Questions tagged «expanders»

扩展器是一种具有高“扩展性”的稀疏（低度）图，可以通过以下几种方法之一进行测量：通常类似于子图边界大小与子图体积的最小比率。

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图谱划分的论文
如果是无向正则图并且S是基数\ leq | V | / 2的顶点的子集，则称S的边扩展为数量d 小号≤ | V | / 2G=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)dddSSS≤|V|/2≤|V|/2\leq |V|/2SSS ϕ(S):=Edges(S,V−S)d⋅|S|⋅|V−S|ϕ(S):=Edges(S,V−S)d⋅|S|⋅|V−S|\phi(S) := \frac {Edges(S,V-S)}{d\cdot |S|\cdot |V-S|} 其中Edges(A,B)Edges(A,B)Edges(A,B)是AAA一个端点而B中有一个端点的边数BBB。然后将边缘扩展问题是找到一组SSS用|S|≤|V|/2|S|≤|V|/2|S|\leq |V|/2最小化ϕ(S)ϕ(S)\phi(S)。调用ϕ(G)ϕ(G)\phi(G)扩展最佳集合。 边缘扩展问题的频谱划分算法通过找到A的第二大特征值的特征向量xxx（G的邻接矩阵），然后考虑所有形式为\ {v：x {的阈值集S v）在所有阈值t上\ leq t \}。如果让\ lambda_2为矩阵\ frac 1d \ cdot A的第二大特征值，则对频谱划分算法的分析表明，该算法找到的最佳阈值集S_ {SP}满足AAAGGGSSS{v:x(v)≤t}{v:x(v)≤t}\{ v : x(v) \leq t \}tttλ2λ2\lambda_21d⋅A1d⋅A\frac 1d \cdot ASSPSSPS_{SP} ϕ(SSP)≤2ϕ(G)−−−−√ϕ(SSP)≤2ϕ(G)\phi(S_{SP}) \leq 2\sqrt {\phi(G)} 这是从奇格不等式得出的 …
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稀疏图的正则引理
Szemeredi的正则引理说，每个稠密图都可以近似为许多二部展开图的并集。更准确地说，将大多数顶点划分为集，以便大多数对集形成二分展开器（分区中的集数和扩展参数取决于近似参数）：O （1 ）O （1 ）O(1)O(1)O （1 ）O(1)O(1) http://en.wikipedia.org/wiki/Szemer%C3%A9di_regularity_lemma 对于“行为良好”的稀疏图，该引理有多种版本，请参见： http://www.estatistica.br/~yoshi/MSs/FoCM/sparse.pdf http://people.maths.ox.ac.uk/scott/Papers/sparseregularity.pdf 这些公式令我感到惊讶的是，它们仅保证分区中的大多数对形成二部分膨胀器，而这些二部分膨胀器可能为空。因此，在一般的稀疏图中，顶点分区中不同部分之间的所有边很可能不属于扩展器。 我想知道是否存在使零件之间的大多数边缘来自扩展器的公式，或者这种公式是否没有希望。
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节省空间的“工业”不平衡膨胀机
我正在寻找“好”和“节省空间”的不平衡扩展器。具体来说，二分式左正则图，| A | = n，| B | = 米，与左度d是（ķ ，ε ） -expander如果由于任何小号⊂ 甲至多大小的ķ，不同的邻居的数目小号在乙是至少（1 -G=(A,B,E)G=（一种，乙，Ë）G=(A,B,E)| A | =n|一种|=ñ|A|=n|B|=m|乙|=米|B|=mddd(k,ϵ)（ķ，ϵ）(k,\epsilon)S⊂A小号⊂一种S \subset AkķkSSSB乙B。众所周知，概率方法产生这样的图，其中 d = O （log （n / k ）/ ϵ ）和 m = O （k log （n / k ）/ ϵ 2）。但是，需要 O （n d ）(1−ϵ)d|S|(1−ϵ)d|S|(1-\epsilon)d|S|d=O(log(n/k)/ϵ)d=O(log⁡(n/k)/ϵ)d=O(\log (n/k)/\epsilon)m=O(klog(n/k)/ϵ2)m=O(klog⁡(n/k)/ϵ2)m=O(k \log(n/k)/\epsilon^2)O(nd)O(nd)O(n d)存储此类图的空间。在对图形执行任何操作时，也需要访问此存储，这也可能会增加成本。理想情况下，您需要一个明确的构造。但是，据我所知，已知的构造所达到的参数仍与上述参数相距甚远（至少可以证明如此）。 我的问题是：是否还有其他构造（可能不是显性的）实现与上述边界“更紧密”的边界，但使用的边界空间比少得多？O(nd)O(nd)O(nd) 我正在寻找这三个类别中的任何一个的答案：（a）定理（b）猜想（c）观察和“战争故事”，例如“我们做到了这一点，并且似乎起作用了（某种程度上）”。即，“工业”扩展器可以。我更喜欢（a）（b）和（b）（c），但是乞g不能成为选择者:) 这是类型（c）的示例。取随机线性哈希函数h …
