Questions tagged «algebraic-complexity»

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Cai-Furer-Immerman小工具中的自同构
在通过Weisfeiler-Lehman（WL）方法进行图同构的著名反例中，Cai，Furer和Immerman 在本文中构建了以下小工具。他们构造了一个图由Xķ= （Vķ，Eķ）Xk=(Vk,Ek)X_k = (V_k, E_k) Vķ= Aķ∪ 乙ķ∪ 中号ķ 哪里 一个ķ= { 一一世∣1≤i≤k},Bk={bi∣1≤i≤k}, and Mk={mS∣S⊆{1,2,…,k}, |S| is even}Ek={(mS,ai)∣i∈S}∪{(mS,bi)∣i∉S}Vk=Ak∪Bk∪Mk where Ak={ai∣1≤i≤k},Bk={bi∣1≤i≤k}, and Mk={mS∣S⊆{1,2,…,k}, |S| is even}Ek={(mS,ai)∣i∈S}∪{(mS,bi)∣i∉S}V_k = A_k \cup B_k \cup M_k \\ \text{ where } \\ \quad A_k = \{a_i \mid 1 \leq i \leq k\}, \\ \quad B_k …
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1个变量的显式多项式具有超对数电路复杂性下限？
通过计数参数，可以表明，存在n次多项式中1个变量（即，形式的东西，其具有电路复杂ñ。而且，可以证明像x n这样的多项式至少需要对数2 n的乘法（您只需要得到足够高的次数即可）。1个变量中是否有任何多项式的显式示例，其复杂度具有超对数下限？（任何字段的结果都会很有趣）一个ñXñ+ 一个n − 1Xn − 1+ ⋯ + 一个0）anxn+an−1xn−1+⋯+a0)a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0)Xñxnx^n日志2ñlog2⁡n\log_2 n
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单项式的直线复杂度
令为某个字段。像往常一样，对于 我们将定义为在 的直线复杂度。令为的单项式集合，即出现在且系数非零的单项式。˚F ∈ ķ [ X 1，X 2，... ，X Ñ ] 大号（˚F ）˚F ķ ˚F ˚F ˚FkkkF∈ ķ [ X1个，X2，… ，xñ]f∈k[x1,x2,…,xn]f\in k[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}]大号（˚F）L(f)L(f)FffķkkFFFFffFff 是真的吗？∀ 米∈ ˚F：大号（米）≤ 大号（˚F）∀m∈F:L(m)≤L(f) \forall m\in F:L(m)\le L(f) 甚至一些较弱的上限是已知的吗？长（米）L(m)L(m)
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行列式和矩阵乘法-算法复杂度和算法电路大小的相似性和差异
我试图了解行列式和矩阵乘法的算法复杂度和电路复杂度之间的关系。 已知的行列式矩阵可以是计算在时间，其中是所需要的最小时间乘以任意两个矩阵。还已知的是决定因素的最佳电路复杂性是多项式在深度和指数在深度3.但是矩阵乘法的电路复杂性，对于任何一定的深度，是仅多项式。n × nñ×ñn\times n中号（Ñ）Ñ×ÑØ〜（M（n ））O〜（中号（ñ））\tilde{O}(M(n))中号（n ）M（ñ）M(n)n × nñ×ñn\times nO （对数2（n ））Ø（日志2⁡（ñ））O(\log^{2}(n)) 为什么行列式和矩阵乘法的电路复杂度有所不同，而从算法的角度来看行列式的计算与矩阵乘法相似呢？具体来说，为什么电路复杂度在深度处有指数间隙？333 可能的解释很简单，但我看不到。有“严谨”的解释吗？ 另请参阅：行列式的最小已知公式
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黎曼假说变体在TCS中的意义
距今约一千五百多年的黎曼假设在数学中具有深远的意义，现在有条件地证明了数学理论的巨大发展和众多的变体。我最近遇到了一个基于黎曼假设的对TCS中条件结果的引用。因此，我想知道， Tie中的黎曼假设的主要含义是什么？ 首先，是最近一篇论文的一个例子，由杜兰德，马哈让，马洛德，德·鲁吉·阿瑟尔和索拉布为VP完成的同态多项式。从论文的介绍： 代数复杂性理论中最重要的开放性问题之一是确定VP和VNP类是否不同。这些类别由[Valiant]首先在[13，12]中定义，是布尔复杂度类别P和NP的代数类似物，并且将它们分开对于将P与NP分开是必不可少的（至少是非均匀的，并假设了广义的黎曼假设，在字段，[3]）。CC\mathbb{C}
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广义范德蒙矩阵的行列式
Moore矩阵类似于Vandermonde矩阵，但定义稍有修改。 http://en.wikipedia.org/wiki/Moore_matrix 计算给定的全秩Moore矩阵以某个整数为模的行列式的复杂度是多少？n×nn×nn \times n 罐摩尔行列式从被降低使用FFT技术来一段？O(n3)O(n3)O(n^{3})O(nlogan)O(nloga⁡n)O(n\log^{a}n)a∈R+∪{0}a∈R+∪{0}a \in \mathbb{R}_{+} \cup \{0\} Moore det取模整数的复杂度和Vandermonde det一样吗？Vandermonde行列式的复杂度为（《理论计算机科学手册》第644页：算法和复杂性，作者Jan Leeuwen）O(nlog2n)O(nlog2⁡n)O(n\log^{2}n) 发布与当前类似的帖子：行列式模m
