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阈值函数的下限
在布尔函数的决策树复杂度中，众所周知的下界方法是找到一个代表该函数的（近似）多项式。Paturi用表示为的数量来描述对称布尔（部分和全部）函数：ΓΓ\Gamma 定理（大小床）：设是任何非恒定对称函数，并且表示，当（即汉明权重就是）。的近似度（表示为为，其中ffffk=f(x)fk=f(x)f_k=f(x)|x|=k|x|=k|x|=kxxxkkkfffdeg˜(f)deg~(f)\widetilde{deg}(f)Θ(n(n−Γ(f))−−−−−−−−−−√)Θ(n(n−Γ(f)))\Theta(\sqrt{n(n-\Gamma(f))})Γ(f)=min{|2k−n+1|:fk≠fk+1 and 0≤k≤n−1}Γ(f)=min{|2k−n+1|:fk≠fk+1 and 0≤k≤n−1}\Gamma(f)=\min\{|2k-n+1|:f_k\neq f_{k+1}\text{ and } 0\leq k\leq n-1\} 现在让Thrt(x)Thrt(x)Thr_t(x)为阈值函数，即如果x \ geq t为Thr_t（x）= 1。在本文中（参见第15页第8节）说\ widetilde {deg}（f）= \ sqrt {（t + 1）（N-t + 1）}。Thrt(x)=1Thrt(x)=1Thr_t(x)=1x≥tx≥tx\geq tdeg˜(f)=(t+1)(N−t+1)−−−−−−−−−−−−−−√deg~(f)=(t+1)(N−t+1)\widetilde{deg}(f)=\sqrt{(t+1)(N-t+1)} 注意，对于阈值函数，我们有Γ(Thrt)=|2(t−1)−n+1|Γ(Thrt)=|2(t−1)−n+1|\Gamma(Thr_t)=|2(t-1)-n+1|，因为|x|=t−1|x|=t−1|x|=t-1函数从0变为1。 如果我直接将Paturi定理应用于\ Gamma的值ΓΓ\Gamma，则不会获得其他论文中报告的阈值函数的下界。上面的\ Gamma（Thr_t）的值Γ(Thrt)Γ(Thrt)\Gamma(Thr_t)正确吗？我想念什么？ 编辑：我还尝试计算阈值的量子对手下限。首先，让我们回顾一下定理。 定理（未加权量子对手）：令fff为布尔布尔函数，令A⊆f−1(0)A⊆f−1(0)A\subseteq f^{-1}(0)和B⊆f−1(1)B⊆f−1(1)B\subseteq f^{-1}(1)为（硬）输入的子集。令R⊆A×BR⊆A×BR\subseteq A\times B为关系，并为每个1 \ leq i \ leq n设置R_i = \ {（x，y）\ in R：x_i \ neq …