎟modd1modd2⋮moddmAxT=(h1(1)h2(1)…hn(1)h1(2)h2(2)…hn(2)⋮⋮⋯⋮h1(m)h2(m)…hn(m))(x(1)x(2)⋮x(n))=(b(1)b(2)⋮b(m))modd1modd2⋮moddm Ax^{T}= …
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在最大独立集上承诺的上限的近似图着色
在我的工作中出现以下问题： 是否存在一种已知的算法，可以在没有独立的65阶集合的情况下近似图的色数？（因此，alpha（G）&lt;= 64是已知的，| V | / 64是小数下限，| V |是小数上限。但是在这种特殊条件下是否有更好的证明的近似值？） 如果我们放松到分数色数怎么办？并在平均情况下达到“良好”的运行时间？
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