Questions tagged «optimization»

有关从某些可用替代方案中选择最佳元素的一般问题。

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寻找位移最大值的线性时间算法
假设给定一个数组其中包含非负整数（不一定是唯一的）。A[1..n]A[1..n]A[1..n] 令为升序排列。我们要计算 BBBAAAm=maxi∈[n]B[i]+i.m=maxi∈[n]B[i]+i.m = \max_{i\in [n]} B[i]+i. 显而易见的解决方案是对A进行排序AAA，然后计算mmm。这给出了在最坏情况下在时间O（n \ lg n）上运行的算法O(nlgn)O(nlg⁡n)O(n \lg n)。 有可能做得更好吗？我们可以计算mmm的线性时间？ 我的主要问题是上述问题。但是，了解该问题的以下概括将很有趣。 令BBB为AAA根据oracle \ leq的比较排序≤≤\leq ，fff为oracle提供的函数。给定\ leq和f的AAA和oracles，对于计算m = \ max_ {i \ in [n]} f（B [i]，i）所需的时间，我们能说什么？≤≤\leqfffm=maxi∈[n]f(B[i],i)m=maxi∈[n]f(B[i],i)m = \max_{i \in [n]} f(B[i],i) 我们仍然可以在O（n \ lg n）时间中计算m。但是我们可以证明这种广义情况下的超线性下界吗？mmmO(nlgn)O(nlg⁡n)O(n \lg n) 如果答案是肯定的，那么如果我们假设≤≤\leq是整数的通常顺序并且fff是“ nice”函数（单调，多项式，线性等），那么下界是否成立？
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易于优化但难以评估
是否存在优化问题的已知自然例子，对于这些问题，生成最佳解决方案要比评估给定候选解决方案的质量容易得多？ 为了具体起见，我们可以考虑该形式的多项式时间解优化问题：“给定的x，最小化 ”，其中˚F ：{ 0 ，1 } * × { 0 ，1 } * → Ñ例如＃P-hard。显然存在这样的问题（例如，即使f不可计算，我们对所有x都可能有f （x ，0 ）= 0），但是我正在寻找表现出这种现象的``自然''问题。f（x ，y）F（X，ÿ）f(x, y)F： { 0 ，1 }∗× { 0 ，1 }∗→ NF：{0，1个}∗×{0，1个}∗→ñf:\{0,1\}^*\times\{0,1\}^* \to \mathbb{N}F（x ，0 ）= 0F（X，0）=0f(x, 0) = 0XXxFFf
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程序最小化
电路最小化是最小化给定电路尺寸的问题。一般程序有什么类似的东西吗？ 我的问题尤其是- 是否存在用于最小化给定程序的指令数量的算法。我知道这是一个无法确定的问题，但我不是在寻找能够返回最佳结果的解决方案。 虽然可以应用现有的编译器转换来完成此操作，但我正在寻找不需要定义一组非常狭窄的转换和算法来预先搜索它们的东西。 编辑：我还有另一个问题是，是否可以进行一个合理而完整的演算，以使我们能够探索这种语义上等效的程序的整个空间，或者这是不可能的。
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设置优化问题-它是否完整？
给出集合S={e1,⋯,en}S={e1,⋯,en}S=\{e_1,\cdots,e_n\}。对于每个元素eieie_i，权重wi>0wi>0w_i>0，成本ci>0ci>0c_i>0。目标是找到子集MMM尺寸的kkk最大化以下目标函数： ∑ei∈Mwi+∑ei∉Mwici∑ei∉Mci∑ei∈Mwi+∑ei∉Mwici∑ei∉Mci\sum_{e_i\in M} w_i + \frac{\sum_{e_i\notin M} w_i c_i}{\sum_{e_i\notin M} c_i}。 问题是NP难吗？ 由于目标函数看起来很奇怪，因此有助于解释目标函数的应用。 假设我们有n项e1e1e_1至enene_n并且清单中每个对象e i都有cicic_i副本。我们有一些客户，他们对这些物体的重量w i感兴趣，这意味着w i更大的物体更受欢迎。我们有一个在线销售系统，我们需要正确回答客户的要求。我们无法通过物体的形状识别物体（它们看起来都一样！）。但是我们有一些分类器可以找到它们。每个分类器可用于检测对象的副本。我们旨在运行k分类器，以最大程度地提高客户的满意度。eiË一世e_iwiw一世w_iwiw一世w_i PS：这可能是考虑的情况下有用的对于所有我≤ Ñ ; 但是，我不确定。[ 我错了！根据这个假设在P中 ]wici=pw一世C一世=pw_i c_i=pi≤n一世≤ñi\leq n
