理论计算机科学

理论计算机科学家和相关领域的研究人员的问答

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NP完全因式分解。
Arora和Barak的书将分解因素提出为以下问题： FACTORING={⟨L,U,N⟩|(∃ a prime p∈{L,…,U})[p|N]}FACTORING={⟨L,U,N⟩|(∃ a prime p∈{L,…,U})[p|N]}\text{FACTORING} = \{\langle L, U, N \rangle \;|\; (\exists \text{ a prime } p \in \{L, \ldots, U\})[p | N]\} 他们在第二章中进一步补充说，消除是质数这一事实使该问题成为NP完全问题，尽管这与分解数的难度无关。看起来SUBSETSUM可能有所减少，但是我被卡住了。这里有更好的运气吗？ppp 编辑3月1日：赏金是使用确定性Karp（或Cook）缩减法进行的完整性证明。NPNPNP
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正拓扑排序
假设我有一个有向无环图，其顶点具有实数权重。我想找到DAG的拓扑顺序，其中对于拓扑顺序的每个前缀，权重的总和为非负数。或者，如果您更喜欢顺序理论术语，则我有一个加权偏序，并且我想要一个线性扩展，这样每个前缀的权重都为非负数。对这个问题了解多少？在多项式时间内是NP完全的还是可解的？
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广义拉德纳定理
拉德纳定理指出，如果P≠NP，则存在一个严格包含P且严格包含在NP中的无限复杂性等级体系。该证明使用了NP减少多一的SAT的完整性。层次结构包含通过一种对角线化构造的复杂度类，每个复杂度类都包含某种语言，较低类中的语言不可以多对一地归纳。 这激发了我的问题： 令C为复杂度类别，令D为严格包含C的复杂度类别。如果D包含完成某种归约概念的语言，相对于C，D和C之间是否存在无限级的复杂度等级层次减少？ 更具体地说，我想知道是否存在D = P和C = LOGCFL或C = NC的结果，以适合适当的减少量概念。 正如Kaveh在回答中指出的那样，Ladner的论文已经包含了定界C类的定理7。最强烈的说法是：如果NL≠NP，则NL和NP之间的语言顺序是无限的，并且严格增加了硬度。这比通常的版本（定理1）更一般，后者以P≠NP为条件。但是，Ladner的论文仅考虑D = NP。
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什么是指称语义？
在另一个线程上，Andrej Bauer将指称语义定义为： 程序的含义是程序各部分含义的函数。 使我困扰的是该定义，它似乎并未从通常被认为是非名词性语义的东西（即结构操作语义）中分离出通常被认为是指称语义的东西。 更准确地说，这里的关键要素是语义的模块化或组合性，或者换句话说，它们是根据程序的抽象结构定义的。 由于当今大多数（全部？）形式语义趋向于结构化，这是否是必需的定义？ 所以，我的问题是：什么是指称语义？
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死亡猜想的告
我正在寻找关于算法和复杂性的猜想，这些猜想在某个时间点被许多人认为是可信的，但后来由于越来越多的反证而被证明或至少被认为不可信。这是两个示例： 随机预言假设：几乎所有相对论世界都成立的复杂性类之间的关系，在非相对论情况下也成立。结果证明了这一点IP=PSPACEIP=PSPACEIP=PSPACE，并且证明了IPX≠PSPACEXIPX≠PSPACEXIP^X\neq PSPACE^X对于几乎所有随机预言XXX，请参见《随机Oracle假说是假的》。 有界误差随机性适当地扩展了多项式时间的幂（即P≠BPPP≠BPPP\neq BPP）。人们相信这已经有一段时间了，但是后来，由于复杂的去随机化结果及其与电路复杂性的联系，相反的猜想（P=BPPP=BPPP=BPP）变得很普遍（尽管仍然存在）。 还有哪些其他猜想未能通过时间检验？
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随便参观证明
