Questions tagged «cg.comp-geom»

计算几何是从计算的角度研究几何问题。问题的示例包括：计算诸如凸包的几何对象，降维，度量空间中的最短路径问题，或找到近似整个集合的某个度量（即核心集）的小点子集。

2
超级马里奥银河问题
假设马里奥（Mario）在行星表面行走。如果他从已知的位置开始沿固定的方向行走了预定的距离，我们将如何快速确定他将在哪里停下来？ 更正式地说，假设我们在3空间中得到了凸多面体，P的表面上的起点s，方向矢量v（在包含p的某些小平面中），并且距离ℓ。我们多快可以确定P Mario的哪一面停在内部？（作为技术要点，假设如果Mario进入P的顶点，他会立即爆炸；所幸，这种情况几乎不会发生。）PPPsssPPPvvvpppℓℓ\ellPPPPPP 或者，如果您愿意：假设我们预先获得了多面体，源点s和方向向量v。预处理之后，我们能够多快地回答了一定距离的问题ℓ？PPPsssvvvℓℓ\ell 简单地跟踪Mario的足迹很容易，尤其是当仅具有三角形小平面时。每当Mario通过其边缘之一进入构面时，我们可以在O （1 ）时间中确定他必须穿过其他两个边缘中的哪一个。尽管该算法的运行时间仅在边缘交叉数量上是线性的，但它不受输入大小的限制，因为距离ℓ可以任意大于P的直径。我们可以做得更好吗？PPPO （1 ）O(1)O(1)ℓℓ\ellPPP （在实践中，路径长度实际上不是无限的;还有一个全球性的上界表示输入所需要的比特数的条件，但坚持整数投入提出了一些相当恶劣的数值问题-我们如何计算。正是在那里停止吗？—因此，我们坚持使用实际输入和精确的实际算术。） 关于这个问题的复杂性，有什么重要的知识吗？ 更新：根据julkiewicz的评论，很明显，纯RAM的运行时间仅以（多位点的复杂性）为界是不可能的。考虑双面单元方的特殊情况下[ 0 ，1 ] 2，与马里奥开始（0 ，1 / 2 ）和在行走方向（1 ，0 ）。马里奥将停止在前面或取决于整数的奇偶平方的背面⌊ ℓ ⌋。除非我们很高兴，否则我们无法在真实RAM上恒定时间计算下限函数ñnn[ 0 ，1 ]2[0,1]2[0,1]^2（0 ，1 / 2 ）(0,1/2)(0,1/2)（1 ，0 ）(1,0)(1,0)⌊ ℓ ⌋⌊ℓ⌋\lfloor \ell \rfloor等同PSPACE和P。但是，我们可以计算在Ø （日志ℓ ）通过指数检索，这是在天真的算法的指数调整时间。 在时间多项式ñ和日志ℓ总能实现？⌊ ℓ ⌋⌊ℓ⌋\lfloor \ell \rfloorO （对数ℓ ）O(log⁡ℓ)O(\log \ell)ñnn日志ℓlog⁡ℓ\log \ell
1
多项式Hirsch猜想的组合版本
考虑{1,2，…，n}，F 1，F 2，… F t的不相交的子集。ŤttF1个，F2，… FŤF1,F2,…Ft{\cal F}_1,{\cal F_2},\dots {\cal F_t} 假设 （*） 对于每一个 和每ř ∈ ˚F我，和Ť ∈ ˚F ķ，有小号∈ ˚F Ĵ含有ř ∩ Ť。i < j < ki<j<ki \lt j \lt k[R ∈ ˚F一世R∈FiR \in {\cal F}_iŤ∈ ˚FķT∈FkT \in {\cal F}_k小号∈ ˚FĴS∈FjS \in {\cal F}_jř ∩ ŤR∩TR \cap T 基本问题是： 不能多大？？？ …
3
计算几何学研究人员偏爱BSS / real-RAM模型的原因是什么？
