理论计算机科学

理论计算机科学家和相关领域的研究人员的问答

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测试值与计算函数的复杂性
通常，我们知道测试功能是否在给定输入中采用特定值要比评估该输入中的功能容易。例如： 评估非负整数矩阵的永久性是＃P-hard的，但是在P中（二分匹配）就可以确定该永久性为零还是非零。 有n个实数，使得多项式Π Ñ 我= 1（X - 一个我）具有以下性质（事实上大多数套Ñ实数将具有这些特性）。对于给定的输入x，测试此多项式是否为零将进行Θ （log n ）乘法和比较（根据Ben-Or的结果，因为零集具有n一种1个，。。。，一ña1,...,ana_1,...,a_n∏ñ我= 1（x − a一世）∏i=1n(x−ai)\prod_{i=1}^{n}(x - a_i)ñnnXxxΘ （对数n ）Θ(log⁡n)\Theta(\log n)ñnn分量），但评估上述多项式至少需要步骤，由Paterson-Stockmeyer进行。Ω （n--√）Ω(n)\Omega(\sqrt{n}) 排序需要（也步上一个比较树Ω （ñ 日志ñ ）由Ben-Or的结果，对一个真正的代数决策树的步骤，再次），但如果列表排序测试仅使用ñ - 1周的比较。Ω （n 对数n ）Ω(nlog⁡n)\Omega(n \log n)Ω （n 对数n ）Ω(nlog⁡n)\Omega(n \log n)n − 1n−1n-1 多项式上是否存在一般条件，足以暗示测试多项式是否为零的（代数）复杂度等于评估多项式的​​复杂度？ 我正在寻找不依赖于事先了解问题复杂性的条件。 （澄清10/27/2010）要清楚，多项式不是输入的一部分。这意味着，给定固定的函数族（每个输入大小一个（位长或输入数）一个），我想比较语言/决策问题的复杂性{ X ：f n（X ）= 0 ，其中 n 是X } …
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正则表达式不是
甚至问一个有计算机科学背景的人，正则表达式是什么，答案都可能超出了有限状态自动机的限制。 例如，“正则表达式” /^1?$|^(11+?)\1+$/ 由著名的Perl个性Abigail（以及2002年以来Perl的测试套件的一部分）创建的机器描述了仅接受复合一元数的机器，但在彼得·林茨（Peter Linz）的《形式语言和自动机简介》的第三版中练习4.5（b）让读者使用该泵引理证明 L={an:n is not a prime number}L={an:n is not a prime number}\mathcal{L} = \left\{ a^n : n\ \mathrm{is\ not\ a\ prime\ number} \right\} 不是普通语言。 在区分很重要的情况下，我们应该怎么称呼那些更严格的表达方式？
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广义15-难题的决策问题的NP-完备性
我对著名的15谜题的自然概括感兴趣，在这种情况下，您必须滑动块直到对所有给定的数字进行排序（通常有1块的差距）。 现在，一般情况是将拼图的大小从15扩展到，其中一个字段是自由的。我创建了一个小插图（虚线箭头显示了允许的移动，下面的配置显示了已解决的难题）：p×qp×qp \times q 给定一个拼图的初始配置，我问自己以下问题： 决策问题：给定一个大小为且数字为的难题。是否有一系列的或更少的允许移动将拼图转变为已解决的配置？p×qp×qp \times qk∈Nk∈Nk \in \mathbb{N}kkk 我已经做了一些调查，发现文中的“ 的 -puzzle和有关的搬迁问题，(n2−1)(n2−1)(n^2−1)从1990年”，这表明，在决定我的问题为是NP完全的，因此，在决定我的问题是NP -完成（因为一般算法也可以决定对称字段的问题）。p=qp=qp=q 仍然存在的问题是，对于固定，决策问题是否也是NP-Complete 。我对特殊情况特别感兴趣。如果允许的自由空间超过一个字段，则决策问题将变得更加困难或容易，它将保持开放状态。q>1q>1q>1q=2,3q=2,3q=2,3 可悲的是，我能找到的所有文章都忽略了不对称的情况，因此我认为可能没有已知的结果。由于文章中的证明非常复杂，并且对于固定高度并不能完全翻译，因此我希望有人可以提出不同的归约/文章来回答一些问题。 其他相关文章（待扩展）： http://larc.unt.edu/ian/pubs/saml.pdf http://red.cs.nott.ac.uk/~gxk/papers/icga2008_preprint.pdf http://erikdemaine.org/papers/AlgGameTheory_GONC3/
