Questions tagged «computability»

可计算性理论又称为递归理论。

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在这个宇宙中计算的极限是什么？
我知道图灵完整性需要无限的内存和无限的时间。 但是，此服务中有有限数量的原子，因此使内存有界。例如，即使是不合理的，即使将宇宙中的所有原子都用于此目的，也无法存储超过一定数量的数字。ππ\pi 那么基于宇宙的极限，已实现的图灵机（可以使用宇宙的所有资源，但不能再使用更多资源）的可计算性极限是什么？的最大位数是多少？是否有关于该主题的论文可能有趣阅读？ππ\pi
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计算机可以模拟自己作为模拟世界的一部分吗？
假设您建立了一台计算机，该计算机将在将来的某个特定时间点计算宇宙中所有原子的状态。根据定义，由于宇宙是存在的所有事物（以及与其余事物相互作用的任何事物），因此它还包括您要构建的计算机。您可以使用计算机来计算宇宙中所有原子的状态，包括计算机本身的原子吗？ 如果由于某种其他理论或实践原因无法使用这种计算机，那又是什么？
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哥德尔机器的可行性
最近，我偶然发现了一个有趣的理论结构。所谓的 哥德尔机器 这是一个能够自我优化的通用问题解决器。适用于反应性环境。 据我了解，它可以作为通用图灵机的程序来实现，尽管它的要求远远超出了当前可用的硬件。我找不到很多细节。 这样的机器可以在实践中制造吗？它们至少在我们的宇宙中可行吗？
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实数数学可以在多大程度上应用于可计算实数？
是否有一个一般的定理可以说明，如果适当地进行了清理，当只考虑可计算的实数时，实际上可以使用有关实数的大多数已知结果吗？还是仅考虑可计算实数时对结果的适当表征仍然有效？附带的问题是，关于可计算实数的结果是否可以在不必考虑所有实数或任何不可计算的事物的情况下得到证明。我在特别考虑微积分和数学分析，但我的问题绝不仅限于此。 实际上，我想存在一个与图灵层次结构相对应的可计算实数层次（是否正确？）。然后，更抽象地讲，存在一个实数的抽象理论（我不确定该用什么术语），为此可以证明许多结果，这些结果将适用于传统的实数，但也适用于可计算的实数，并且到图灵可计算实数层次的任何级别（如果存在）。 那么我的问题可能是这样说的：当对传统实在的事实进行证明时，是否存在对抽象的实在理论适用的结果表征？而且，这些结果可以直接在抽象理论中得到证明，而无需考虑传统实数。 我也有兴趣了解这些实在理论如何以及何时发生分歧。 附言：我不知道在哪里适合我的问题。我意识到，很多关于真实的数学已经通过拓扑进行了概括。因此，可能可以在此处找到我的问题的答案或部分答案。但是可能还有更多。
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国际象棋可以模拟通用图灵机吗？
我正在寻找一个标题问题的明确答案。 是否存在一套规则，可以将任何程序转换为无限板上的有限部分的配置，从而如果黑白棋只通过合法举动，则只要程序停止，游戏就会在有限时间内结束？ 规则与普通国际象棋相同，减去50步规则，交换和掷骰。 象棋游戏要完整完成所需的最少不同类型的棋子（即最简单的游戏）是多少？（每种类型的棋子都有一组允许的移动，在平移下不变）。 我们有什么可以添加到游戏中来证明它完整的吗？
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是否有“可以用它来制造图灵机的物质”的名称？
