Questions tagged «nt.number-theory»

数论问题

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指数函数的复杂度
我们知道在自然数上的指数函数在多项式时间内是不可计算的，因为输出的大小不是多项式地限制在输入的大小上。经验值（x ，y）= xÿexp⁡(x,y)=xy\exp(x,y) = x^y 这是难于计算指数函数的主要原因，还是与本考虑无关的固有地难于计算指数？ 指数函数的位图的复杂度是多少？ {⟨x,y,i⟩∣x,y,i∈N and the i-th bit of xy is 1}{⟨x,y,i⟩∣x,y,i∈N and the i-th bit of xy is 1}\{\langle x,y,i \rangle \mid x,y,i\in\mathbb{N} \text{ and the $i$-th bit of $x^y$ is $1$} \}
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有效计算的功能可作为Sarnak的Mobius猜想的反例
最近，吉尔·凯莱（Gil Kalai）和迪克·利普顿（Dick Lipton）都写了一篇不错的文章，内容涉及数论和黎曼假设专家Peter Sarnak提出的一个有趣的猜想。 推测。令为莫比乌斯函数。假设˚F ：Ñ → { - 1 ，1 }是一个甲Ç 0函数与输入ķ在二进制表示的形式ķ，然后 Σ ķ ≤ Ñ μ （ķ ）⋅ ˚F （ķ ）= Ô （Ñ ）。μ （k ）μ(k)\mu(k)f:N→{−1,1}f:N→{−1,1}f: \mathbb{N} \to \{-1,1\}AC0AC0\mathsf{AC}^0kkkkkk∑k≤nμ(k)⋅f(k)=o(n).∑k≤nμ(k)⋅f(k)=o(n). \sum_{k \leq n} \mu(k) \cdot f(k) = o(n) \text. 请注意，如果则我们有素数定理的等价形式。f(k)=1f(k)=1f(k) = 1 更新：Ben Green在MathOverflow上提供了一篇简短的论文，声称可以证明这一猜想。看一下纸。 另一方面，我们知道通过设置（稍作修改，使范围在f(k)=μ(k)f(k)=μ(k)f(k) = \mu(k)−1,1−1,1\\{-1,1\\}），所得到的总和具有估计 有一个上限值，该μ （ķ …
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最大公约数（gcd）的复杂度
请考虑以下计数问题（或相关的决策问题）：给定两个用二进制编码的正整数，计算其最大公约数（gcd）。此问题包含的最小复杂度类别是什么？你能提供参考吗？ 在这个问题上，我主要对运行时间的渐近边界不感兴趣，而对复杂度类感兴趣。交流电有问题吗？可以证明它不在AC0中吗？P内与此相关的其他复杂度类别又是什么？
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计算整数的因数有多难？
给定长度为n位的整数，输出N的素因数（或可替代的因数）有多难？NNNnnnNNN 如果我们知道的素因式分解，那么这将很容易。但是，如果我们知道素因子的数量或一般因子的数量，则不清楚如何找到实际的素因子分解。NNN 研究这个问题了吗？是否有已知的算法可以解决这个问题而没有找到素因数分解？ 这个问题是由好奇心引起的，部分原因是由数学SE问题引起的。
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NP完全自然的自然问题是否存在？
任何自然数都可以视为位序列，因此输入自然数与输入0-1序列相同，因此自然输入中存在NP完全问题。但是，是否存在任何自然问题，即不使用数字的某些编码和特殊解释的问题？例如“是素数吗？” 是一个自然的问题，但这是P中的问题。或者“谁以3、5，n，n的堆赢得了Nim游戏？” 是另一个我认为很自然的问题，但我们也知道这是P中的问题。我也对其他复杂度类（而不是NP）感兴趣。 更新：正如EmilJeřábek指出的那样，给定来确定是否对自然数有解是NP完全的。这正是我自然想到的，除了这里输入的是三个数字而不是一个数字。a,b,c∈N,a,b,c∈N,a,b,c\in \mathbb N,ax2+by−c=0ax2+by−c=0ax^2+by-c=0 更新2：经过四年多的等待，Dan Brumleve提供了一个“更好”的解决方案-请注意，由于随机减少，该解决方案仍未完成。
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数字字段分解的复杂性
对于一般数字字段中的因式分解整数的计算复杂度了解多少？进一步来说： 在整数上，我们通过其二进制扩展表示整数。一般数字字段中整数的类似表示是什么？ 是否知道素数域中的素数在P或BPP中？ 分解数字字段的最著名算法是什么？（和（显然）算法是否从扩展？）在这里，分解是指找到某个数字的表示形式（用位表示），如下所示：素数的乘积。 EXPÑ 1 / 3 žÑexpn−−√exp⁡n\exp \sqrt nexpn1/3exp⁡n1/3\exp n^{1/3}ZZ\mathbb{Z}nnn 在数字字段中找到整数的所有因式分解的复杂度是多少？算上它有多少个不同的分解？ 在，已知确定给定数字是否在区间具有因数是NP难的。在数字字段中的整数环上，是否可能会发现是否存在一个范数在一定间隔内的素数已经是NP难的？ [ a ，b ]ZZ\mathbb{Z}[a,b][a,b][a,b] 是否在BQP中考虑数字字段？ 言论，动机和更新。 当然，分解在数字字段上不是唯一的事实在这里至关重要。这个问题（尤其是第5部分）是由有关GLL的博客文章（请参见此注释）以及这个较早的TCSexchange问​​题引起的。我还在博客上展示了它，Lior Silverman 给出了详尽的答案。
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素数计数功能#P是否完成？
