Questions tagged «cc.complexity-theory»

P与NP以及其他资源受限的计算。

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什么是
这与以下问题有关：是否已经知道每种NP语言的成员证人人数？ 一些自然的（完全）问题具有线性长度的证明：对S A T的满意分配，对H A M P A T H的顶点序列等。ñ PNP\mathsf{NP}小号一个牛逼SATSATH一个MP一个牛逼HHAMPATHHAMPATH 考虑复杂度等级“ 限于线性长度见证人”。这种复杂性类的正式定义，称之为Ç：大号∈ Ç如果∃ 大号' ∈ P：（X ∈ 大号ñ PNP\mathsf{NP}CC\mathcal{C}大号∈ ÇL∈CL\in\mathcal{C}。∃ 大号′∈ P：（X ∈ 大号⟺∃ 瓦特∈ { 0 ，1 }O （| x |）：（X ，瓦特）∈ 大号′）∃L′∈P:(x∈L⟺∃w∈{0,1}O(|x|):(x,w)∈L′)\exists L'\in\mathsf{P}\colon (x\in L \iff \exists w\in\{0, 1\}^{O(|x|)}\colon (x, w)\in L') 这是已知的复杂性类吗？它有什么特性？
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近似
编辑（v2）：在末尾添加了关于我对该问题的了解的部分。 编辑（v3）：最后添加了关于阈值度的讨论。 题 这个问题主要是参考要求。我对这个问题不太了解。我想知道以前是否有关于这个问题的工作，如果是，有人可以指出我有关该问题的任何论文吗？我还想知道当前的近似最佳边界。任何其他信息（例如历史信息，动机，与其他问题的关系等）也将受到赞赏。AC0AC0\textrm{AC}^0 定义 让f:{0,1}n→{0,1}f:{0,1}n→{0,1}f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}是布尔函数。令ppp为具有实系数的变量至的多项式。多项式的阶数是所有单项式的最大阶数。单项式的次数是该单项式中出现的各种的指数之和。例如。x1x1x_1xnxnx_nxixix_ideg(x71x23)=9deg(x17x32)=9\textrm{deg}(x_1^7x_3^2) = 9 如果对于所有，则多项式称为 epsilon-近似。布尔函数的近似度，表示为，是近似的多项式的最小度。对于一组函数，是最小次数这样中的每个函数都可以被逼近，次数最多为的多项式pppϵϵ\epsilonfff|f(x)−p(x)|&lt;ϵ|f(x)−p(x)|&lt;ϵ|f(x)-p(x)|<\epsilonxxxϵϵ\epsilonfffdeg˜ϵ(f)deg~ϵ(f)\widetilde{\textrm{deg}}_{\epsilon}(f)ϵϵ\epsilonfffFFFdeg˜ϵ(F)deg~ϵ(F)\widetilde{\textrm{deg}}_{\epsilon}(F)dddFFFϵϵ\epsilonddd。 注意，每个函数都可以用多项式表示，而不会出现错误。某些函数确实确实需要多项式才能近似于任何恒定误差。奇偶校验就是这种功能的一个例子。nnnnnn 问题陈述 什么是？（常数1/3是任意的。）deg˜1/3(AC0)deg~1/3(AC0)\widetilde{\textrm{deg}}_{1/3}(\textrm{AC}^0) 笔记 我在Paul Beame和Widad Machmouchi 的论文《 AC0的量子查询复杂度》中遇到了这个问题。他们说 同样，我们的结果也无助于缩小AC0函数近似度的下限。 他们在致谢中也提到“ AC0近似度的问题”。 因此，我认为以前对此问题已有过研究吗？有人可以指出我有关该问题的论文吗？什么是最著名的上限和下限？ 我对这个问题的了解（在问题的 v2中添加了此部分） 最熟知的上上限是知道的是微不足道的上限Ñ。最好的下界，我知道来自阿伦森和施氏下界碰撞和元素明显的问题，这给下界〜Ω（ñ 2 / 3）。（对于AC 0的严格限制版本，例如公式大小为o （n 2）的公式，或深度为2的o （n 2）回路deg˜1/3(AC0)deg~1/3(AC0)\widetilde{\textrm{deg}}_{1/3}(\textrm{AC}^0)nnnΩ~(n2/3)Ω~(n2/3)\tilde{\Omega}(n^{2/3})AC0AC0\textrm{AC}^0o(n2)o(n2)o(n^2)o(n2)o(n2)o(n^2)门，我们可以使用量子查询复杂度证明上限。）