理论计算机科学

理论计算机科学家和相关领域的研究人员的问答

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看似正确但不正确的算法和证明示例
在我的编程入门课程中，我们正在学习初始化-维护-终止方法，该方法证明算法可以达到预期的效果。但是我们只需要证明已知正确的算法是正确的即可。我们从未被要求证明算法不正确。 有没有看起来正确的经典算法示例，但不是吗？我正在寻找“初始化-维护-终止”方法捕获了第一眼直觉无法理解的情况的情况。
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差异，补丁和合并的类别理论处理？
是否存在一类补丁，大致类似于以下内容： 对象是一些基本字母中的字符串 态射是字符串之间的编辑脚本（“ diff”或“ patches”） 我对以下问题感兴趣： 是否存在最小编辑脚本的绝对概念？也许补丁类别丰富了PO集？ 被合并的补丁的分类pushout？ 如何将其从字符串推广到树（文件系统或代数数据类型）？
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多项式共域的基数k表示-是否与上下文无关？
在Jeffrey Shallit的“自动机理论的第二门课程”的第4章中，以下问题被列为开放问题： 令p （n ）p(n)p(n)是有理系数的多项式，使得对于所有。证明或证明中所有整数的基数k表示的语言是上下文无关的，且仅当为\ leqslant 1时。p （Ñ ）∈ Ñp(n)∈Np(n) \in \mathbb{N} Ñ ∈ Ñn∈Nn \in \mathbb{N} { p （Ñ ）| Ñ ⩾ 0 } {p(n)∣n⩾0}\{p(n) \mid n \geqslant 0\}p pp⩽ 1⩽1\leqslant 1 现在的状态如何（截至2018年10月）？被证明吗？那一些特殊情况呢？
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随机排序网络工作的可能性
鉴于nnn输入x0,…,xn−1x0,…,xn−1x_0, \ldots, x_{n-1}，我们构建了一个随机排序网络与mmm通过迭代地拾取两个变量栅极xi,xjxi,xjx_i, x_j与i&lt;ji&lt;ji < j和加入的比较器门，其互换他们，如果xi&gt;xjxi&gt;xjx_i > x_j。 问题1：对于固定nnn，网络必须多少才能mmm以大于1的概率正确排序&gt;12&gt;12> \frac{1}{2}？ 我们至少有一个下界m=Ω(n2logn)m=Ω(n2log⁡n)m = \Omega(n^2 \log n)因为正确地对输入进行了排序（除了交换每对连续的对之外），每个对都将花费Θ(n2logn2)Θ(n2log⁡n2)\Theta(n^2 \log n^2)时间作为比较器。 。这也是上限，可能有更多lognlog⁡n\log n因子吗？ 问题2：有比较器门的分布实现m=O~(n)m=O~(n)m = \tilde{O}(n)，可能是通过选择接近比较器，具有较高的概率是多少？
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证明助手在复杂性理论研究中的用途？
考虑到像STOC这样的会议所涵盖的主题，是否有任何算法或复杂性研究人员积极使用COQ或Isabelle？如果是这样，他们如何在研究中使用它？我认为大多数人不会使用此类工具，因为证明水平太低。是否有人以对他们的研究至关重要的方式使用这些证明助手，而不是一个很好的补充？ 我很感兴趣，因为我可能会开始学习其中一种工具，并且在减少，正确或运行时间证明的背景下学习它们会很有趣。
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密集线性算子的或电路复杂度
考虑以下简单的单调电路模型：每个门只是一个二进制OR。函数的复杂度是多少，其中是 0的布尔矩阵？可以通过线性或电路计算吗？f （x ）= A x A n × n O （n ）f(x)=Axf(x)=AxAAn×nn \times nO(n)O(n) 更正式地，是从到位的函数。第个输出是（即，由第行给出的输入位的子集的或。˚F Ñ Ñ 我˚F ⋁ Ñ Ĵ = 1（甲我Ĵ ∧ X Ĵ）我甲ffnnnniiff⋁nj=1(Aij∧xj)\bigvee_{j=1}^{n}(A_{ij} \land x_j)iiAA 请注意， 0将的行划分为范围（由的连续元素组成的子集）。这使得可以采用已知的范围查询数据结构。例如，稀疏表数据结构可以变成大小为的OR电路。Yao的范围半组算子查询算法可以变成几乎线性的电路（大小为，其中是逆阿克曼倒数）O （n ）A O （n ）[ n ] O （n log n ）O(n)O(n)AAO(n)O(n)[n][n]O(nlogn)O(n\log n)ø （α （Ñ ）⋅ Ñ ）α （Ñ …
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在霍特书中，大多数类型创建者是多余的吗？如果是这样，为什么？
在Hott的第1章和附录A中，介绍了几种基本类型族（宇宙类型，从属函数类型，从属对类型，副产品类型，空类型，单位类型，自然数类型和标识类型）以构成基础用于同伦类型理论。 但是，在给定的Universe类型和相关函数类型看来，您可以构造所有其他“原始”类型。例如，Empty类型可以改为 ΠT:U.T 我认为其他类型的构造也可以类似于它们在纯CC中的构造（即，仅从定义的归纳部分派生类型）。 在第5章和第6章中介绍的归纳/ W类型明确地使其中许多类型变得多余。但是归纳/ W类型似乎是该理论的可选部分，因为存在关于它们如何与HoTT相互作用的公开问题（参见至少在本书出版时）。 因此，我对为什么将这些附加类型表示为原始类型感到非常困惑。我的直觉是，基础理论应尽可能少，并且将冗余的Empty类型重新定义为该理论中的原始元素似乎非常武断。 做出这个选择了吗 出于某些我不知道的元理论原因？ 由于历史原因，要使类型理论看起来像过去的类型理论（不一定是基础理论）？ 计算机接口的“可用性”？ 对于我不知道的证据搜索有什么好处？ 类似于：Martin-Löf类型理论的最低要求，https: //cs.stackexchange.com/questions/82810/reducing-products-in-hott-to-church-scott-encodings/82891#82891