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多面体（体面的）扩展器的边缘顶点图是吗？
这个问题是受到多项式Hirsch猜想（PHC）的启发。给定一个 -facet多面体P在- [R d，是它的边缘顶点图表的光谱间隙（称之为ģ）下通过界定Ω （1 / p ø 升ý（Ñ ））？注意，在循环图Ñ顶点表明，即使对于d = 2，光谱间隙可以小到直径：（1 / p ø 升ý（Ñ ））nnnPPPRdRd\mathbb R^dGGGΩ(1/poly(n))Ω(1/poly(n))\Omega(1/\mathrm{poly}(n))nnnd=2d=2d=2O(1/poly(n))O(1/poly(n))O(1/\mathrm{poly}(n)); 因此，猜想的界限（如果属实）将几乎紧缩。 是的答案将暗示PHC。实际上，这也意味着仅通过在多边形顶点上随机游走即可有效地求解线性程序，并且该算法甚至没有对目标函数给予太多关注！这似乎太不可思议了。 那么，此问题的状态是什么：打开（如PHC）或错误？如果为假，是否有简单的反例？ 注意：我刚刚意识到定义扩展器通常会遇到的复杂问题：不必是规则的或二分的。我希望可以使用标准方法来克服这两个技术问题，尤其是不要使我的问题变得微不足道。（如果我错了，请纠正我！）GGG
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扩展器图上的NP难题？
在2006年题为EXPANDER GRAPHS的演讲中，还有什么奥秘吗？ ，Nati Linial提出了以下未解决的问题： 当限制在扩展图上时，图上的哪个 hard计算问题仍然难以解决？NPNPNP 从那时起，是否有任何进展证明难题的结果？NPNPNP
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规则图中的电导率和直径
G=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)e（S，Sc）SScminS⊂V e(S,Sc)min(|S|,|Sc|),minS⊂V e(S,Sc)min(|S|,|Sc|),\min_{S \subset V} ~\frac{e(S,S^c)}{\min(|S|,|S^c|)},e(S,Sc)e(S,Sc)e(S,S^c)SSSScScS^c 更具体地，假设我知道直径至少（或最大）。这对电导率有什么启示（如果有的话）？相反，假设我知道电导最大为（或至少）为。这告诉我关于直径的什么信息（如果有的话）？αDDDαα\alpha
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将扩展到
奥马尔莱因戈尔德的证明，给出USTCON的算法（在ü ndirected特殊顶点图形和，他们是精读只使用LOGSPACE nected？）。基本思想是从原始图构建扩展图，然后在扩展图中遍历。扩展图是通过对数平方对数原始图来制成的。在展开图中，直径仅是对数的，因此对数深度的DFS搜索就足够了。L=SLL=SLL=SLsssttt 将结果扩展到意味着存在DSTCON的对数空间算法-相同，但对于D方向图。（有时只是STCON。）我的问题，也许稍微有些柔和，是将Reingold的证明扩展到这一点的主要障碍是什么？L=NLL=NLL=NL 感觉有点像应该有一种“定向扩展器”图。类似的构造，在其中添加对应于中等长度定向路径的边，然后添加对应于长路径的边；然后您可以通过沿短路径移动到长路径来遍历具有对数深度的图形；然后返回到短路径。 这个概念是否存在重大缺陷？还是这样的扩展器没有好的构造？还是以某种方式比无向版本需要更多的内存？ 不幸的是，我在定向扩展器图上根本找不到很多东西。实际上，基本上我所能找到的只是/math/2628930/how-can-one-construct-a-directed-expander-graph-with-varying-degree-distribution（此问题尚未得到解答）和https://repository.upenn.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1202&context=cis_papers。我应该搜索另一个术语吗？
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确定性错误减少技术？