关于计算机科学的令人惊奇的事情之一是，物理实现在某种意义上是“不相关的”。人们已经成功地用几种不同的基材（继电器，真空管，分立晶体管等）构建了计算机。人们很快可能会成功地用非线性光学材料，各种生物分子和其他几种基材构建图灵完整的计算机。原则上，似乎有可能建立一个台球计算机。 然而，物理衬底不是完全无关紧要的。人们已经发现，某些组件集（尤其是 二极管电阻逻辑）是“不完整的”：无论您连接到电源上或彼此之间有多少组件，都存在某些非常简单的事情，它们无法实现做。（二极管电阻逻辑可以实现AND，OR，但不能实现NOT）。同样，某些连接组件的方法（特别是单层感知器）是“不完整的”：有些非常简单的事情是它们无法完成的。（单层感知器可以实现AND，OR，NOT，但不能实现XOR）。 是否有一个不太笨拙的短语：“可以用它来制造图灵机的物理事物”？或相反，“无论有多少，都不能构成图灵机的物理事物”？ 有一阵子，我使用了“功能上完备的集合”或“通用门集”这一短语-或当与数学家交谈时，“可以实现功能上完备的集合的物理事物”-但有人告诉我这不是“完全正确。某些组件集可以实现功能上的完整集。但是不可能完全由这些组件来构建图灵完整的机器。例如，灯泡和手动操作的4路电灯开关可以实现功能上完整的设置（AND，OR，NOT，XOR等）；然而，不可能完全由电灯开关和灯泡构成图灵完整的机器，因为一个输出（电或光）的输出不能馈入下一个输入（机械旋转）。 相关：“可重复使用的通用性”概念是否有正式名称？而是否有“芯片出其中一个可以建立一个CPU”的名称？
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我们对暂停问题的受限版本了解多少
（更新：这里提出了一个格式更好的问题，因为下面接受的答案的注释表明此问题定义不明确） 停止问题不可能发生的经典证明取决于试图将停止检测算法应用于自身作为输入时的矛盾。有关更多信息，请参见下面的背景。 所显示的矛盾是由于自我指称的悖论而引起的（例如句子“此句子不正确”）。但是，如果我们严格禁止这种自我参照（即接受这样的自我参照无法终止的事实），那么我们会得到什么结果呢？其余非自引用机器集的停止问题是否可以停止？ 问题是： 如果我们考虑所有可能的图灵机的子集，这些子集不是自引用的（即不将它们自己作为输入），那么我们对该子集的停止问题了解什么？ 更新 也许更好地重新定义我所追求的是对定义可决定集合的更好理解。我试图隔离经典的不确定性证明，因为除了您自己运行HALT的情况之外，它没有添加有关不确定性的任何信息。 背景技术： 矛盾的是，有一个图灵机可以决定输入M（它是图灵机的编码）和X的决定，而M （X ）是否暂停。然后考虑一个图灵机K，它取M和X并使用Q来确定M （X ）是否停止，然后进行相反的操作，即，如果M （X ）不停止，则K停止；如果M （X ）不停止，则K不停止。M （X ）QQQMMMXXXM(X)M(X)M(X)KKKMMMXXXQQQM(X)M(X)M(X)KKKM(X)M(X)M(X)M(X)M(X）M(X)停止。然后，表现出一个矛盾，因为如果K不停止，它就应该停止，而停止时不停止。K(K)K(K)K(K)KKK 动机： 一位同事正在对软件系统进行正式验证（特别是当该系统已经在源代码级别进行了验证，而我们希望对其编译版本进行验证，以消除编译器问题时），在这种情况下，他关心的是一组特定的嵌入式控制程序，我们肯定知道它们不会自引用。他要执行的验证的一个方面是，如果输入源代码被证明可以终止，是否可以保证编译的程序将停止。 更新 根据下面的评论，我阐明了非自引用图灵机的含义。 目的是将其定义为不会导致证明中出现矛盾的集合（请参见上面的“背景”）。它的定义如下： 假设有一个图灵机，其判定用于一组图灵机的停机问题小号，然后š是非自参照相对于Q，如果它排除了调用所有机器Q上小号（直接或间接）。（显然，这意味着Q不能成为S的成员。）QQQSSSSSSQQQQQQSSSQQQSSS 为了澄清什么是通过调用意味着上小号间接：QQQSSS 在图灵机上表示在S上调用Q，该图灵机Q具有一组状态和磁带上某个确定的初始输入（对应于S的任何成员），磁头最初在该输入的开头。一种机器W¯¯所调用Q上小号 “间接”是否存在的步骤的（有限的）序列，其W¯¯将采取使配置“同态”到的初始配置Q （小号）。