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为什么Coq有Prop？
Coq具有类型Prop的证明无关命题，在提取过程中将其丢弃。如果我们仅将Coq用于证明，则有此原因是什么？Prop是强制性的，因此Prop：Prop可自动推论Universe索引，我们可以在任何地方使用Type（i）代替。道具似乎使所有事情变得非常复杂。 我读到，在Luo的书中将Set和Prop分开是有哲学原因的，但是，我在书中没有找到它们。这些是什么？
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您在ArXiv上发布的最小结果是什么？
本质上，问题是： ArXiv最少发布的单位是什么？ 特别令人感兴趣的是广泛使用ArXiv的领域，例如量子计算。但是也欢迎对其他领域和预印服务（例如ECCC和ePrint）发表评论。 详细问题 这是基于以下两个问题： 你什么时候应该说你知道什么？ 您如何确定何时有足够的研究成果来撰写论文，以及将论文提交给哪一期刊？ 特别是Jukka Suomela对这个答案的评论： 我认为尽快整理结果是个好主意。请记住，ArXiv手稿不需要构成最低发布单位。我认为向ArXiv提交两页证明是完全可以的，尽管显然这太短了，因为它只是会议论文或期刊论文。解决别人想解决的一个开放性问题绰绰有余。 在我的领域（量子计算）中，我在ArXiv上看到的每张预印本似乎都是出版级的论文，而且早发行了，因此我们不必等待会议论文集或期刊周转。提交非出版物级别的内容令人生畏。提出部分或仅对现有工作进行少许扩展的结果是否可以？提出可能有趣的结果（例如，您已经就它们进行了一些讨论，但并不是每个人都睡着了），但是您怀疑会进入顶级会议或期刊，是否可以？您对何时在ArXiv或类似的预印服务器上共享结果有建议吗？尽早分享结果会伤害您吗？ 一些特定的背景 为了使问题更加个人化，我将进一步说明。但是，我希望收到的答案能提供我（和其他人）将来可以遵循的更一般的准则。 我在单一t型设计上做了一些工作，在其中扩展了一个现有的定理（以一种有用的方式，但是只需稍微修改原始定理的证明，因此不需要新的想法；即当我与早期论文的作者，他的评论是“哦，很酷，没有考虑这一点”。作为证明，我不得不说一句话，然后他说：“好吧，我知道你会怎么证明”，证明了一些简单的结果，并提供了下界的替代证明。 我写了一篇非常冗长的论文，保存在我的网站上，但是不幸的是，我对该领域的阅读不够充分，无法真正理解它如何适应更大的前景（我认为这是最大的弱点，我对此表示怀疑。我可以轻松克服）。我主要将这些文本保留为“我已对此工作进行了说明”，并且因为有时我会就该主题进行讨论。自从我做一个非常温和的介绍以来，它对朋友也很有用，因此他以此为基础将他的一些作品与设计联系起来（尽管他没有使用本文中的任何结果，就像关于定义的讲义一样）。 这是我应该放在ArXiv上的示例吗？还是将其保留在我的网站上的适当措施？
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没有误报的概率集？
因此，Bloom过滤器非常酷-它们是支持成员资格检查的集，没有错误否定，但很少有错误肯定的机会。不过最近，我一直想要一种“布隆过滤器”，它可以保证相反的结果：没有误报，但可能有误报。 我的动机很简单：鉴于有大量要处理的项目（包含重复项），我们希望避免处理以前见过的项目。处理重复副本没有什么坏处，只是浪费时间。但是，如果我们忽略处理元素，那将是灾难性的。使用“反向布隆过滤器”，可以以很小的空间开销存储看到的项目，并通过测试集合中的成员资格来避免以高概率处理重复项。 但是我似乎找不到任何东西。我找到的最接近的是“ 修饰过的Bloom过滤器 ”，它可以使选定的误报以较高的误报率进行交易。但是，当我想删除所有误报时，我不知道其数据结构的性能如何。 有人看到过这样的东西吗？:)
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有效计算的功能可作为Sarnak的Mobius猜想的反例
