从奇偶校验L到CNOT电路的对数空间减少？
题。 Aaronson和Gottesman 在他们的论文《稳定器电路的改进仿真》中声称，仿真CNOT电路是⊕L完全的（在对数空间减少的情况下）。显然，它包含在⊕L中；硬度结果如何保持？ 等效地：是否存在从模2的迭代矩阵乘积到模2的基本矩阵（实现行变换的可逆矩阵）的迭代乘积的对数空间缩减？ 细节 甲控制非（或CNOT）操作是可逆的布尔运算，表单的 其中仅Ĵ 个 比特被改变，并且该位是通过将改变 X ħ模2，对任何不同位置ħ和Ĵ。如果我们解释 x = （x 1CNOTh,j(x1,…,xh,…,xj,…,xn)=(x1,…,xh,…,xj⊕xh,…,xn)CNOTh,j(x1,…,xh,…,xj,…,xn)=(x1,…,xh,…,xj⊕xh,…,xn) \mathsf{CNOT}_{\!h,j} (x_1\,, \;\ldots\;, x_h\,,\; \ldots\;, x_j\,, \;\ldots\;, x_n) \;\;=\;\; (x_1\,, \;\ldots\;, x_h\,,\; \ldots\;, x_j \oplus x_h\,, \;\ldots\;, x_n) xhxhx_h作为ℤ/2ℤ上的向量，它对应于基本行变换模2，我们可以用对角线为1且非对角线位置的矩阵表示。甲CNOT电路是然后加入由这种类型的一些基本矩阵的乘积的矩阵乘积。x=(x1,…,xn)x=(x1,…,xn)\mathbf x = (x_1\,, \;\ldots\;, x_n) 通过阿伦森和戈特斯曼纸张以上（其中，提到非常捎带到这个问题，是关于一类可以在模拟量子电路的 ⊕L）对计算复杂度的部分。在本节开始时，他们对⊕L的描述如下： [ L ]是对数不确定的图灵机可以解决的所有问题的类，当且仅当接受路径的总数为奇数时，才可以接受。但是还有另一种定义，对于非计算机科学家来说可能更直观。这是⊕L是类减少到模拟多项式大小CNOT电路的问题，即 一个电路完全不和CNOT门组成，作用于初始状态| 0 ...0⟩。（很容易证明这两个定义是等效的，但这首先需要我们解释一下通常的定义是什么！） 本文的目标读者包括大量的非计算机科学家，因此滑脱的愿望并非没有道理。我希望有人能够阐明这种等效性。 显然，这样的模拟矩阵的乘积，可以在执行⊕L作为用于评价（模2），这是一个完整的问题（下LOGSPACE减少）的迭代矩阵的产品的系数的一个特例⊕L。此外，由于CNOT矩阵仅执行基本行运算，因此任何可逆矩阵都可以分解为CNOT矩阵的乘积。但是：我不清楚如何通过对数空间归约法将甚至可逆矩阵mod 2分解为CNOT矩阵的乘积。（事实上，正如EmilJeřábek在评论中指出的那样，高斯消去法足以计算行列式mod …