Q问QSSSQQQSSSWWWQQQSSSWWWQ(S)Q(S)Q(S) 更新2 从下面的论证中，有无数的图灵机执行相同的任务，因此不是唯一的，我们通过说Q不是单个图灵机，而是所有计算的（无限）组来更改上面的定义。相同的功能（HALT），其中HALT是决定Turing机器在特定输入上停止的功能。QQQQQQ 更新3 图灵机同构的定义： 如果A的过渡图与B的过渡图同构，则TM A与TM B是同构的，这在标准意义上具有标记节点和边的图的同构意义上。TM的过渡图（V，E）使得V =状态，E =状态之间的过渡弧。每个圆弧都标有（S，W，D），S =读取磁带的符号，W =要写入磁带的符号，D =磁头显示移动的方向。
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只有图灵完整的语言才能解释的总语言
图灵不完整的任何语言都不能为其自身编写解释器。我不知道在哪里读到它，但是我已经看过很多次了。看来这引起了一种“最终的”非图灵完整的语言。该一个（或多个），可以只由图灵机解释。这些语言不一定能够计算从自然到自然的所有总函数，也不一定是同构的（即最终语言A和B存在，使得存在函数A可以计算但B无法计算的函数F）。Agda可以解释Godel的系统T，而Agda则是完整的，因此这种最终语言应严格比Godel的系统T更强大。在我看来，这种语言也至少会像agda一样强大（尽管我没有证据，只是预感）。 有没有做过这样的研究？已知什么结果（即已知这种“最终”语言）？ 奖励：我担心存在一种病理情况，无法计算出功能，而Godel的System T仍然只能由Turing机器解释，因为它允许计算某些真正的奇数函数。是这种情况还是我们可以知道，这种语言将能够计算Godel的System T可以计算的任何内容？
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可计算性和逻辑上的固定点
这个问题也已经发布在Math.SE上， /math/1002540/fixed-points-in-computability-nd-logic 我希望也可以在此处发布它。如果不是这样，或者对于CS.SE来说太基础了，请告诉我，我将其删除。 我想更好地理解逻辑中的定点定理与 -calculus 之间的关系。λλ\lambda 背景 1）定点在真理的不完整和不确定性中的作用 据我了解，除了内部化逻辑的基本思想外，Tarski的真不可定性证明和Goedel的不完全性定理的证明的关键是以下逻辑不动点定理，它们生活在一个构造性的，有限的元论中（我希望公式化可以，如果有误或不正确，请纠正我）： 逻辑中不动点的存在 假设 是语言L上具有足够表现力，可递归枚举的理论，并且令C为T中L公式的编码，即将任意格式正确的L公式φ转换为L公式的算法一个自由变量ç（φ ）（v ），使得对任意大号 -式φ我们有牛逼 ⊢ ∃ ！v ：C（φ ）（v ）TT{\mathscr T}LL{\mathcal L}CC{\mathbf C}LL{\mathcal L}TT{\mathscr T}LL{\mathcal L}φφ\varphiLL{\mathcal L}C(φ)(v)C(φ)(v){\mathbf C}(\varphi)(v)LL{\mathcal L}φφ\varphiT⊢∃!v:C(φ)(v)T⊢∃!v:C(φ)(v){\mathscr T}\vdash \exists! v: {\mathbf C}(\varphi)(v)。 然后存在一个算法YY{\mathbf Y}转动合式LL{\mathcal L} -formulas在一个自由变量成封闭结构良好的LL{\mathcal L} -formulas，使得对于任何LL{\mathcal L}在一个自由变量-式ϕϕ\phi我们有T⊢Y(ϕ)⇔∃v:C(Y(ϕ))(v)∧ϕ(v),T⊢Y(ϕ)⇔∃v:C(Y(ϕ))(v)∧ϕ(v),{\mathscr T}\vdash {\mathbf Y}(\phi)\Leftrightarrow \exists v: {\mathbf C}({\mathbf Y}(\phi))(v)\wedge …