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线性可满足性问题的下界
在SODA 1995中，Jeff Erickson展示了线性可满足性的下界（检查n个实数的某个集是否满足r个变量的线性方程）。证明方法使用无穷小和Tarski的传递原理。[R[Rrññn[R[Rr 有人可以解释为证​​明这一界限而采取的路线背后的直觉吗？提出这样的直接证明的困难是什么：“给出一个带有实数的决策树，这就是我们构造对抗输入的方式”？
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检查是否将多项式因子转换为线性因子
令是由大小为的算术电路给出的多项式。鉴于作为输入，是否有确定的算法，以检查是否所有的不可约因子在是线性形式？与此相关的是，给定线性形式，我们可以确定地检查是否为因子。当然，在两种情况下，我们都希望运行时间是多项式。所谓大小，是指总位大小。此外，可以假设的阶数是多项式f∈Q[x1,x2,…,xn]f∈Q[x1,x2,…,xn]f\in\mathbb{Q}[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}]CCCsssCCCfffQ[x1,x2,…,xn]Q[x1,x2,…,xn]\mathbb{Q}[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}]l=∑ni=1li⋅xil=∑i=1nli⋅xil=\sum_{i=1}^{n}l_{i}\cdot x_{i}lllffffffnnn。
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取消和决定因素
Berkowitz算法提供了具有对数深度的多项式大小电路，用于使用矩阵幂确定方阵。该算法隐式使用取消。对于获得具有对数或线性深度的多项式大小的电路来计算行列式（以及任何可能的永久性最佳电路），抵消是否必不可少？使用没有取消的电路，这些问题是否存在全指数（不仅是超多项式或次指数）下限？
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除以小的未知多项式时，找到大的固定多项式的余数
假设我们在一个有限域中工作。在此字段上，我们得到了一个大的固定多项式p（x）（例如，度为1000）。该多项式是事先已知的，我们被允许在“初始阶段”使用大量资源进行计算。这些结果可以存储在相当小的查询表中。 在“初始阶段”结束时，我们将得到一个小的未知多项式q（x）（例如，小于等于5级）。 如果允许我们在“初始阶段”进行一些复杂的计算，是否有一种快速的方法来计算p（x）mod q（x）？一种明显的方法是为q（x）的所有可能值计算p（x）mod q（x）。有一个更好的方法吗？
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（密码）问题可通过多项式算术步骤求解
在1979年Adi Shamir [1]的论文中，他证明了分解可以通过多项式的算术步骤完成。在直线程序（SLP）的背景下，Borwein和Hobart最近的论文[2]中重申了这一事实，并引起了我的注意。 由于我很惊讶地阅读了这篇文章，所以我有以下问题：是否还有其他密码问题或其他相关问题，这些问题可以通过SLP的多项式步数来解决，并且目前尚不知道可以解决。在“常规”经典计算机上有效地运行？ [1] Adi Shamir，因式分解O （对数n ）Ø（日志⁡ñ）O(\log n)算术步骤。信息处理快报8（1979）S. 28–31 [2]彼得· 鲍尔文（ Peter Borwein），乔·霍巴特（Joe Hobart），直线计划中的除法超常能力，《美国数学月刊》，第1期。119，No.7（2012年8月9日），第584-592页
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永久的
让 AAA 成为 3×33×33 \times 3 或 4×44×44 \times 4 带条目矩阵 aijaija_{ij}。有人可以给我一个矩阵吗BBB 以便 per(A)=det(B)per⁡(A)=det(B)\operatorname{per}(A) = \det(B)？使得已知的最小显式是多少？对此有明确示例的参考吗？BBBper(A)=det(B)per⁡(A)=det(B)\operatorname{per}(A) = \det(B) 一些限制可能是以下情况： 情况仅允许线性函数作为条目。(1)(1)(1)BBB 情况允许使用非线性函数，前提是每一项都具有度（度是变量度的总和），其中是所涉及矩阵的大小。在我们的案例中，最高为。(2)(2)(2)O(log(n))O(log(n))O(log(n))nnn222
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矩阵乘法的真位复杂度为
使用常规（行列内积）技术的矩阵乘法需要乘法和加法。但是，假设大小相等的条目（两个矩阵的每个条目的位数相乘），大小为位，则加法运算实际上发生在位上。O(n3)O(n3)O(n^{3})O(n3)O(n3)O(n^{3})mmmO(n3nm)=O(n4m)O(n3nm)=O(n4m)O(n^{3}nm) = O(n^{4}m) 因此，如果通过位复杂度来衡量，矩阵乘法的真正复杂度应该是。O(n4)O(n4)O(n^{4}) (1)(1)(1)正确吗？ 假设如果创建一种算法将位复杂度降低到而不是总乘法和加法，那么这比说减少总乘法和加法到，例如Coppersmith和Cohn等研究人员所尝试的。O(n3+ϵ)O(n3+ϵ)O(n^{3+\epsilon})O(n2+ϵ)O(n2+ϵ)O(n^{2+\epsilon}) (2)(2)(2)这是一个有效的论点吗？
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