Questions tagged «proof-theory»

关于理论上的证明分析的问题


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非构造性证明的库里霍华德和程序
这是一个后续问题 证明与程序(或命题与类型)之间有什么区别? 哪个程序对应于形式的非构造性(经典)证明?(假设是一些有趣的可确定的关系,例如,第个TM不会以步长停止。)Ť È ķ∀k T(e,k)∨¬∀k T(e,k)∀ķ Ť(Ë,ķ)∨¬∀ķ Ť(Ë,ķ)\forall k \ T(e,k) \lor \lnot \forall k \ T(e,k)TŤTeËekķk (ps:我之所以发布此问题,部分原因是我有兴趣在他的评论中进一步了解Neel所说的“ Godel-Gentzen翻译是一种延续通过的转变”的意思。)

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归纳类型用于大数量的序数符号。
我希望以一种“自然的方式”为大量可计数的普通物品建立符号。“自然”是指给定归纳数据类型X,相等应为通常的递归相等(与deriving EqHaskell中产生的相同),并且顺序应为通常的递归词典顺序(与deriving OrdHaskell中产生的相同)),并且有一个可确定的谓词来确定X的成员是否为有效序数符号。 例如,序数小于ε 0可以通过世袭有限排序的列表,并且满足这些要求来表示。将X定义为μα。μβ。1 +α×β,又称遗传有限列表。定义isValid以检查X是否已排序并且X的所有成员均为isValid。X的有效成员都是序小于ε 0通常的词典顺序下。 我猜想,μα 0 ...μα ñ。1 +α 0 ×...×α Ñ可用于以下定义序比φ n + 1个(0),其中φ是凡勃伦功能,以类似的方式。 如您所见,我用完了φω(0)的μ个量词。我可以建立满足我要求的较大序数符号吗?我希望得到尽可能Γ 0。如果我对有效性谓词放弃可判定性要求,我可以得到更大的序数吗?

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是类型主张吗?(确切地说是什么类型?)
我已经阅读了很多有关类型系统的文章,并且大致了解了为什么引入它们(以解决Russel的悖论)。我也大致了解了它们在编程语言和证明系统中的实际意义。但是,我对类型是什么的直观认识并不完全正确。 我的问题是,宣称类型是命题是否合法? 换句话说,语句“ n是自然数”与语句“ n具有类型'自然数'”相对应,这意味着所有涉及自然数的代数规则都适用n。(也就是说,代数规则是语句。那些对自然数成立的语句对n也成立。) 那么这是否意味着一个数学对象可以具有不止一种类型? 此外,我知道集合不等于类型,因为您不能拥有所有集合的集合。我是否可以说,如果集合是类似于数字或函数的数学对象,则类型是一种超数学对象,而按照相同的逻辑,一种则是超元数学对象?(在某种意义上,每个“元”都表示更高的抽象级别...) 这与范畴论有某种联系吗?

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Pi型的分裂和极性
在阿格达(Agda)邮件列表上的最新帖子中,出现了法律的问题,彼得汉考克(Peter Hancock)在其中发人深省。ηη\eta 我的理解是法则带有否定类型,即。引入规则是可逆的连接词。要禁用功能,Hank建议使用定制消除器funsplit,而不是通常的应用程序规则。我想了解汉克关于两极的说法。ηη\etaηη\eta 例如,有两个演示类型。有传统的马丁- LOF 分裂消除,以积极的风格:ΣΣ\Sigma Γ⊢f:(a:A)(b:Ba)→C(a,b)Γ⊢p:Σa:A.BΓ⊢splitfp:CpΓ⊢f:(a:A)(b:Ba)→C(a,b)Γ⊢p:Σa:A.BΓ⊢splitfp:Cp \begin{array}{l} \Gamma \vdash f : (a : A)(b : B\: a) \to C (a , b) \\ \Gamma \vdash p : \Sigma a : A. B \\ \hline \\ \Gamma \vdash \mathrm{split}\: f\: p : C\: p \end{array} 还有否定版本: Γ⊢p:Σa:A.BΓ⊢π0p:AΓ⊢p:Σa:A.BΓ⊢π1p:B[π0p/a]Γ⊢p:Σa:A.BΓ⊢π0p:AΓ⊢p:Σa:A.BΓ⊢π1p:B[π0p/a] \begin{array}{l} \Gamma \vdash …

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我们可以通过在超序数上归纳来证明系统F的弱归一化吗
可以通过对归纳证明简单类型的lambda演算的弱规范化(图灵)。具有自然数递归的扩展Lambda演算(Gentzen)通过在上归纳,具有较弱的归一化策略。ω2ω2\omega^2ϵ0ϵ0\epsilon_0 那么系统F(或更弱的系统)呢?这种样式是否存在弱的归一化证明?如果没有,那完全可以做到吗?

