Questions tagged «fourier-analysis»

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为什么对布尔函数进行傅立叶分析“有效”？
多年来，我已经习惯于使用离散傅立叶分析来证明许多TCS定理。Walsh-Fourier（Hadamard）变换几乎可用于TCS的每个子字段，包括属性测试，伪随机性，通信复杂性和量子计算。 虽然我很乐意在解决问题时使用布尔函数的傅里叶分析作为一种非常有用的工具，尽管我有很好的预感，但使用傅里叶分析的情况可能会产生一些不错的结果。我必须承认，我不太确定是什么使基础变更如此有用。 是否有人对傅里叶分析为什么在TCS研究中如此富有成果有直觉？为什么通过编写傅立叶展开并执行一些操作来解决这么多看似困难的问题？ 注意：到目前为止，我的主要直觉（可能是微不足道的）是，我们对多项式的行为有很好的理解，并且傅立叶变换是将函数视为多线性多项式的自然方法。但是为什么要特别指定这个基地呢？在平价基础上有什么独特之处？
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对称群表示法的应用
受这个问题的启发，尤其是Or回答的最后一段，我有以下问题： 您知道对称群表示理论在TCS中的任何应用吗？ 对称组是具有组运算组成的所有置换的组。的表示形式是从到可逆 ×复矩阵的一般线性组的同态。表示通过矩阵乘法作用于。的不可约表示是一个不留下不变的适当子空间的动作。有限群的不可约表示允许对非阿贝尔群进行傅立叶变换 { 1 ，… ，n } S n S n n × n C n S n C nSnSnS_n{1,…,n}{1,…,n}\{1, \ldots, n\}SnSnS_nSnSnS_nn×nn×nn \times nCnCn\mathbb{C}^nSnSnS_nCnCn\mathbb{C}^n。该傅立叶变换在循环/阿贝尔群上具有离散傅立叶变换的一些优良特性。例如，卷积在傅立叶基础上变为逐点乘法。 对称组的表示理论可以很好地组合。每个不可约表示都对应于的整数分区。这种结构和/或对称组的傅立叶变换是否在TCS中找到了任何应用？ ñSnSnS_nnnn
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由具有AND OR和XOR门的有界深度电路描述的傅里叶系数布尔函数
令为布尔函数，并考虑f为从到的函数。用这种语言，f的傅立叶展开只是按照平方自由单项式展开f的展开。（这单项式构成上实函数空间的基础。系数平方的总和仅为因此导致了平方根自由单项式的概率分布。我们将此分布称为F分布。fff{−1,1}n{−1,1}n\{-1,1\}^n{−1,1}{−1,1}\{ -1,1 \}2n2n2^n{−1,1}n{−1,1}n\{-1,1\}^n111fff 如果f可以由多项式大小的有界深度电路描述，那么我们可以根据Linial，Mansour和Nisan的一个定理知道，F分布集中于大小的单项式，直到权重几乎成倍地变小。这源自Hastad切换引理。（最直接的证明是最好的。）polylog npolylog n\text{polylog } n 当我们添加mod 2门时会发生什么？要考虑的一个示例是变量上的函数，它被描述为前n个变量和后n个变量的mod 2内积。在这里，F分布是均匀的。IP2nIP2nIP_{2n}2n2n2n 问题：布尔函数的F分布是否由有界深度多项式大小AND，OR，或MOD电路描述（最大误差为超多项式小误差）集中在 “水平”上？22_2o(n)o(n)o(n) 备注： 一个反例的可能途径是在不相交的变量集上以某种方式“粘合”各种IP 2k2k_2k，但我不知道该怎么做。也许应该弱化这一问题，并允许为变量分配一些权重，但是我也没有一种明确的方法。（所以提到这两个问题也是我要问的一部分。） 我推测当您允许使用mod kk_k门时，对该问题（或成功的变体）的肯定回答也将适用。（所以问这个问题是由于Ryan Williams最近令人印象深刻的ACC结果。） 对于多数而言，每个“级别”的F分布都很大（1 / poly）。 如Luca所示，我提出的问题的答案为“否”。剩下的问题是提出寻找布尔函数F分布属性的方法，这些属性可以由AND OR和MAJORITY不共享的mod 2门描述。 尝试通过谈论MONOTONE函数来保存问题： 问题：MONOTONE布尔函数的F分布是否由有界深度多项式大小AND，OR或MOD电路描述（最大为多项式小误差）集中在 “水平”上？22_2o(n)o(n)o(n) 我们可能推测我们甚至可以用代替，因此针对此强版本的反例可能很有趣。 o(n)o(n)o(n)polylog(n)polylog(n)\text{polylog} (n)