最近，吉尔·凯莱（Gil Kalai）和迪克·利普顿（Dick Lipton）都写了一篇不错的文章，内容涉及数论和黎曼假设专家Peter Sarnak提出的一个有趣的猜想。 推测。令为莫比乌斯函数。假设˚F ：Ñ → { - 1 ，1 }是一个甲Ç 0函数与输入ķ在二进制表示的形式ķ，然后 Σ ķ ≤ Ñ μ （ķ ）⋅ ˚F （ķ ）= Ô （Ñ ）。μ （k ）μ(k)\mu(k)f:N→{−1,1}f:N→{−1,1}f: \mathbb{N} \to \{-1,1\}AC0AC0\mathsf{AC}^0kkkkkk∑k≤nμ(k)⋅f(k)=o(n).∑k≤nμ(k)⋅f(k)=o(n). \sum_{k \leq n} \mu(k) \cdot f(k) = o(n) \text. 请注意，如果则我们有素数定理的等价形式。f(k)=1f(k)=1f(k) = 1 更新：Ben Green在MathOverflow上提供了一篇简短的论文，声称可以证明这一猜想。看一下纸。 另一方面，我们知道通过设置（稍作修改，使范围在f(k)=μ(k)f(k)=μ(k)f(k) = \mu(k)−1,1−1,1\\{-1,1\\}），所得到的总和具有估计 有一个上限值，该μ （ķ …
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关于计算问题能量复杂度的正式概念
计算复杂度包括对计算问题的时间或空间复杂度的研究。从移动计算的角度来看，能源是非常宝贵的计算资源。因此，是否对图灵机进行了充分研究，以解决算法执行过程中消耗的能量。此外，是否存在针对计算问题的能量复杂性类别？ 参考被赞赏。
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我如何开始理论CS？
我是一名学习计算机科学的新生，并且我已经知道我想进入学术界，并且要以理论比较科学为重点。我已经阅读了该问题中引用的一些论文，并且这个问题进一步说服了我。 作为一名本科生，我现在应该做什么以参与该领域？我该怎么做才能为该领域的研究做准备？
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如果P = NP，我们可以获得哥德巴赫猜想等的证明吗？
根据我的专业知识，这是一个幼稚的问题；提前道歉。 哥德巴赫猜想和数学中许多其他未解决的问题可以写为谓词演算中的短公式。例如，库克的论文“计算机能否正常发现数学证明？” 将该猜想表述为 ∀n[(n>2∧2|n)⊃∃r∃s(P(r)∧P(s)∧n=r+s)]∀n[(n>2∧2|n)⊃∃r∃s(P(r)∧P(s)∧n=r+s)]\forall n [( n > 2 \wedge 2 | n) \supset \exists r \exists s (P(r) \wedge P(s) \wedge n = r + s) ] 如果我们将注意力集中在多项式证明上，则带有此类证明的定理在NP中。因此，如果P = NP，我们可以确定例如戈德巴赫猜想在多项式时间内是否为真。 我的问题是：我们还能在多项式时间内展示证明吗？ 编辑。根据Peter Shor和Kaveh的评论，我应该证明我的主张是：如果哥德巴赫的猜想确实是带有简短证明的定理之一，我们可以确定它是否成立。我们当然不知道哪一个！
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固定一个整数时的整数乘法
令为大小为位的固定正整数。ñAAAnnn 允许对这个整数进行适当的预处理。 给定另一个大小为位的正整数，乘法的复杂度是多少？M A BBBBmmmABABAB 请注意，我们已经有算法。这里的查询是我们是否可以通过任何更聪明的方法使\ epsilon = 0？(max(n,m))1+ϵ(max(n,m))1+ϵ(\max(n,m))^{1+\epsilon}ϵ=0ϵ=0\epsilon=0
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证明更深入的结构
Chernoff边界的标准证明（来自“ 随机算法”教科书）使用了马尔可夫不等式和矩生成函数，并附带了泰勒展开式。没什么困难，但有些机械。 但是，还有其他切尔诺夫界证明可以揭示驱动结果的更深层次结构。例如，有一个信息理论版本，它通过类型方法进行处理，例如Impagliazzo和Kabanets的这篇论文以及Sanjoy Dasgupta的这篇简短文章。后面的这些证明更为“直观”，因为它们提供了标准结果的概括，并解释了指数中有趣的术语来自何处（这是KL散度）。 这样的事有哪些好的例子？更具体地说，以下是规则： 该声明应相当知名（在某种研究生班中会讲的那种东西） 教科书或标准参考资料中应有“通常”教示的“标准”证明 应该有一个不太为人所知的替代证明，也不是通常不教授的，或者证明更笼统的陈述或将陈述与更深层的数学结构联系起来。 