o(n)o(n)o(n) 相关：阈值度（在v3中添加） 正如Tsuyoshi在评论中指出的那样，该问题与确定的阈值度的问题有关。函数f的阈值度是多项式p的最小度，使得f （x ）= 1AC0AC0\textrm{AC}^0fffppp且 f （x ）= 0f(x)=1⟹p(x)&gt;0f(x)=1⟹p(x)&gt;0f(x)=1 \implies p(x)>0。f(x)=0⟹p(x)&lt;0f(x)=0⟹p(x)&lt;0f(x)=0 \implies p(x)<0 Sherstov现在已改善了阈值程度的下限。他针对阈值度接近Ω …
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这个覆盖问题的复杂性是什么？
编辑：我首先将约束（2）的格式错误，现在可以更正。我还添加了更多信息和示例。 与一些同事一起研究其他算法问题，我们可以将问题简化为以下有趣的问题，但是我们无法解决其复杂性问题。问题如下。 实例：整数nnn，整数以及集合的对的集合。k&lt;nk&lt;nk<nS={{s1,t1},…,{sn,tn}}S={{s1,t1},…,{sn,tn}}S=\{\{s_1,t_1\},\ldots,\{s_n,t_n\}\}nnn{1,…,n}{1,…,n}\{1,\ldots,n\} 问题：是否有一个组尺寸的使得对于每个元件的： （1）如果，间隔是包括在一些间隔通过在一对限定和（2）中的至少一个，属于某些对？ （2）属于一对。S′⊆SS′⊆SS'\subseteq Skkkiii我&lt; Ñ [ 我，我+ 1 ] [ s ^ 我，吨我 ] 小号' 我我+ 1个小号'我š '{1,…,n}{1,…,n}\{1,\ldots,n\}i&lt;ni&lt;ni<n[i,i+1][i,i+1][i,i+1][si,ti][si,ti][s_i,t_i]S′S′S' iiii+1i+1i+1S′S′S'iiiS′S′S' 示例 设置是一个可行的解决方案（假设为偶数）：对确保条件（1），而所有其他对确保条件（2）。n { 1 ，n }{{i,i+1} | i is odd}∪{1,n}{{i,i+1} | i is odd}∪{1,n}\{\{i,i+1\}~|~i~\text{ is odd}\}\cup\{1,n\}nnn{1,n}{1,n}\{1,n\} 备注 （I）由于每对都恰好包含两个元素，为了满足条件（2），我们至少需要对。顺便说一句，由于我们假设，因此这意味着通过返回整个实现平凡的2逼近。秒| S| ≤ñn2n2\frac{n}{2}SSS|S|≤n|S|≤n|S|\leq n （II）的看问题的另一种方法是考虑用梯子步骤（如一个下面），具有一组一起的梯子的周期。阶梯的每个步骤对应于某个元素，并且每个侧边都是间隔。包含步骤循环正好对应于：它涵盖了和之间所有连续间隔，并且在和处都停止。接下来的问题是是否存在一组的nnnÑ [ 我，我+ 1 ] 小号，吨{ 小号，吨} …
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近似硬度-加法误差
有大量文献，至少有一本非常好的书，列出了在乘法误差（例如，假设UGC的情况下，顶点覆盖率的2近似是最佳的）下NP困难问题的近似结果的已知硬度。这还包括众所周知的近似复杂度类，例如APX，PTAS等。 当考虑加法误差时，已知​​什么？文献搜索显示了一些上限类型的结果，尤其是对于装箱而言（请参阅例如http://www.cs.princeton.edu/courses/archive/spr03/cs594/dpw/lecture2.ps），但是有更全面的复杂性类别分类，还是有原因使其不那么有趣或没有意义？ 作为进一步的评论，例如，对于箱装箱，据我所知，尚无理论上的原因，为什么找不到一直处于距最佳值1的加法距离之内的多边形时间算法（尽管我有待纠正） ）。这样的算法会否使任何复杂度类别崩溃或具有任何其他重要的理论连锁效应？ 编辑：我没有使用的关键词是“渐近逼近类”（感谢Oleksandr）。似乎在这一领域有一些工作，但是还没有达到与经典逼近类理论相同的成熟阶段。
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将日志空间与多项式时间分开