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将真实的傅立叶光谱与假的光谱区分开来的复杂性是什么？
甲PHPHPH机给出预言访问随机布尔函数f:{0,1}n→{−1,1}f:{0,1}n→{−1,1}f:\{0,1\}^n \to \{ -1,1 \}，以及两个傅立叶光谱ggg和hhh。 一个函数的傅立叶光谱fff被定义为F:{0,1}n→RF:{0,1}n→RF:\{0,1\}^n \to R： F(s)=∑x∈{0,1}n(−1)(s⋅xmod 2)f(x)F(s)=∑x∈{0,1}n(−1)(s⋅xmod 2)f(x)F(s)=\sum_{x\in\{0,1\}^n} (-1)^\left( s\cdot x \mod\ 2 \right) f(x) 一个的或是真正傅立叶光谱和另一种是仅有一个假的傅立叶光谱属于一个未知的随机布尔函数。ggghhhfff 不难证明机甚至不能近似于任何。PHPHPHF(s)F(s)F(s)sss 以高成功概率决定哪一个是真实的查询的查询复杂度是多少？ 有趣的是我，因为如果这个问题是不是在，那么可以表明，一个Oracle相对于它存在在没有一个子集。PHPHPHBQPBQPBQPPHPHPH
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线性独立傅立叶系数
向量空间的基本属性是维数为的向量空间的特征在于线性独立的线性约束-也就是说，存在线性独立的矢量与正交。V⊆Fn2V⊆F2nV \subseteq \mathbb{F}_2^nn−dn−dn-dddddddw1,…,wd∈Fn2w1,…,wd∈F2nw_1, \ldots, w_d \in \mathbb{F}_2^nVVV 从傅立叶角度来看，这等同于说，指示符函数的已线性独立的非零的傅立叶系数。注意具有个非零傅立叶系数，但是其中只有个是线性独立的。1V1V1_VVVVddd 1V1V1_V2d2d2^dddd 我正在寻找向量空间的此属性的近似版本。具体来说，我正在寻找以下形式的声明： 令的大小为。然后，指示符函数具有至多线性独立的傅立叶系数，其绝对值至少为\ varepsilon。S⊆Fn2S⊆F2nS \subseteq \mathbb{F}_2^n2n−d2n−d2^{n-d}1S1S1_Sd⋅log(1/ε)d⋅log⁡(1/ε)d\cdot\log(1/\varepsilon) εε\varepsilon 可以从“结构与随机性”的角度看待这个问题-直觉上，这样的主张说，每个大集合都可以分解为向量空间和小偏置集合的总和。众所周知，每个函数都可以分解为“线性部分”，其中线性部分具有大傅立叶系数和具有较小偏差的“伪随机部分”。我的问题是，线性部分是否仅具有对数个线性独立的傅立叶系数。f:Fn2→F2f:F2n→F2f:\mathbb{F}_2^n \to \mathbb{F}_2poly(1/ε)poly(1/ε)\mathrm{poly}(1/\varepsilon)
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噪声运算符的扩展