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MCTS / UCT的应用
MCTS / UCT是一种游戏树搜索方法，它使用强盗算法来选择有前途的节点进行探索。游戏将随机进行至完成，并且会更深入地探索导致更多胜利的节点。强盗算法在探索具有较高获胜率的节点与探索未知节点之间保持了平衡（并且以纯形式不一定使用启发式评估函数）。基于这种通用技术的程序在计算机Go中取得了惊人的效果。 是否将强盗驱动的蒙特卡洛搜索应用于其他任何搜索问题？例如，这对于近似MAX-SAT，BKP或其他组合优化问题的解决方案是否有用？问题的任何特定特征（结构/统计/等）是否暗示了强盗式方法是否有效？ 由于解空间的性质，是否存在任何已知的确定性问题可以完全抵御强盗方法？
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是否了解此覆盖问题的复杂性？
让 G=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)成为图。顶点集X⊆VX⊆VX\subseteq V被称为关键，如果X≠∅X≠∅X\neq\emptyset 而且没有顶点 V∖XV∖XV\setminus X 恰好与中的一个顶点相邻 XXX。问题是找到一个顶点集S⊆VS⊆VS\subseteq V 最小尺寸使得 S∩X≠∅S∩X≠∅S\cap X\neq\emptyset 对于每个关键集合 XXX。 该问题具有以下谣言传播的解释：顶点 iii 将谣言传给邻居 jjj 当且仅当...的所有其他邻居 iii已经被告知。问题是，我最初必须通知多少个顶点，以确保最后通知每个人。
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产生有趣的组合优化问题
我正在教授一门有关元启发式的课程，并且需要为该术语项目生成有趣的经典组合问题实例。让我们专注于TSP。我们正在处理尺寸图200200200和更大。我当然尝试生成具有成本矩阵的图形，该矩阵的值取自随机U(0,1)U(0,1)U(0,1)，并发现（如预期的那样）路径成本的直方图（通过采样大量随机路径得出）的正态分布非常窄（μμ\mu 是 100 100~100 但 σσ\sigma 在附近 444）。在我看来，这意味着问题很容易，因为大多数随机路径都将低于平均值，而最小成本路径非常接近随机路径。 因此，我尝试了以下方法： U(0,1)U(0,1)U(0,1)-矩阵，在图表上随机走很长一段距离，然后随机（Bernoulli与 p=0.5p=0.5p=0.5）将边缘的值加倍或减半。这往往会降低所有值，最终达到零，但是如果我采取正确的步骤数，则可以得到μμ\mu 周围 222 和 σσ\sigma 周围 111。 我的问题是，首先，这是否是一个有趣问题的良好定义？理想情况下，我需要一个高度多模态的实例（对于最常见的邻域函数），并且在极小值附近只有很少的路径，因此大多数随机解都离最优值很远。第二个问题是，给出此描述后，如何生成具有此类特征的实例？
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所有顶点匹配的最小生成树
我遇到了这个匹配问题，因此我无法写下多项式时间算法。 让 P,QP,QP, Q 是具有顶点集的完整加权图 PVPVP_V 和 QVQVQ_V分别在哪里 |PV|=|QV|=n|PV|=|QV|=n|P_V| = |Q_V|=n。另外，让wPwPw_P 和 wQwQw_Q 是边上的权重函数 PPP 和 QQQ， 分别。 对于双射 f:PV→QVf:PV→QVf: P_V \to Q_V 我们修改 QQQ 以以下方式：如果 f(p)=qf(p)=qf(p) = q 和 f(p′)=q′f(p′)=q′f(p^\prime) = q^\prime 与 wP(p,p′)>wQ(q,q′)wP(p,p′)>wQ(q,q′)w_P(p, p^\prime) > w_Q(q, q^\prime) 然后设置 wQ(q,q′)=wP(p,p′)wQ(q,q′)=wP(p,p′)w_Q(q, q^\prime) = w_P(p, p^\prime)。将此修改图表示为QfQfQ_f 然后让 W(Qf)W(Qf)W(Q_f) 是最小生成树的权重之和 QfQfQ_f。 问题：最小化W(Qf)W(Qf)W(Q_f) …