背景 由于实数是无限的对象并且存在无数的实数，因此实数的计算比自然数的计算更为复杂，因此实数不能由有限字母在有限字母上忠实地表示。 不同于经典的关于有限字符串的可计算性，在这里，不同的计算模型，例如：lambda演算，图灵机，递归函数，……证明是等效的（至少对于字符串上的函数具有可计算性），有多种提议的模型可用于不兼容的实数。例如，在最接近经典Turing机器模型的TTE模型（另请参见[Wei00]）中，实数使用无限输入带（如Turing的预言片）表示，因此无法确定比较和两个给定实数之间的相等关系（在有限的时间内）。另一方面，在BBS / real-RAM模型中，类似于RAM机器模型，我们有可以存储任意实数的变量，并且比较和相等性属于模型的原子操作。由于类似的原因，许多专家表示BSS / real-RAM模型不切实际（无法实现，至少在当前的数字计算机上无法实现），并且他们更喜欢TTE或其他等效模型，而不是TTE，例如有效域理论模型，柯·弗里德曼模型等 如果我理解正确，则“ 计算几何”中使用的默认计算模型是BSS（又称real-RAM，请参见[BCSS98]）模型。 另一方面，在我看来，在计算几何中的算法（例如LEDA）的实现中，我们仅处理代数数，并且不涉及更高类型的无限对象或计算（这对吗？）。因此，在我看来（可能是幼稚的）人们也可以使用有限字符串上的经典计算模型来处理这些数字，并使用通常的计算模型（也用于算法的实现）来讨论正确性和复杂性算法。 问题： 计算几何研究人员偏爱使用BSS / real-RAM模型的原因是什么？（使用BSS / real-RAM模型的特定计算几何） 我在上一段中提到的（可能是幼稚的）想法有什么问题？（使用经典的计算模型并将输入限制为“计算几何”中的代数数） 附录： 算法问题也很复杂，在BSS / real-RAM模型中很容易确定以下问题： 由于两套和牛逼正整数， 是Σ 小号∈ 小号√SSSTTT？∑小号∈ 小号s√> ∑吨∈ ŤŤ√∑s∈Ss>∑t∈Tt\sum_{s\in S} \sqrt{s} > \sum_{t\in T}\sqrt{t} 虽然尚无有效的整数RAM算法可解决该问题。感谢JeffE的示例。 参考文献： Lenore Blum，Felipe Cucker，Michael Shub和Stephen Smale，“复杂性与真实计算”，1998年 Klaus Weihrauch，“ 可计算分析，简介 ”，2000年
6
在中为NP完全但在处理的几何问题？
在考虑许多几何问题很容易，但是对于在是NP完全的（包括我最喜欢的问题之一，单位磁盘盖）。R1R1R^1RdRdR^dd≥2d≥2d\geq2 有人知道和可以解决多项式问题，但吗？ R1R1R^1R2R2R^2Rd,d≥3Rd,d≥3R^d,d\geq3 更一般而言，是否存在对于 NP完全但对于可以解决多项式的问题，其中？RkRkR^kRk−1Rk−1R^{k-1}k≥3k≥3k\geq3
3
有限VC维的击中集的参数化复杂度
我对我称之为d维命中集问题的参数化复杂性感兴趣：给定一个范围空间（即一个集合系统/超图），S =（X，R）的VC维最大为d，而a正整数k，X是否包含大小为k的子集，该子集到达R中的每个范围？问题的参数化版本由k参数化。 对于d的什么值是d维命中集问题 在FPT中？ 在W [1]中？ W [1]-难吗？ W [2]-难吗？ 我所知道的可以总结如下： 一维击中集位于P中，因此位于FPT中。如果S的维数为1，则不难证明存在大小为2的打击集，或者S的入射矩阵完全平衡。无论哪种情况，我们都可以找到多项式时间中的最小命中集。 4维命中集是W [1] -hard。Dom，Fellows和Rosamond [PDF]证明了W [1]-硬度适用于用平行轴刺入R ^ 2中的平行轴矩形的问题。可以将其表示为VC维4的范围空间中的击中集。 如果没有对d的限制，则我们有标准的命中集问题，即W [2]-完全和NP-完全。 Langerman和Morin [引文链接]给出了限制尺寸的Set Cover的FPT算法，尽管它们的有界尺寸模型与有界VC维度定义的模型不同。他们的模型似乎不包括例如用点击中半空间的问题，尽管他们模型的原型问题等同于用点击中超平面。
17
几何学洞察力对于解决完全非几何学问题有用的示例
在具有三个空间维度的宇宙中进化的好处之一是，我们开发了解决与空间物体有关的问题的技巧。因此，例如，我们可以将三元组视为3-d中的一个点，因此将有关三元组的计算视为有关3-d中的点的计算，然后可以使用我们对空间的直觉来解决。这似乎表明使用几何学技术有时可能可以解决一个完全非几何学的问题。有人知道这样的例子吗？ 当然，术语“几何”和“非几何”在这里有点模糊。可以辩称，如果将所有点替换为其坐标，则任何几何问题实际上都是非几何问题。但从直观上看，定义很明确。假设我们考虑将有关其的论文发送给SoCG，那么我们称其为几何图形。