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为什么建构主义者似乎不太在乎通话/抄送
所以不久前,我第一次有人告诉我,通过实现皮尔士定律,call / cc可以允许证明对象成为经典证明。我最近对这个话题做了一些思考,但似乎找不到任何缺陷。但是我似乎看不到其他人在谈论它。似乎没有讨论。是什么赋予了? 在我看来,如果您在某种情况下具有这样的构造,那么两件事中的一件是正确的。您可以在当前上下文中以某种方式访问实例,在这种情况下,控制流将永远无法到达这里,并且鉴于意味着的唯一途径可以返回是通过构建的一个实例和应用的两项它的参数(实例。在这种情况下,已经有一些构造实例的方法f:¬(¬P)f:¬(¬P)f : \neg(\neg P)⊥⊥\botf:¬(¬P)f:¬(¬P)f : \neg(\neg P)f:(P→⊥)→⊥f:(P→⊥)→⊥f : (P \to \bot) \to \botfff⊥⊥\botPPPP→⊥)P→⊥)P \to \bot)PPP; call / cc为我撤出此构造似乎是合理的。我的推理在我看来有些令人怀疑,但我的困惑仍然存在。如果call / cc不仅仅是凭空创建的实例(我不知道它是怎么回事),那是什么问题?PPP 某些不包含call / cc的类型正确的术语是否没有正常形式?此类表达式是否还有其他属性使它们令人怀疑?有什么明显的理由为什么建构主义者不喜欢call / cc?

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命题解决方案是一个完整的证明系统吗?
这个问题是关于命题逻辑的,所有出现的“解决”都应被理解为“命题解决”。 这个问题是非常基本的,但是已经困扰了我一段时间。我看到人们断言命题解决方案是完整的,但我也看到人们断言解决方案是不完整的。我了解解决方案不完整的含义。我也明白为什么人们可能会声称它是完整的,但是“完整”一词不同于描述自然演绎或后续演算时使用“完整”的方式。甚至限定词“反驳完成”也无济于事,因为公式必须在CNF中,并且在证明系统内不考虑通过Tseitin变换将公式变换为等效CNF公式或可满足的CNF公式。 健全性和完整性 让我们假设古典命题逻辑的设定是在结构的某些宇宙与一组公式之间的关系⊨⊨\models和结构中的经典的Tarskian真理概念之间的关系。我们写⊨φ⊨φ\models \varphi,如果φφ\varphi在考虑所有结构都是如此。我还将假设一个系统⊢⊢\vdash,用于从公式导出公式。 该系统⊢⊢\vdash是声音相对于⊨⊨\models如果每当我们有⊢φ⊢φ\vdash \varphi,我们也有⊨φ⊨φ\models \varphi。该系统⊢⊢\vdash是完全相对于⊨⊨\models如果每当我们有⊨φ⊨φ\models \varphi,我们也有⊢φ⊢φ\vdash \varphi。 决议规则 文字是原子命题或其否定词。子句是文字的析取。CNF中的公式是子句的结合。决议规则断言 分辨率规则断言,如果该条的结合C∨pC∨pC \lor p与子句¬p∨D¬p∨D\neg p \lor D是满足的,该条C∨DC∨DC \lor D也必须是可满足的。 我不确定是否可以单独将解析规则理解为证明系统,因为没有公式的引入规则。我认为我们至少需要一个允许引入子句的假设规则。 解析不完整 众所周知,分辨率是一种隔音系统。也就是说,如果我们可以得到一个条款CCC从公式FFF使用的分辨率,然后。决议还驳斥完整的意思,如果我们有 ⊨ ˚F⊨F⟹C⊨F⟹C\models F \implies C然后我们可以使用分辨率从 F导出 ⊥。⊨F⟹⊥⊨F⟹⊥\models F \implies \bot⊥⊥\botFFF 考虑配方 和 ψ := p ∨ q。φ:=p∧qφ:=p∧q\varphi := p \land qψ:=p∨qψ:=p∨q\psi := p \lor q 在根岑系统LK或使用自然推导,我可以得出蕴涵完全在证明系统内。我无法使用解析来得出这种含意,因为如果我以 φ开头,则没有解析子。φ⟹ψφ⟹ψ\varphi …

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在Tar​​skianMöglichkeit上寻找论文和文章
背景知识:Łukasiewicz多值逻辑旨在用作模态逻辑,Łukasiewicz给出了模态运算符的扩展定义: (他归因于Tarski)。◊A=def¬A→A◊A=def¬A→A\Diamond A =_{def} \neg A \to A 这给出了一个怪异的模态逻辑,带有一些自相矛盾的,甚至看似荒谬的定理,特别是。用代替以查看为什么它被贬为模态逻辑历史上的脚注。(◊A∧◊B)→◊(A∧B)(◊A∧◊B)→◊(A∧B)(\Diamond A\land \Diamond B) \to \Diamond (A\land B)¬A¬A\neg ABBB 但是,我已经意识到,当可能性运算符的定义应用于线性逻辑和其他子结构逻辑时,它就不那么荒谬了。本月初,我将对此进行非正式讨论。演讲的链接位于http://www.cs.st-andrews.ac.uk/~rr/pubs/lablunch-20110308.pdf (我询问子结构模态逻辑的原因之一是将这些逻辑的表达与使用此运算符进行比较。) 无论如何,我找到的唯一非批判性著作是A. Turquette在澳大利亚逻辑协会1997年年会上的演讲“ Tarski的Möglichkeit的概括”。抽象是在BSL 4(4), http://www.math.ucla.edu/~asl/bsl/0404/0404-006.ps基本上Turquette建议在应用 -valued为逻辑 -state系统。(我无法获得此演讲的任何笔记,幻灯片或其他内容,因此,希望收到更多信息的人,我将不胜感激。)米mmmmmm 这里有人知道其他文章或论文吗? (我没有任何应用程序,但是我发现这些属性足够有趣,值得推荐。)