假设有使用位随机性的随机化（BPP）算法对于任何选定的，将其成功概率放大到自然方法是AAArrr1−δ1−δ1-\deltaδ>0δ>0\delta>0 独立运行+多数表决：独立运行次，并获得输出的多数表决。这需要位的随机性，并以因子消耗运行时间。AAAT=Θ(log(1/δ)T=Θ(log⁡(1/δ)T=\Theta(\log(1/\delta)rT=Θ(rlog(1/δ))rT=Θ(rlog⁡(1/δ))rT =\Theta(r\log(1/\delta))T=Θ(log(1/δ))T=Θ(log⁡(1/δ))T=\Theta(\log(1/\delta)) 成对独立运行+切比雪夫：运行 “成对-独立地”倍，并且与阈值比较这需要随机性的比特，并且打击了运行时间由因子决定。AAAT=Θ(1/δ)T=Θ(1/δ)T=\Theta(1/\delta)rT=Θ(r/δ)rT=Θ(r/δ)rT =\Theta(r/\delta)T=Θ(1/δ)T=Θ(1/δ)T=\Theta(1/\delta) Karp，Pippenger和Sipser [1] （显然，我无法亲自研究论文，它是二手书）提供了基于强大的常规扩展器的替代方法：本质上，请参见文档的节点扩展器作为随机种子。使用随机位选择扩展器的随机节点，然后2r2r2^rrrr 从那里开始进行长度为的短暂随机游走，然后在获得多数表决之前对与路径上的节点对应的种子运行这需要位的随机性，并且会以因素消耗运行时间。T=Θ(log(1/δ))T=Θ(log⁡(1/δ))T=\Theta(\log(1/\delta))AAATTTr+T=r+Θ(log(1/δ))r+T=r+Θ(log⁡(1/δ))r+T = r+\Theta(\log(1/\delta))T=Θ(log(1/δ))T=Θ(log⁡(1/δ))T=\Theta(\log(1/\delta)) 在进行多数表决之前，对当前节点的所有邻居（或更一般而言，当前节点距离内的所有节点）运行这需要位随机性，并且会以因子消耗运行时间，其中是度数（或距离邻域的。设置好参数，最终会花费在这里。AAAcccrrrT=dT=dT=dddddcdcd^ccccT=poly(1/δ)T=poly⁡(1/δ)T=\operatorname{poly}(1/\delta) 我对最后一个项目符号感兴趣，这与确定性错误减少相对应。[1]之后是否有任何改进，从而减少了对的依赖性？什么是当前的最佳实现-为其？？（对于吗？对于吗？）TTTδδ\delta1/δγ1/δγ1/\delta^\gammaγ>1γ>1\gamma > 1γ>0γ>0\gamma > 0BPPBPP\textsf{BPP}RPRP\textsf{RP} 注意：我也对而不是。正如在[2]中介绍的那样，相关的结构不再是扩展器，而是分散器（例如，参见Ta-Shma的这些讲义，特别是表3）。我找不到确定性扩增的相应范围（不是比允许的多一个随机位），但是，（更重要的是）对于相关参数范围，最新的显式分散器构造也没有找到。RPRP\textsf{RP}BPPBPP\textsf{BPP} rrrr [1] Karp，R.，Pippenger，N.和Sipser，M.，1985年。时间随机权衡。在AMS关于概率计算复杂性的会议（第111卷）中。 [2] A. Cohen和A. Wigderson，1989年10月。分散器，确定性放大和弱随机源。在第30届计算机科学基础年度研讨会上（pp。14-19）。IEEE。
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扩展图中长诱导路径的存在
比方说，一个图形家庭已久诱导路径，如果有一个恒定的ε > 0，使得每个图形摹在˚F包含感应路径| V （G ）| ϵ顶点。我对图族的属性感兴趣，这些属性可确保存在长诱导路径。特别是，我目前想知道恒定度扩展器是否具有较长的诱导路径。这就是我所知道的。FF\mathcal{F}ϵ > 0ϵ>0\epsilon > 0GGGFF\mathcal{F}| V（G ）|ϵ|V(G)|ϵ|V(G)|^{\epsilon} 具有恒定平均度的随机图（在Erdős-Rényi模型中）具有很长的概率（甚至线性大小）的诱导路径，且概率很高。参见例如Suen的文章。 唯一邻居扩展图（由Alon和Copalbo定义）具有大的诱导树。实际上，在这种图中，任何最大的诱导树都是很大的。 鉴于这两个事实，我希望对数度扩展器具有较长的诱导路径。但是，我找不到任何具体结果。非常感谢任何见解。
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社交网络通常是很好的扩展器吗？
我对社交网络的图形组合特性感兴趣。人们已经在研究诸如度的分布，聚类系数和这些图的可压缩性之类的东西。一个基本的问题是：这些图通常是好的扩展图吗？ 有人检查过例如facebook图形的光谱间隙吗？还是其他大型现实网络的频谱缺口？我希望有人可以指出正确的方向来学习这个主题。
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