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图灵机会识别每种递归语言吗？
我们说，如果对于每种初始配置停止，则图灵机必定是致命的（特别是磁带内容和初始状态可以是任意的）。凡人图灵机都能识别每种递归语言吗？（即，如果有一个接受的TM，那么也有一个凡人接受 TM ）M L LMMMMMMLLLLLL
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Ackerman函数的显式mu递归表达式
您能否指出如何通过标准mu递归运算符构建Ackerman函数（实际上，我对RózsaPéter和Raphael Robinson提出的版本很感兴趣）？我尝试了Péter和Robinson的原始论文，但是Péter的论文使用的语言与英语不同，Robinson的论文“递归和双递归”和“原始递归函数”也没有帮助：首先，它们似乎更相关，但用途如此称为双重递归运算符以定义Ackerman函数，因此在这种情况下，将寻求以mu递归形式对运算符进行明确定义。 与答案最接近的是史密斯（P. Smith）的“哥德尔定理简介”（CUP，2007年）（29.4 Ackermann-Peter函数是μ递归的），但他提出了以下内容：“使论证具有防水性乏味但并不困难。在这里详细说明没有什么可学的，所以我们不会。” 我还尝试过RózsaPéter的书“递归函数”（1967，学术出版社）。那里有很多递归运算符的变体。通常一个减少到另一个。我相信，有一种递归运算符适合于Ackerman函数的定义和将其简化为原始递归和最小化运算符的步骤序列，但是我发现自己无法全面研究。
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计算的几​​何解释
来自物理学，我受过训练，可以从几何的角度研究很多问题。例如动力学系统中歧管的微分几何等。当我阅读计算机科学的基础知识时，我总是尝试寻找几何解释。就像递归可枚举集的合理的几何解释一样（我在一部分中尝试通过利用与Diophantine Sets的等价关系将它们与代数几何联系起来，但是这种联系似乎是强制性的，因此我找不到事实的“自然”表达）公式）或漂亮的几何结果，以简单的算法对数字进行排序。尽管我不是专家，但我已经阅读了有关几何复杂度理论的调查报告，这当然是一个有趣的程序，但是我对具有极其基本概念的几何视图（例如图灵机的动力学，Lambda微积分或（不可计算的集合（而不是特定的问题）。在这些物体中找到几何结构是一项无望的工作，还是可以期待一些复杂的结果？是否有任何TCS几何处理方式？
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成功解决的Collat​​z猜想的“最近”问题是什么？
我对已成功解决的Collat​​z猜想的“最近”（和“最复杂”）问题感兴趣（鄂尔多斯曾著名地说过“数学尚未解决此类问题”）。已经证明，一类“类似Colatz的”问题是无法确定的。但是，诸如Hofstadter的MIU游戏（已解决，但可以承认更多是玩具问题）之类的模糊问题确实可以解决或已经解决。 相关问题 Collat​​z猜想与语法/自动机
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是否存在具有任意P度的单词问题的组？
很长一段时间以来，已知的是，在任何图灵程度下，都有一个有限表示的组，其词问题在该程度上。我的问题是，对于任意多项式时间图灵度，同样的事情是否成立。具体来说，给定一个可确定的集合，是否存在一个存在单词问题的有限表示组，使得和吗？我也愿意将有限表示放宽为递归表示。AAAWWWW≤PTAW≤TPAW\leq_T^P AA≤PTWA≤TPw ^A\leq_T^P W 我怀疑答案是肯定的，而且我听过其他人说他们在某个地方读过这篇文章，但是我一直无法找到参考。
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