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在无类型的λ微积分中,最里面的约简是否是永久的?
(我已经在MathOverflow上问过这个问题,但是那里没有答案。) 背景 在无类型lambda演算,一个术语可以包含许多redexes,而不同的选择关于哪一个,以减少可能会产生非常不同的结果(例如,其在一步(β-)减小到y或自身)。减少位置的不同(顺序)选择称为减少策略。一个术语牛逼据说是正火,如果存在一个削减战略带来ŧ(λ X 。ÿ)((λ X 。X X )λ X 。X X )(λX。ÿ)((λX。XX)λX。XX)(\lambda x.y)((\lambda x.xx)\lambda x.xx)ββ\betaÿÿyŤŤtŤŤt正常形式。如果每种简化策略都将t转化为正常形式,则项将被强烈归一化。(我不担心会发生什么,但是合流保证不会有不止一种可能性。)ŤŤtŤŤt 如果每当t具有正常形式时,就可以说是一种归约策略正在规范化(从某种意义上说,这是最好的),这就是最终的结果。最左端的策略正在规范化。ŤŤt 在频谱的另一端,如果每当有t项存在无限的还原序列时,就认为该还原策略是永久的(从某种意义上讲,这是最坏的可能性),然后该策略找到了这样的序列-换句话说,我们可能无法正常化,那么我们将。ŤŤt 我知道永久减少策略和˚F b ķ分别由下式给出: ˚F b ķ(Ç [ (λ X 。小号)吨] )= c ^ [ 小号[ 吨/ X ] ] 如果 吨 强烈正火˚F b ķ(ç [ (λ X 。小号)吨] )= C ^ [F∞F∞F_\inftyFb …

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PA的相对一致性和一些类型理论
对于类型理论,通过一致性,我的意思是说它具有一个无人居住的类型。从拉姆达立方体的强范式,它遵循系统和系统˚F ω是一致的。MLTT +归纳类型也具有归一化证明。但是,这些都应足够强大以构建PA模型,这从这些理论证明PA是一致的。系统F的功能非常强大,因此我希望它能够通过使用教堂数字构建模型来证明PA的一致性。MLTT + IT具有自然数归纳类型,还应证明其一致性。FFFFωFωF_\omegaFFF 这一切都意味着这些理论的归一化证明不能在PA中内部化。所以: CAN系统,系统˚F ω和MLTT + IT实际上证明了PA的一致性?FFFFωFωF_\omega 如果可以,需要什么,然后向元理论证明了系统规范化,˚F ω和MLTT + IT?FFFFωFωF_\omega 一般而言,类型理论的证明理论,尤其是其中的某些类型理论,是否有很好的参考?

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Barendregt证明的主题减少
我在Barendregt的主题减少证明中发现了一个问题(Lambda结石的 Thm 4.2.5 与类型有关)。 证明的最后一步(第60页)说: “因此是引理4.1.19(1)中的。”Γ,x:ρ⊢P:σ′Γ,x:ρ⊢P:σ′\quad\Gamma,x:\rho\vdash P:\sigma' 但是,根据引理4.1.19(1),它应该是,因为已进行替换在整个上下文中,不仅限于。 X :ρ 'Γ[α⃗ :=τ⃗ ],x:ρ⊢P:σ′Γ[α→:=τ→],x:ρ⊢P:σ′\Gamma[\vec{\alpha}:=\vec{\tau}],x:\rho\vdash P:\sigma'x:ρ′x:ρ′x:\rho' 我猜标准解决方案可能是以某种方式证明,但是我不确定如何。α⃗ ∉FV(Γ)α→∉FV(Γ)\vec{\alpha}\notin FV(\Gamma) 我有一个证明,可以通过放宽抽象的生成引理来简化它,但是最近我发现有一个错误,而我的证明是错误的,因此我不确定如何再解决这个问题。 有人可以告诉我我在这里想念的吗?


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对基于条件逻辑的编程语言的引用
条件逻辑是使用与其他条件概念相对应的模态运算符(例如,因果条件读入“导致“ B”或概率条件“ ”,其读为“给定 ”)。A A | B A B一种□→ BA◻→BA\; \square\!\!\!\!\to B一种AAA|BA|BA|BAAABBB 通常,这些逻辑是从模型理论上进行研究的,但是我想知道它们在编程语言设计中的应用(例如,键入命令性动作)。 我希望能参考他们的证明理论(即,演算/自然演绎)或基于这些模态运算符的类型的编程语言。 谢谢! 编辑:《斯坦福哲学百科全书》对此主题进行了很好的介绍。

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