1
L2等距嵌入到L1中
已知给定的集（即给定个点具有欧几里得距离），可以等距地将它们嵌入。ℓ d 2 Ñ - [R d ℓ （ Ñnnnℓd2ℓ2d\ell_2^dnnnRdRd{\mathbb R}^dℓ(n2)1ℓ1(n2)\ell^{n\choose 2}_1 等轴测图是否可以在多项式时间内计算（可能是随机的）？ 由于存在有限精度问题，因此精确的问题是 给定{\ mathbb R} ^ d中n个点的集合X和\ epsilon> 0，是否存在映射f：X \到{\ mathbb R} ^ {n \ choose 2}可计算（可能使用随机性）的映射在时间多项式ñ和对数在1 / \小量使得对于每一个X，Y \在X我们有XXXnnnRdRd{\mathbb R}^dϵ>0ϵ>0\epsilon >0f:X→R(n2)f:X→R(n2)f: X \to {\mathbb R}^{n\choose 2}nnn1/ϵ1/ϵ1/\epsilonx,y∈Xx,y∈Xx,y\in X ||f(x)−f(y)||1≤||x−y||2≤(1+ϵ)⋅||f(x)−f(y)||1||f(x)−f(y)||1≤||x−y||2≤(1+ϵ)⋅||f(x)−f(y)||1|| f(x)-f(y)||_1 \leq ||x-y||_2 \leq (1+ \epsilon) \cdot || f(x)-f(y) …
3
具有最低预期l2范数的凸体
考虑以原点为中心并且对称的凸体KKK（即，如果则）。我希望找到一个不同的凸体，使和以下度量最小化：x∈Kx∈Kx\in K−x∈K−x∈K-x\in KLLLK⊆LK⊆LK\subseteq L f(L)=E(√xT⋅x)f(L)=E(xT⋅x−−−−−√)f(L)=\mathbb{E}(\sqrt{x^T \cdot x})，其中是从L随机选择的一个点。xxx 可以将常数因子近似地用于该度量。 一些注意事项-关于本身就是答案的第一个直观猜测是错误的。例如，认为是非常高尺寸的薄圆柱体。然后，通过让具有更多接近原点的体积，我们可以得出使得。K K L f （L ）&lt; f （K ）LKKKKLLf(L)&lt;f(K)f(L)<f(K)LL
1
用量子计算机对凸多面体进行近似采样
量子计算机非常适合采样分布，而我们不知道如何使用经典计算机进行采样。例如，如果f是一个布尔函数（从至- 1 ，1），其能够在多项式时间来计算，然后用我们可以有效样品根据分布通过傅立叶展开描述量子计算机的 （我们不知道如何使用经典计算机来完成。）{ - 1 ，1 }ñ{-1个，1个}ñ\{-1,1\}^n- 1 ，1-1个，1个{-1,1} 我们是否可以使用量子计算机对d变量中n个不等式所描述的多面体中的随机点进行采样或近似采样？ 从不平等转移到要点，在我看来有点类似于“转变”。而且，即使您修改了分布，例如，考虑由多面体的超平面或其他某些事物描述的高斯分布的乘积，我也会很高兴看到一种量子算法。 几点评论：Dyer，Frieze和Kannan发现了著名的古典多项式时间算法，可以近似采样和近似计算多面体的体积。该算法基于随机游动和快速混合。因此，我们想为同一目的找到一种不同的量子算法。（好的，我们可以希望量子算法也可以在这种情况下导致我们不知道经典地做事。但是首先，我们想要的只是一个不同的算法，这必须是可能的。） 第二，我们甚至不坚持对均匀分布进行近似采样。我们很乐意对其他一些很好的分布进行采样，而这些分布在我们的多面体中得到了大致支持。Santosh Vampala（还有我在另一种情况下）有一个论点从采样到优化：如果要优化f（x）样本以找到典型的f（x）的点y。添加约束{f（x）&gt; = f（y）}并重复。
5
将矩形打包成凸多边形，但不旋转