今天，赖安·威廉姆斯（Ryan Williams）在arXiv上发表了一篇文章（此前曾出现在SIGACT新闻中），其中包含他最近的ACC下限技术的技术含量较低的版本。 我的问题不是技术本身（当然值得赞扬），而是纸的风格。他在摘要中写道： 将从试图发现该证据的人的角度描述该证据。 太棒了！在“背景”部分中，他添加了： 本文讨论了如何发现证明-围绕它的随意浏览。并非所有细节都将给出，但是您将看到所有片段的来源以及它们如何装配在一起。我对复杂性理论的偏见直觉将乱七八糟，我认为应该和不应该是什么，以及为什么。这种直觉很可能是错误的。但是我可以说，这至少一次使我朝着富有成效的方向发展。 这太神奇了，这是我第一次看到它。我一直想知道为什么论文的作者不写他们如何去证明，包括他们在找到导致解决方案的道路之前尝试过的失败方法。当我在arXiv上看到Ryan的论文时，我感到非常有动力去阅读它。从这个角度来看，我认为它是革命性的论文。在大多数情况下，您只能用纸来验证其正确性。 问题如下： 您是否知道TCS中的其他论文，其中突破性的结果是通过“休闲之旅”呈现的，而不是一系列技术上的引理？ 我说的是期刊上的出版物，而不是博客文章或技术报告。 另外，我将其标记为big-list，希望它会成为现实。
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公制TSP的近似算法
众所周知，度量TSP可以在范围内近似，并且不能比123更好。1.51.51.5多项式时间为 122。是否知道有关在指数时间内找到近似解的信息（例如，在只有多项式空间的情况下少于2n步）？例如，在什么时间和空间我们可以找到距离最大为1.1×OPT的游览？123122123122123\over 1222ñ2n2^n1.1 × ø PŤ1.1×OPT1.1\times OPT
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证明助手中的“策略”如何工作？
问题：“策略”在证明助手中如何工作？它们似乎是指定如何将术语重写为等效术语的方法（对于“等效”的某些定义）。大概有正式的规则，我如何才能知道它们是什么以及它们如何工作？他们所涉及的不仅仅是减少Beta的顺序选择吗？ 关于我的兴趣的背景：几个月前，我决定想学习形式数学。我之所以选择类型理论，是因为从初步研究来看，它看起来像《做事的正确方法》（tm Way to Do Things，tm），并且因为它似乎使编程和数学统一起来非常有趣。我认为我最终的目标是能够使用和理解像Coq这样的证明助手（我认为特别是能够使用依赖类型，因为我对表示矩阵类型之类的东西感到好奇）。我开始了解的很少，甚至不了解基本的函数式编程，但是我的进展缓慢。我已阅读并理解了大量的类型和编程语言（Pierce），并了解了一些Haskell和ML。
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采用图灵机作为计算的主要模型的历史原因。
据我了解，图灵的模型已成为描述计算的“标准”。我想知道为什么会这样-也就是说，为什么TM模型比其他理论上等效的（据我所知）模型（例如Kleene的μ递归或Lambda微积分（我理解）前者直到后来才出现，而后者最初并不是专门为计算模型而设计的，但这表明从一开始就存在替代方案。 我能想到的是，TM模型比其替代品更能代表我们实际拥有的计算机。这是唯一原因吗？
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完整性差距的重要性
我一直很难理解完整性差距（IG）的重要性及其界限。IG是最优整数答案（的质量）与问题缓解的最优实际解（的质量）之比。让我们以顶点覆盖（VC）为例。VC可以说是找到以下线性方程组的最佳整数解： 我们有零点/一个值的变量xvxvx_v S表示每一个顶点v∈V(G)v∈V(G)v \in V(G)的曲线图的GGG。该方程为：0≤xv≤10≤xv≤10 \leq x_v \leq 1为v∈V(G)v∈V(G)v\in V(G)，和1≤xv+xu1≤xv+xu1 \leq x_v+x_u对于每个边缘uv∈E(G)uv∈E(G)uv \in E(G)。我们正在寻找的值，这将减少∑v∈V(G)xv∑v∈V(G)xv\sum_{v \in V(G)} x_v。 这个问题的松弛使得实数值在000到之间，111因此解的空间更大，最优的实解可以小于我们想要找到的最优整数解。因此，我们需要对从线性规划获得的最佳实数答案进行“舍入”处理，以找到整数解。最佳整数解将介于最佳实解和舍入过程的结果之间。IG是最佳整数解决方案与最佳实数解决方案的比率，并且没有说明舍入过程。四舍五入过程可以（理论上）完全忽略实际解并直接计算最佳整数解。 人们为什么对证明IG的界限感兴趣？