显然，在确定性对数空间（）中可确定的任何问题最多都在多项式时间（）中运行。和之间有很多复杂性类。示例包括，，，，，。人们普遍认为，。LLLPPPLLLPPPNLNLNLLogCFLLogCFLLogCFLNCiNCiNC^iSACiSACiSAC^iACiACiAC^iSCiSCiSC^iL≠PL≠PL \neq P 在我的一篇博客文章中，我提到了两种证明方法（以及相应的猜想）。这两种方法都基于分支程序，并且相隔20年！是否有其他方法和/或猜想来分离L≠PL≠PL \neq PLLL与PPP分开（或）将和之间的任何中间类别分开。LLLPPP
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Shor算法的2016年实现是否真的可扩展？
此问题是从计算机科学堆栈交换迁移而来的，因为可以在理论计算机科学堆栈交换中回答。 迁移 3年前。 在2016年科学论文“ 可扩展Shor算法的实现 ” [ 1 ]中，作者分解了15个仅有5个量子位的因子，这比根据[ 2 ]的表1 和[ 3的表5]所要求的8个量子位要少。]。8比特的要求来自[ 4 ] 的末尾，它指出分解一个比特数所需的qubit 数为，对于15而言为。1.5 Ñ + 2 1.5 ⋅ 4 + 2 = 8ñnn1.5 n + 21.5n+21.5n+21.5 ⋅ 4 + 2 = 81.5⋅4+2=81.5\cdot 4 + 2=8 仅使用5个量子位的论文指出，他们的算法“将作用于M个量子位的QFT替换为重复作用于单个量子位的半经典QFT”，但是这种算法对算法复杂性的后果却从未提及。 现在，对论文以“可缩放”的方式声称因子15的批评遭到了严厉批评，正如他们在第2节中所说的那样，Shor算法的复杂性论点不再成立。但是，这种批评在任何地方都没有得到证实，《科学》杂志不断以Shor算法的“可扩展”版本而广受赞誉。“可伸缩” Shor算法的复杂性是什么？ [ 1 ] Monz 等。（2016）科学。卷 351，第6277期，第1068-1070页 [ 2 …
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SAT oracle可以帮助多少加速多项式时间算法？
访问 oracle将为N P - P中的所有内容提供主要的超多项式加速（假定集合不为空）。但是，尚不清楚P从此oracle访问中可受益多少。当然，P中的加速不能是超多项式，但仍然可以是多项式。例如，是否可以使用S A T oracle来比不使用它来更快地找到最短路径？如何处理一些更复杂的任务，例如子模块函数最小化或线性编程？他们（或P中的其他自然问题）是否将从S A T中受益SATSATSATNP−PNP−P{\bf NP}-{\bf P}PP\bf PPP\bf PSATSATSATPP\bf PSATSATSAT 甲骨文？ 更笼统地说，如果我们可以选择任何问题并为其使用预言，那么P中的哪些问题可以看到提速？NP−PNP−P{\bf NP}-{\bf P}PP\bf P
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细粒度复杂性理论中的这些假设之间有什么关系？
复杂性理论通过诸如NP完整性之类的概念来区分具有相对有效解决方案的计算问题和难以解决的计算问题。“细粒度”的复杂性旨在将这种定性区别改进为定量指导，以解决问题所需的确切时间。可以在这里找到更多详细信息：http : //simons.berkeley.edu/programs/complexity2015 以下是一些重要的假设： ETH：333 - SATSATSAT要求2δn2δn2^{\delta n}时间对于某些δ&gt;0δ&gt;0 \delta > 0。 SETH：对于每个ε&gt;0ε&gt;0\varepsilon > 0，都有一个kkk使得n个变量上的kkk - 不能在2 （1 - ε ）n p o l y m时间内求解m个子句。SATSATSATnnnmmm2(1−ε)n poly m2(1−ε)n poly m2^{(1-\varepsilon)n}~poly~m 众所周知，SETH比ETH强，并且两者都比P≠NPP≠NPP \neq NP强，并且都比FTP≠W[1]FTP≠W[1]FTP\neq W[1]。 其他四个重要猜想： 3SUM猜想：在{ − n 3，… ，n 3 }中的nnnn整数上的3SUM 需要n 2 − o （1 ）时间{−n3,…,n3}{−n3,…,n3}\{-n^3,…,n^3\}n2−o(1)n2−o(1)n^{2-o(1)} OV猜想：向量上的正交向量nnn需要n2−o(1)n2−o(1)n^{2-o(1)}时间。 APSP猜想：nnn节点上的所有对最短路径和O(logn)O(log⁡n)O(\log n)位权重需要n3−o(1)n3−o(1)n^{3-o(1)}时间。 …