在我当前正在解决的一个问题中，噪声运算符的扩展自然而然地出现了，我很好奇是否已经进行了先前的工作。首先让我修改的基本噪声操作TεTεT_{\varepsilon}真实值的布尔函数。给定的函数f:{0,1}n→Rf:{0,1}n→Rf: \{0,1\}^n \to \mathbb{R}和εε\varepsilon，ppp ST 0≤ε≤10≤ε≤10 \leq \varepsilon \leq 1，ε=1−2pε=1−2p\varepsilon = 1 - 2p，我们定义Tε→RTε→RT_{\varepsilon} \to \mathbb{R}为 Tεf(x)=Ey∼μp[f(x+y)]Tεf(x)=Ey∼μp[f(x+y)]T_{\varepsilon} f(x) = E_{y \sim \mu_p} [f(x+y)] μpμp\mu_p是在分配yyy通过设置的每个位而获得nnn位矢量为111独立地以概率ppp和000否则。同样，我们可以将这个过程视为以独立的概率 p翻转每一位。现在，这个噪声运营商具有许多有用的特性，包括作为乘法 Ť ε 1 Ť ε 2 = Ť ε 1 ε 2和具有很好的特征向量（ Ť ε（χ 小号）xxxpppTε1Tε2=Tε1ε2Tε1Tε2=Tε1ε2T_{\varepsilon_1} T_{\varepsilon_2} = T_{\varepsilon_1 \varepsilon_2}其中 χ 小号属于奇偶基础）。Tε(χS)=ε|S|χSTε(χS)=ε|S|χST_{\varepsilon}(\chi_S) = \varepsilon^{|S|} \chi_SχSχS\chi_S 现在让我定义我延伸，这是我表示为[R …
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分割军政府的鲁棒性
我们说，一个布尔函数˚F ：{ 0 ，1 } ñ → { 0 ，1 }f:{0,1}n→{0,1}f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}是ķkk -junta如果˚Fff最多有ķkk干扰因素。 让˚F ：{ 0 ，1 } Ñ → { 0 ，1 }f:{0,1}n→{0,1}f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}是一个2 ķ2k2k -junta。用x 1，x 2，… ，x n表示f的变量。修正 S 1 = { x 1，x 2，… ，x nffx1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n2 }，S 2 = …
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可以使用Linial-Mansour-Nisan定理和的傅立叶谱知识来证明吗？
结果1：Linial-Mansour-Nisan定理说，电路计算的函数的傅立叶权重集中在小尺寸子集上，概率很高。AC0AC0\mathsf{AC}^0 结果2：的傅立叶权重集中在度数。PARITYPARITY\mathsf{PARITY}nnn 问题：是否有办法通过/使用结果1和2 证明电路无法计算？PARITYPARITY\mathsf{PARITY}AC0AC0\mathsf{AC}^0
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Goldreich-Levin / Kushilevitz-Mansour学习算法的最佳查询复杂度
Goldreich-Levin学习算法最著名的查询复杂度是什么？ 从卢卡的Trevisan的博客讲义，引理3，指出它作为。就依赖而言，这是最著名的吗？对于引用可引用来源的信息，我将特别感激！O （1 / ϵ4n 日志n ）Ø（1个/ϵ4ñ日志⁡ñ）O(1/\epsilon^4 n \log n)ññn 相关问题：Kushilevitz-Mansour学习算法最著名的查询复杂度是什么？
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超立方体上卷积的熵
说，我们有一个功能，使得Σ X ∈ Ž Ñ 2 ˚F （X ）2 = 1（所以我们可以想到的{ ˚F （X ）2 } X ∈ Ž Ñ 2作为分布） 。很自然地限定这样的功能的熵如下： H ^ （˚F ）= - Σ X ∈ Ž Ñ 2 ˚F （Xf:Zn2→Rf:Z2n→Rf:\mathbb{Z}_2^n \to \mathbb{R}∑x∈Zn2f(x)2=1∑x∈Z2nf(x)2=1\sum _{x\in \mathbb{Z}_2^n} f(x)^2 = 1{f(x)2}x∈Zn2{f(x)2}x∈Z2n\{ f(x)^2\} _{x\in \mathbb{Z}_2^n}H(f)=−∑x∈Zn2f(x)2log(f(x)2).H(f)=−∑x∈Z2nf(x)2log⁡(f(x)2).H(f) = -\sum _{x \in \mathbb{Z}_2^n} f(x)^2 …