我对将（2维）矩形的相同副本包装到凸（2维）多边形而不重叠的问题感兴趣。在我的问题中，您不允许旋转矩形，并且可以假定它们与轴平行。仅给出了矩形的尺寸和多边形的顶点，并询问了可以将多少个相同的矩形副本包装到多边形中。如果您允许旋转矩形，我相信这个问题是NP难题的。但是，如果不能知道该怎么办？如果凸多边形仅仅是一个三角形怎么办？如果问题确实是NP难题，是否有已知的近似算法？ 到目前为止的摘要（2011年3月21日）。彼得·索尔（Peter Shor）观察到，我们可以将此问题视为凸多边形中的一个打包单位正方形，而如果对要打包的正方形/矩形的个数施加多项式界，则该问题就在NP中。Sariel Har-Peled指出了针对同一多项式有界情况的PTAS。但是，通常，打包的平方数在输入的大小上可能是指数的，该输入仅由可能的简短整数对列表组成。以下问题似乎尚未解决。 NP中的完整无界版本吗？有无限制版本的PTAS吗？P或NPC是多项式有界情况吗？我个人最喜欢的，如果仅将单位正方形包装成三角形，是否会更容易解决问题？
2
检测两种几乎简单的多边形
我感兴趣的决定给定的非简单的多边形是否是复杂性几乎简单，在任何两个不同的正式感官：弱简单或者非自交。由于这些术语尚未广为人知，因此让我从一些定义开始。 甲多边形 是线段的闭合循环连接一些有限序列在平面上的点的。点称为多边形的顶点，线段称为多边形的边。我们可以通过仅按顺序列出其顶点来指定任何多边形。PPPp0,p1,p2,…,pn−1p0,p1,p2,…,pn−1p_0, p_1, p_2, \dots, p_{n-1}pipip_ipipi+1modnpipi+1modnp_i p_{i+1\bmod n} 如果所有n个顶点都不同并且边仅在其端点处相交，则多边形很简单。等效地，如果多边形对圆是同胚的，并且每个边的长度都为正，则该多边形是简单的。但是，通常，多边形的顶点和边缘可以任意相交，甚至重合。1个nnn 考虑两条多边形路径AAA和BBB，它们的交点是两者的共同子路径（可能是一个点）。我们说，如果AAA和B的端点A（0），B（0），A（1），B（1）在公共子路径A \ cap B的邻域边界上交替，则A BBB 交叉。如果多边形具有两个交叉子路径，则该多边形是自交叉的，否则具有 非自交叉的。2A(0),B(0),A(1),B(1)A(0),B(0),A(1),B(1)A(0), B(0), A(1), B(1)A∩BA∩BA\cap B 如果多边形是一连串简单多边形的极限，则多边形是弱简单的；或者等效地，如果顶点的任意小扰动使多边形简单，则多边形是弱简单的。每个弱简单多边形都是非自相交的。但是，一些非自相交的多边形并不是那么简单。 例如，考虑以下所示的六个点a,b,p,q,x,ya,b,p,q,x,ya,b,p,q,x,y。 多边形abpqyzabpqyzabpqyz很简单；见左图。 多边形papbpqyqzqpapbpqyqzqpapbpqyqzq很弱；中间的图显示了附近的简单多边形。但是，此多边形并不简单，因为它访问了ppp三次。 多边形是自交的，因为子路径和交叉。见右图以获得一些直觉。b p q z y q p apapbpqzqyqpapbpqzqyqpapbpqzqyqbpqzbpqzbpqzyqpayqpayqpa 最后，多边形（绕中间多边形缠绕两次）是非自交叉的，但并不是那么简单。直观地，此多边形的转弯数为，而任何简单多边形的转弯数必须为。（形式上的证明需要进行一些案例分析，部分原因是实际上对于角为多边形，转数实际上没有很好地定义！）± 2 ± 1 0 ∘papbpqyqzqpapbpqyqzqpapbpqyqzqpapbpqyqzqpapbpqyqzqpapbpqyqzq±2±2\pm 2±1±1\pm 10∘0∘0^\circ 更新（9月13日）：在下图中，多边形是非自交叉的，并且具有转弯数字1，但是并不是那么简单。多边形可以说有几个交叉的非简单子路径，但没有交叉的简单子路径。（我之所以说“可以说”，是因为目前尚不清楚如何定义两个非简单步行的时间！）abcabcxyzxpqrxzyxabcabcxyzxpqrxzyxabcabcxyzxpqrxzyx 最后，这是我的实际问题： 我们能多快确定给定的多边形是否非自交叉？ 我们多快可以确定给定的多边形是否是弱简单的？ 可以在时间内解决第一个问题，如下所示。由于存在个顶点，因此存在个顶点到顶点子路径；我们可以测试任何特定的子路径在时间内是否简单（通过蛮力）。对于每对简单的顶点到顶点子路径，我们可以测试它们是否在时间内交叉。但这不可能是最好的算法。n O （n 2）O （n …