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用多项式表示OR
我知道平凡OR功能上nnn变量x1,…,xnx1,…,xnx_1,\ldots, x_n可以准确地由多项式表示的p(x1,…,xn)p(x1,…,xn)p(x_1,\ldots,x_n)作为这样的： p(x1,…,xn)=1−∏ni=1(1−xi)p(x1,…,xn)=1−∏i=1n(1−xi)p(x_1,\ldots,x_n) = 1-\prod_{i = 1}^n\left(1-x_i\right)，其次数为nnn。 但是，我怎么能证明什么似乎很明显，如果是正好代表或功能的多项式（所以∀ X ∈ { 0 ，1 } ñ：p （X ）= ⋁ ñ 我= 1 X 我），然后度（p ）≥ ñ？ppp∀x∈{0,1}n:p(x)=⋁ni=1xi∀x∈{0,1}n:p(x)=⋁i=1nxi\forall x \in \{0,1\}^n : p(x) = \bigvee_{i = 1}^n x_ideg(p)≥ndeg⁡(p)≥n\deg(p) \ge n
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为什么哈密尔顿循环与永久循环如此不同？
多项式是单调凸起的多项式克（Ý 1，... ，ÿ 米）如果米 =聚（Ñ ），并且有一个赋值 π ：{ Ý 1，... ，ÿ 米 } → { X 1，... ，X ñ，0 ，1f(x1,…,xn)f(x1,…,xn)f(x_1,\ldots,x_n)g(y1,…,ym)g(y1,…,ym)g(y_1,\ldots,y_m)mmm(n)(n)(n) ，使得 f （x 1，… ，x n）= g （π （y 1），… ，π （y m））。也就是说，有可能替换每个变量 ÿ Ĵ的克由可变 X 我或恒定 0或 1，使得所得多项式重合与 ˚F。 π:{y1,…,ym}→{x1,…,xn，0 ，1 }π:{y1,…,ym}→{x1,…,xn,0,1}\pi:\{y_1,\ldots,y_m\}\to\{x_1,\ldots,x_n, 0,1\}F（x1个，… ，xñ）= g（π（y1个），… ，π（y米））f(x1,…,xn)=g(π(y1),…,π(ym))f(x_1,\ldots,x_n)=g(\pi(y_1),\ldots,\pi(y_m))ÿĴyjy_jGggX一世xix_i0001个11Fff 我对永久多项式PER和汉密尔顿循环多项式HAM之间的差异感兴趣（原因）： ，其中所述第一求和是在 所有排列ħ …
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采样可满足的3-SAT公式
考虑以下计算任务：我们要针对均匀概率分布抽样一个由变量（变体：变量子句）组成的3-SAT公式，条件是该公式可满足：Ñ 米ñnnñnn米mm 问题1：能否通过传统计算机（带有随机位）有效地实现这一点？ 问题2：量子计算机能否有效地实现这一目标？ 我也对以下两个变体感兴趣： V2：对所有公式进行抽样，并获得概率分布，该概率分布使可满足的公式的权重是不满足的公式的权重的两倍。 V3：您在其中权重是满足要求的作业数量的示例（此处仅关注Q2）。 更新： Colins的答案演示了V3的简单算法。（我假设这在传统上是困难的，这是错误的。）让我提及所有三个问题的另一个变体： 您需要预先指定子句，并且需要对输入子句的随机可满足子集进行采样。米mm
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结识别作为工作证明
当前，比特币具有使用SHA256的工作量证明（PoW）系统。其他哈希函数使用工作量证明系统使用图形，部分哈希函数反转。 是否可以在打结理论中使用诸如打结识别之类的决策问题并将其转化为工作功能的证明？也有人做过吗？另外，当我们具有此工作量证明功能时，它将比当前正在计算的功能更有用吗？
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