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就布尔函数的敏感度而言，其上界
在布尔函数的复杂性度量研究中，一个非常有趣的开放问题是所谓的灵敏度vs块灵敏度猜想。有关灵敏度和块灵敏度的背景知识，请参见 S. Aaronson的以下博客文章，网址为http://www.scottaaronson.com/blog/?p=453。 据我所知，就而言，上已知的最佳上限是。[凯尼恩，Kutin纸]但是，当然也许是更方便的涉及到的其他一些复杂性度量发言权，度作为多项式超过，即，尺寸最高的傅立叶系数。s （f ）b s （f ）= O （e s （f ）√b 小号（˚F）bs(f)bs(f)小号（˚F）s(f)s(f)s（f）f度（f）fRb 小号（˚F）= O （e小号（˚F）小号（˚F）----√）bs(f)=O(es(f)s(f))bs(f)=O(e^{s(f)}\sqrt{s(f)})小号（˚F）s(f)s(f)Fff度（f）deg⁡(f)\deg(f)Fff[RR\mathbb{R} 问题是，就而言，在上已知的最佳上限是多少？s （f ）度（f）deg⁡(f)\deg(f)小号（˚F）s(f)s(f)
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这个“亚群包装”多表位是整体的吗？
令为一个有限的阿贝尔群，并令为的多面体，定义为满足以下不等式的点：P - [R Γ XΓΓ\GammaPPP[RΓRΓ\mathbb{R}^\GammaXxx ∑G∈ g ^XG≤ | G |XG≥ 0∀ ģ ≤ Γ∀ 克＆Element; Γ∑g∈Gxg≤|G|∀G≤Γxg≥0∀g∈Γ\begin{array}{cl} \sum_{g\in G} x_g \le |G| & \forall G \le \Gamma \\ x_g \ge 0 & \forall g \in \Gamma \end{array} 其中表示是的子组。是整数吗？如果是这样，我们可以表征其顶点吗？ģ Γ P摹≤ ΓG≤ΓG \le \GammaGGGΓΓ\GammaPPP 我的问题最初是由，其中一些小例子（）提示答案是“是”和“也许，但这并不简单”。我还尝试了9个和10个元素上的循环基团，以及，其中多面体也是不可或缺的。当是，和任何一个时，多面体不是整数，因此，阿拉伯语显然是必不可少的。 Ñ = 2 ，3 ˚F 2 …
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多对数独立性的愚弄导致收紧指数方面取得了任何进展
Braverman证明了 （升Ò 克米ϵ）O （d2）（升ØG米ϵ）Ø（d2）(log \frac{m}{\epsilon})^{O(d^2)}明智的独立 ϵϵ\epsilon-傻瓜深度 ddd 一个C0一个C0AC^0 电路尺寸 米米m 通过“粘合”在一起的Smolensky逼近和Fourier逼近 一个C0一个C0AC^0可计算的布尔函数。作者和对此进行猜想的人最初猜想那里的指数可以简化为Ø （d）Ø（d）O(d)，我很好奇是否已经取得了进展，因为我想它会涉及产生一个相关距离很近的多项式，并且实际上与大量输入上的函数一致，所以我认为这会是一个非常有趣的近似值，无需将这两者粘合在一起。是否有某些理由期望这种近似值必须具有度O （d2）Ø（d2）O(d^2) 当Braverman在2010年撰写论文时还不知道吗？ 关于我的这篇论文的另一个问题是，尽管猜想是在Bobobana在敏感度之前写的，但它与Boppana的敏感度相似。当然，这不是巧合，因为如果傅里叶多项式起作用，则该界线对应于您可以从Boppana界中得出的傅里叶集中度，但是您知道的直觉比“如果傅里叶多项式起作用” ，这就是您所得到的”吗？
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