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小型电路评估问题
让是它映射的功能š -门极电路Ç上Ñ位和Ñ比特串X到Ç （X ）。假设电路被编码为分配的非循环序列k ：= g （i ，j ）其中i ，j ，CircuitEvals,nCircuitEvals,n\mathsf{CircuitEval}_{s, n}sssCCCnnnnnnxxxC(x)C(x)C(x)k:=g(i,j)k:=g(i,j)k := g(i, j)是导线标签。i,j,ki,j,ki, j, k 我知道这是一个有趣的问题，但是这个问题的电路复杂度最著名的上限是多少？有一个单带TM计算此功能，因此通过Fischer-Pippenger模拟，大小O （（s + n ）2 log （s + n ））就足够了。二次方来自必须来回搜索。有可能做得更好吗？是否可以做O （s + n ）O((s+n)2)O((s+n)2)O((s + n)^2)O((s+n)2log(s+n))O((s+n)2log⁡(s+n))O((s + n)^2 \log(s + n))O(s+n)O(s+n)O(s + n)吗？
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确定单调CNF是否暗含单调DNF的问题
考虑以下决策问题 输入：一个单调CNF ΦΦ\Phi和单调DNF。ΨΨ\Psi 问题： 是重言式吗？Φ → ΨΦ→Ψ\Phi \to \Psi 绝对可以在 -time中解决此问题，其中是的变量数， 而是输入的长度。另一方面，此问题是coNP完全的。此外，建立coNP完整性的简化也表明，除非SETH失败，否则没有 时间算法（这适用于任何正）。这是减少。令为（非单调）CNF，令为其变量。用替换的每个正出现O （ 2ñ⋅ p ø 升ý（升））Ø（2ñ⋅pØ升ÿ（升））O(2^n \cdot \mathrm{poly}(l))ññnΦ → ΨΦ→Ψ\Phi \to \Psi升升lO （ 2（1 / 2 - ε ）np ø 升ý（升））Ø（2（1个/2-ε）ñpØ升ÿ（升））O(2^{(1/2 - \varepsilon)n} \mathrm{poly}(l))εε\varepsilon一种一种AXXxXXxÿÿy的每个负出现。对每个变量执行相同的操作。让所得的单调CNF为。很容易看出，如果不是重言式，那么是可以满足的。这种减少使变量的数量增加了2倍，这意味着上面提到的（基于SETH）的下限。XXxžžzΦΦ\Phi一种一种AΦ → yž∨ …Φ→ÿž∨…\Phi \to yz \lor \ldots 2n / 22ñ/22^{n/2} 因此，在与 time 之间有一个间隔。我的问题是，是否已知有更好的算法或从SETH中得到更好的减少？2n / …
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热带半环上的多项式的VC维？
就像这个问题一样，我对热带（max ，+ ）和（min ，+ ）电路的B P PBPP\mathbf{BPP}与PP\mathbf{P} / p o l ypoly\mathrm{poly} 问题感兴趣。这个问题简化为显示热带半环上多项式的VC维的上限（请参见下面的定理2）。 (max,+)(\max,+)(min,+)(\min,+) 令R为半环。甲零图案的序列的（˚F 1，... ，˚F 米）的米多项式- [R [ X 1，... ，X Ñ ]是子集小号⊆ { 1 ，... ，米}为其中存在X ∈ [R Ñ和ÿ ∈ [R使得对于所有我= 1 ，...RR(f1,…,fm)(f_1,\ldots,f_m)mmR[x1,…,xn]R[x_1,\ldots,x_n]S⊆{1,…,m}S\subseteq \{1,\ldots,m\}x∈Rnx\in R^ny∈Ry\in R，米， ˚F 我（X ）= ÿ当且仅当我∈ 小号。也就是说，究竟那些多项式的曲线图 ˚F 我与我∈ 小号必须击中点（X ，ÿ ）∈ [R …
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是否存在高度对称的NP或P完全语言？
是否存在，其中有一些家庭对称群的NP-或P-完整的语言摹ñ（或广群上套，但随后的算法问题变得更加开放）作用（在多项式时间）大号ñ = { 升∈ 大号∣ | l | = n }使得轨道很少，即| L n / G n | &lt; n c对于足够大的n和一些c，使得G nLLLGnGnG_nLn={l∈L∣|l|=n}Ln={l∈L∣|l|=n}L_n = \{ l \in L \mid |l| = n \}|Ln/Gn|&lt;nc|Ln/Gn|&lt;nc|L_n / G_n| < n^cnnncccGnGnG_n可以给定有效地生成？nnn 这里的要点是，如果人们找到了这样的语言/组，并且如果可以在多项式时间组动作下找到范式，则可以通过将P T I M E简化为L来将L简化为计算任何给定N的范式，这意味着P = N P或L = PFPFP\mathrm{FP}LLLPTIMEPTIME\mathrm{PTIME}NNNP=NPP=NP\mathrm{P = NP}L=PL=P\mathrm{L = P}，具体取决于您最初分别选择的是NP完整语言还是P完整语言。因此，似乎没有这样的轨道稀疏的群体，或者对于所有这样的群体而言，很难计算正态形式，或者这些结果中的一个将保持不变，我认为我们大多数人都不相信。此外，它看来，如果一个人可以计算在轨道而不是正常形式的等价关系，一个仍然可以做到这一点不均匀，在。希望其他人对此有想法。P/polyP/poly\mathrm{P/poly}
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