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Kolmogorov复杂度在计算复杂度中的应用
非正式地说，字符串 Kolmogorov复杂度是输出的最短程序的长度。我们可以使用它定义“随机字符串”的概念（如果，则是随机的），很容易看出，大多数字符串都是随机的（没有那么多短程序）。xxxxxxxxxK(x)≥0.99|x|K(x)≥0.99|x|K(x) \geq 0.99 |x| 如今，Kolmogorov复杂性理论和算法信息论已经相当发达。还有几个有趣的例子，它们在不同定理的证明中使用Kolmogorov复杂度，这些定理的陈述中不包含有关Kolmogorov复杂度的任何东西（构造性LLL，Loomis-Whitney不等式等）。 Kolmogorov复杂度和算法信息论在计算复杂度和相关领域中是否有很好的应用？我认为应该有使用Kolmogorov复杂度作为简单计数参数的直接替代的结果。当然，这不是那么有趣。
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乔姆斯基层次结构过时了吗？
Chomsky（–Schützenberger）层次结构用于理论计算机科学的教科书中，但是与完整的“ 复杂度动物园图”相比，它显然只覆盖很小一部分形式的语言（REG，CFL，CSL，RE）。层次结构是否在当前研究中起任何作用？在cstheory.stackexchange上，我只发现很少提及Chomsky，而在Complexity Zoo中，根本没有提及Chomsky和Schützenberger。 当前的研究是否更多地关注于形式描述语法以外的其他描述方式？我一直在寻找实用的方法来描述具有不同表现力的形式语言，却偶然发现越来越多的上下文敏感语言（GCSL）和可见下推语言（VPL）都位于经典的乔姆斯基语言之间。不应该将Chomsky层次结构更新为包括它们吗？还是没有从整个复杂度类集中选择特定的层次结构？据我所知，我尝试仅选择那些适合于乔姆斯基层次结构的语言： REG（= Chomsky 3）⊊VPL⊊DCFL⊊CFL（= Chomsky 2）⊊GCSL⊊CSL（= Chomsky 1）⊊R⊊RE 尽管似乎与自然语言处理有实际相关性，但我仍然不了解“对上下文敏感的语言”和“索引语言”是否适合（在CFL和CSL之间的某个地方）（但是，任何与实际相关性都不那么有趣）在理论研究中;-)。另外，您可以提及GCSL→P→NP→PSPACE和CSL→PSPACE→R，以显示与著名的P和NP类的关系。 我在GCSL和VPL上发现： 罗伯特·麦克诺顿（Robert McNaughton）：《乔姆斯基体系的插入？在：珠宝是永恒的，为纪念Arto Salomaa在理论计算机科学上的贡献。S.204-212，1999年 http://en.wikipedia.org/wiki/Nested_word#参考（VPL） 如果您知道任何有关VPL，DCLF，GCSL和索引语法的正式语法的最新教科书（也更适合实际应用的指针），我也将很高兴。
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维基百科对几何复杂度理论的解释
有人可以提供非专家可以理解的Mulmuley GCT方法的简明解释吗？适用于该主题的Wikipedia页面的说明（当前为stub）。 动机：我正在与一位弦理论研究人员的我的一个朋友“共同阅读” Scott Aaronson自Democritus以来的《量子计算》一书。在这本书的序言中，亚伦森称GCT为“计算机科学的弦论”。作为弦理论家，我的朋友对此主张感到兴奋，并问我什么是GCT。那时，我可耻地意识到我没有针对他的问题的维基百科就绪答案。
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