我将从两个示例开始。 切尔诺夫界 “教科书”证明：马尔可夫不等式，矩生成函数，泰勒展开（MR） 罕见而有见地的证明：类型方法，涉及KL发散的尾部指数 Schwartz-Zippel引理 “教科书”证明：涉及单变量多项式的基本情况。归纳变量数 “罕见”证明：通过Dana Moshkovitz（和Per Vognsen）进行几何论证 请为每个答案举一个例子。 ps我不一定暗示应该教授不常见的证明：直接证明对于学生来说通常更容易。但是从某种意义上来说，“证明可以帮助我们理解”，这些替代证明非常有用。
35 big-list  proofs 
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负切边最大切割
G=(V,E,w)G=(V,E,w)G = (V, E, w)w:E→Rw:E→Rw:E\rightarrow \mathbb{R}argmaxS⊂V∑(u,v)∈E:u∈S,v∉Sw(u,v)arg⁡maxS⊂V∑(u,v)∈E:u∈S,v∉Sw(u,v)\arg\max_{S \subset V} \sum_{(u,v) \in E : u \in S, v \not \in S}w(u,v)Ë ∈ Ëw(e)≥0w(e)≥0w(e) \geq 0e∈Ee∈Ee \in E 挑选顶点的随机子集。SSS 在顶点上选择一个顺序，然后贪婪地将每个顶点放置在或以最大化到目前为止切割的边小号ˉ 小号vvvSSSS¯S¯\bar{S} 进行局部改进：如果SSS中有任何顶点可以移动到S¯S¯\bar{S}以增加切割（反之亦然），则进行移动。 对所有这些算法的标准分析实际上表明，所得的割幅至少与\ frac {1} {2} \ sum_ {e \ in E} w（e）一样大12∑e∈Ew(e)12∑e∈Ew(e)\frac{1}{2}\sum_{e \in E}w(e)，这是1/2的上限1/21/21/2如果www为非负数，则最大切割的权重-但是如果允许某些边缘具有负权重，则不是！ 例如，算法1（选择顶点的随机子集）在带有负边权重的图上显然会失败。 我的问题是： 是否有一种简单的组合算法，可以对可具有负边权重的图的最大割问题得到O（1）近似值？ 为了避免最大割取值0的可能发粘的问题000，我将允许∑e∈Ew(e)>0∑e∈Ew(e)>0\sum_{e \in E}w(e) > 0，并且/或者除可导致较小附加误差的算法外，还应予以满足乘法因子近似。
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将n次多项式相乘
问题是要计算多项式。假设所有系数都适合一个机器字，即可以在单位时间内进行操作。(a1x+b1)×⋯×(anx+bn)(a1x+b1)×⋯×(anx+bn)(a_1 x + b_1) \times \cdots \times (a_n x + b_n) 您可以通过以树形式应用FFT 来进行次。你能做O （n log n ）吗？O(nlog2n)O(nlog2⁡n)O(n \log^2 n)O(nlogn)O(nlog⁡n)O(n \log n)
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我们应该教渐近增长率的哪个定义？
当我们按照标准教科书，或传统，我们大多数人教大哦符号的定义如下在算法类的第几章： 甚至我们甚至可以给出带有所有量词的整个列表：f=O(g) iff (∃c>0)(∃n0≥0)(∀n≥n0)(f(n)≤c⋅g(n)).f=O(g) iff (∃c>0)(∃n0≥0)(∀n≥n0)(f(n)≤c⋅g(n)). f = O(g) \mbox{ iff } (\exists c > 0)(\exists n_0 \geq 0)(\forall n \geq n_0)(f(n) \leq c \cdot g(n)). f=o(g) iff (∀c>0)(∃n0≥0)(∀n≥n0)(f(n)≤c⋅g(n))f=o(g) iff (∀c>0)(∃n0≥0)(∀n≥n0)(f(n)≤c⋅g(n))f = o(g) \mbox{ iff } (\forall c > 0)(\exists n_0 \geq 0)(\forall n \geq n_0)(f(n) \leq c \cdot g(n)) …
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