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线性系统如何/为什么对计算机科学如此重要？
最近，我开始涉足数学优化，并且对此非常喜欢。似乎很多优化问题可以通过线性程序轻松表达和解决（例如，网络流量，边缘/顶点覆盖，旅行推销员等），我知道其中一些是NP难点的，但关键是它们可以如果未得到最佳解决，则“框架化为线性程序”。 那让我开始思考：在整个学校/学院中，我们一直都被教导线性方程组，线性代数系统。看到LP表达各种算法的强大功能，这真是令人着迷。 问题：尽管我们周围普遍存在非线性系统，但是线性系统对计算机科学为何如此重要？我确实知道，它们有助于简化理解，并且在大多数情况下在计算上易于处理，是吗？这个“近似值”有多好？我们过度简化了吗，结果在实践中仍然有意义吗？还是仅仅是“自然”，即最令人着迷的问题确实只是线性的？ 确保“线性代数/方程/编程”是CS的基石是否安全？如果不是，那么有什么矛盾呢？我们多久处理一次非线性问题（我在理论上不一定是指，但从“可解决性”的角度来看也是如此，即仅说它是NP并不能解决问题；应该很好地近似解决这个问题并将其降落）线性吗？）
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涉及随机图的差异变体
假设我们有一个图 nnn节点。我们想为每个节点分配一个+1+1+1 或 −1−1−1。将此称为配置σ∈{+1,−1}nσ∈{+1,−1}n\sigma \in \{+1,−1\}^n。的数量+1+1+1我们必须分配的正是 sss （因此， −1−1−1s是 n−sn−sn−s。）给定配置 σσ\sigma，我们看每个节点 iii 并求和分配给其邻居的值，称为 ξi(σ)ξi(σ)\xi_i(\sigma)。然后，我们计算其中的节点数ξi(σ)ξi(σ)\xi_i(\sigma) 是非负的： N(σ):=∑i=1n1{ξi(σ)≥0}.N(σ):=∑i=1n1{ξi(σ)≥0}.N(\sigma):=\sum_{i=1}^n 1\{\xi_i(\sigma) \ge 0\}. 问题是：什么是配置 σσ\sigma 最大化 N(σ)N(σ)N(\sigma)？更重要的是，我们可以限制一下吗(maxN)/n(maxN)/n(\max N)/n以。我想知道这个问题是否对任何人都熟悉，或者可以简化为图论中的一些已知问题。如果有帮助，可以将该图假定为Erdős-Renyi类型的随机数（例如，G（n，p）的边沿概率为，即平均度数增长为）。主要指令是在。s/ns/ns/np (logn)/np (log⁡n)/np ~ (\log n)/nlognlog⁡n\log ns/n∈(0,1/2)s/n∈(0,1/2)s/n \in (0,1/2)
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启发式优化
既然是星期五，是时候问CW了。我正在寻找在优化问题中广泛使用的启发式方法。为了将范围限制为更“理论友好”的启发式方法，以下是规则（有些是任意的，有些不是） 它应该是定义明确的方法，没有大量参数，并且具有具体的运行时间（可能是每次迭代） 它应该具有一些与之相关的已知理论结果（收敛速度，近似边界（如有），平稳性质等） 它应该具有广泛的适用性，并且至少是一种旗舰应用程序，无论是选择方法还是其中几种方法之一。 它不应该受到大自然的启发（尽管这似乎是轻率的反对，但我试图排除遗传算法，蚁群优化等）。 理想情况下，答案应采用以下格式：这是一个示例。 名称：交替优化 目标：最小化（通常是非凸的）函数F（x ，y）f(x,y)f(x,y) 条件：相关功能G（x ）=分ÿF（x ，y）g(x)=minyf(x,y)g(x) = \min_y f(x,y) 和 ħ （ÿ）=分XF（x ，y）h(y)=minxf(x,y)h(y) = \min_x f(x,y) 是凸的 算法：一世日ithi^{\text{th}} 迭代开始于 X一世，ÿ一世xi,yix_i, y_i。 xi+1←argminxf(x,yi)xi+1←arg⁡minxf(x,yi)x_{i+1} \leftarrow \arg \min_x f(x, y_i) yi+1←argminyf(xi+1,y)yi+1←arg⁡minyf(xi+1,y)y_{i+1} \leftarrow \arg\min_y f(x_{i+1}, y) 最知名的应用程序：kkk-表示，迭代最接近的对。 理论：关于的已知结果kkk-手段，框架全局最优的一般充分条件 ps：您可能会发现您的答案最终成为了我正在计划的算法研讨会的演讲：)
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