1
计算具有多边形障碍物的平面中最短路径的复杂性
假设我们在平面中得到了几个不相交的简单多边形，并且在每个多边形之外有两个点和t。欧几里德最短路径问题是计算从s到t不与任何多边形内部相交的欧几里德最短路径。为了具体起见，让我们假设s和t的坐标以及每个多边形顶点的坐标是整数。ssstttssstttsssttt 这个问题可以在多项式时间内解决吗？ 当然，大多数计算几何体会立即回答是：John Hershberger和Subhash Suri描述了一种算法，该算法可在时间内计算欧几里得最短路径，并且此时间范围在代数计算树模型中是最佳的。不幸的是，Hershberger和Suri的算法（以及此之前和之后的几乎所有相关算法）似乎都需要从严格的意义上讲精确的实数算法。O(nlogn)O(nlog⁡n)O(n\log n) 如果所有内部顶点都是障碍顶点，则将其称为有效多边形路径；每条欧几里德最短路径均有效。任何有效路径的长度都是整数的平方根之和。因此，比较两个有效路径的长度需要比较两个平方根之和，我们不知道如何在多项式时间内进行。 此外，将平方根和问题的任意实例简化为等效的欧几里德最短路径问题似乎是完全合理的。 那么：是否有多项式时间算法来计算欧几里得最短路径？还是NP问题很难？或平方根总和很难？或者是其他东西？ 一些注意事项： 使用标准漏斗算法，至少在给定多边形三角剖分的情况下，可以在时间内计算一个多边形内部（或外部）的最短路径，而不会出现任何奇怪的数值问题。O(n)O(n)O(n) 实际上，浮点算术足以计算最短至浮点精度的路径。我只对确切问题的复杂性感兴趣。 约翰·坎尼（John Canny）和约翰·里夫（John Reif）证明了3维空间中的相应问题是NP困难的（道德上是因为最短路径的数量可能成倍增加）。 崔俊,、尤根·塞伦和叶建庚描述了多项式时间近似方案。 Simon Kahan和Jack Snoeyink考虑了有关简单多边形中最小链接路径的相关问题的类似问题。
1
最大不相交集：贪心算法的实际近似因子是多少？
考虑从给定的候选集合中找到最大不相交集（最大不重叠几何形状集）的问题。这是一个NP完全问题，但是在许多情况下，以下贪婪算法会得出一个恒定因子近似值： 对于每个候选形状x，计算其不相交的交点数 =与x相交的最大不相交形状数。DIN(x)DIN(x)DIN(x) 选择具有最小DIN（）的候选形状。删除它及其相交的所有形状。argminxDIN(x)arg⁡minxDIN(x)\arg \min_{x} DIN(x) 继续，直到没有更多候选人为止。 例如，考虑来自Wikipedia页面的下图： 绿色磁盘与其他5个磁盘相交，但其DIN为3（3个红色磁盘不相交）。最上面和最下面的红色磁盘与其他2个磁盘相交，但它们本身相交，因此它们的DIN为1。黄色磁盘的DIN为2。因此，贪心算法选择了最上面或最下面的红色磁盘。 如果最小DIN可以被常数限制，则贪心算法是多项式常数因子近似。 例如，如果所有候选形状都是单位圆盘，则Marathe等人（1995年）表明，始终存在DIN最多为3的圆盘：最左边的圆盘（x坐标最小的圆盘）与其他3个不相交的圆盘相交。 。因此，贪心算法会产生3个近似值，因为在最佳解决方案中，它为每个（最多）3个磁盘获得1个磁盘。 类似地，如果所有候选形状都是任意大小的磁盘，则贪心算法会得出5近似值，因为最小的磁盘最多与其他5个不相交的磁盘相交，即最小DIN最多为5。 