召回π(n)π(n)\pi(n)的素数的数量≤n≤n\le n是质数计算函数。通过“ P中的PRIMES”计算π(n)π(n)\pi(n)在#P中。问题#P是否完成？或者，也许有一个复杂的原因认为此问题不是#P完全的？ PS：我意识到这有点天真，因为必须有人研究了这个问题并证明/反对/猜想了这一点，但是我似乎无法在文献中找到答案。看到如果您好奇我为什么在这里，此处。
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硬计数版本容易出现问题
维基百科提供了一些问题的示例，其中计数版本比较难，而决策版本比较容易。其中一些正在计算完美匹配，计算出 -SAT的解数和拓扑排序的数。222 还有其他重要的类别吗（例如格子，树木，数论等的例子）？是否存在此类问题的纲要？ 中有许多类型的问题具有硬计数版本。＃PPPP＃P#P\#P 中是否存在一个比一般的二分法完全匹配更完全理解或更简单的自然问题的版本（请提供有关为什么更简单的详细信息，例如可证明地处于层次结构的最低级别等） （例如数论，晶格）或至少对于特定的简单二部图，其计数版本为 -hard？N C ＃PPPPñCNCNC＃P#P\#P 来自点阵，多边形，点计数，数论的示例将不胜感激。
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为什么Odlyzko对Shor算法的改进使试验次数减少到
彼得·W·索尔（Peter W. Shor）在1995 年的量子计算机上用于质因数分解和离散对数的多项式时间算法中，讨论了其因数分解算法的阶数查找部分的改进。标准算法输出，它是x模N阶r的除数。改进不是通过检查来检查r ' = r，而是进行以下改进：r′r′r'rrrxxxNNNr′=rr′=rr'=rxr′≡1modNxr′≡1modNx^{r'}\equiv 1 \mod N [F]或候选项不仅应考虑还应考虑其小的倍数，看看它们是否为的实际阶数。[...] 如果的第一个（倍数，则将最困难的预期的试验次数从到被认为是[1995 Odylzko]。rrrr'r′r ′2r',3r',…2r′,3r′,…2r ′ , 3r ′ , \dotsxxxnnnO(loglogn)O(log⁡log⁡n)O(\log \log n)O(1)O(1)O(1)logn)1+ϵlog⁡n)1+ϵ\log n)^{1+\epsilon}r'r′r ′ [Odylzko 1995]的引用是“个人交流”，但是当Peter Shor和Andrew Odlyzko讨论此问题时我不在场……我完全理解为什么它是一种改进，但是我不知道如何显示数字的试验减少为。你知道任何证据吗？O(1)O(1)O(1)
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给定
谁能帮助我解决以下问题？ 我想找到一些值ai,bjai,bja_i,b_j（mod NNN），其中i=1,2,…,K,j=1,2,…,Ki=1,2,…,K,j=1,2,…,Ki=1,2,…,K, j=1,2,…,K （例如K=6K=6K=6），给定一个K2K2K^2值的列表，对应于差ai−bj(modN)ai−bj(modN)a_i-b_j\pmod N（例如N=251N=251N=251），而无需知道具体的对应关系。由于价值观ai,bj(modN)ai,bj(modN)a_i,b_j\pmod N并不是唯一确定给定的差异ai−bj(modN)ai−bj(modN)a_i-b_j\pmod N，我们寻找任何 价值的有效分配。 绝对地，尝试列表中K2K2K^2数字的每个置换（总共K2!K2!K^2!可能的情况），然后以ai,bjai,bja_i,b_j作为变量求解模块化方程是不可行的。 实际上，此问题出现在有关对NTRU签名方案的早期版本进行密码分析的论文中（http://eprint.iacr.org/2001/005）。但是，作者只写了一个句子“简单的回溯算法找到了一种解决方案……”（在第3.3节中），所以有人可以给出更多的解释吗？此外，作者还提到“每个循环移位{((ai+M)modN,(bi+M)modN}Ki=1{((ai+M)modN,(bi+M)modN}i=1K\{((a_i+M)\mod N,(b_i+M)\mod N\}_{i=1}^K或掉期交易({(N−1−bi,N−1−ai)}Ki=1)({(N−1−bi,N−1−ai)}i=1K)(\{(N-1-b_i,N-1-a_i)\}_{i=1}^K)导致a_i-b_j \ mod N的模式相同，ai−bjmodNai−bjmodNa_i-b_j\mod N这对您有帮助吗？
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被求解方程系统模
我对求解任意k的线性模（模k）的复杂性很感兴趣（并且对质数幂有特别的兴趣），特别是： 问题。 对于未知数为的线性方程的给定系统，是否存在任何解决方案？mmmnnnkkk 在他们的论文的摘要中，Mod k L，Buntrock，Damm，Hertrampf和Meinel 类上logspace-MOD类的结构和重要性声称它们“ 通过证明有限环Z上线性代数的所有标准问题来证明其重要性。/ k Z对于这些类是完整的。经过仔细检查，这个故事更加复杂。例如，Buntrock 等。证明（通过在Kaveh发现的较早且可自由访问的草案中进行校对，谢谢！）表明，求解线性方程组的方法反而在互补类coMod k L中，Z/kZZ/kZ\mathbb Z/k\mathbb Zk素数。这个类是不知道等于国防部ķ 大号的ķ复合，但从来没有介意-我很担心的是，他们不作任何言论是否求解线性方程组MOD ķ甚至包含在coMod k L中表示k个合成！ 问题：是否 对所有正k都包含在coMod k L中的 以k为模的线性方程组的求解？ 如果您可以对以质数p的高次幂q为模的方程组进行求解，则也可以对p为模进行求解。因此求解模q的方程组是coMod p L -hard。如果你能证明这个问题是在国防部q大号，你最终会呈现国防部ķ大号 = COMOD ķ大号所有ķ。这可能很难证明。但是它在 coMod k L中吗？
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