到目前为止，一切都很好，但是3和5的这些因素是否严格？我不确定。 考虑上图。选择最左边的磁盘（绿色）会发现大小为1的不相交集，这实际上是大小为3（红色）的最大不相交集的3近似值，但是，贪婪算法不会选择绿色的磁盘-它将选择顶部/底部的红色磁盘，其DIN为1。在这种情况下，贪心算法将找到最佳解决方案。 我找不到通用的反例，其中贪心算法找到具有单位磁盘的不相交集，而最大不相交集为。实际上，我什至无法构建一个最小DIN确实为3的通用反例。我能想到的最好的方法是，每个单元盘最多与2个其他不相交的盘相交（即最小DIN）。是2）。但是即使在这里，贪婪算法也会找到最佳解而不是2近似值：nnnnnn3n3n3n 我的问题是： 单位磁盘集合中的实际最大最小DIN是多少？任意大小的磁盘？ 贪婪算法对于单位磁盘集合的实际近似因子是多少？对于任意大小的磁盘？（该因数最多与最大最小DIN一样大，但可能更小）。 更新：对于每个k元形，定义 =由其并集相交的不连续形状的最大数量。将定义为所有不相交形状的k元组中的最小DIN。x1,...,xkx1,...,xkx_1,...,x_kDIN(x1,...,xk)DIN(x1,...,xk)DIN(x_1,...,x_k)x1∪...∪xkx1∪...∪xkx_1\cup...\cup x_kminDINkminDINkminDIN_k 例如，在下面的Yury的答案中，，因为每个圆都与其他3个圆相交。，因为可以选择2个不相交的圆，一个不相交的圆，一个是外圆，一个是内圆，它们仅相交于其他4个圆。对于每个，。minDIN1=3minDIN1=3minDIN_1=3minDIN2=4minDIN2=4minDIN_2=4kkkminDINk≤k+2minDINk≤k+2minDIN_k\leq k+2 我认为，贪婪算法的近似比率可以受，因为对于最优解中的每个形状，算法输出中至少有形状。它是否正确？minDINkkminDINkk\frac{minDIN_k}{k}minDINkminDINkminDIN_kkkk 编辑：我现在正在阅读出色的书《离散几何中的研究问题》。虽然我没有发现这个确切的问题，但是我发现了一个看起来很相关的问题。在“ 2.5个带有多个邻居的细包装”部分中，有一些圆形包装的示例，其中每个圆与其他5个圆接触。我想知道这样的填料是否可以产生DIN = 5的圆形结构。
2
最小点积查询的数据结构
考虑配备了标准点积和其中向量的：v_1，v_2，\ ldots，v_m。我们要构建一个数据结构，以允许以下格式的查询：给定x \ in \ mathbb {R} ^ n输出\ min_i \ langle x，v_i \ rangle。是否有可能超越平凡的O（nm）查询时间？例如，如果n = 2，则立即获得O（\ log ^ 2 m）。RnRn\mathbb{R}^n⟨⋅,⋅⟩⟨⋅,⋅⟩\langle \cdot, \cdot \ranglemmmv1,v2,…,vmv1,v2,…,vmv_1, v_2, \ldots, v_mx∈Rnx∈Rnx \in \mathbb{R}^nmini⟨x,vi⟩mini⟨x,vi⟩\min_i \langle x, v_i \rangleO(nm)O(nm)O(nm)n=2n=2n = 2O(log2m)O(log2⁡m)O(\log^2 m) 我唯一能想到的是以下内容。Johnson-Lindenstrauss引理的直接结果是，对于每个ε&gt;0ε&gt;0\varepsilon > 0和\ mathbb {R} ^ n上的\ mathcal {D}分布，都有一个线性映射f \ colon \ mathbb {R} …
By using our site, you acknowledge that you have read and understand our Cookie Policy and Privacy Policy.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.