Questions tagged «algebraic-complexity»

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Mulmuley的GCT计划
有时有人称Ketan Mulmuley的“几何复杂性理论”是解决诸如P对NP问题之类的复杂性理论的开放问题的唯一可行程序。著名的复杂性理论家对该程序有一些正面评论。根据Mulmuley的说法，要获得所需的结果将花费很长时间。对于一般的复杂性理论家来说，进入该领域并不容易，并且需要相当大的努力才能掌握代数几何和表示理论。 为什么GCT被认为能够解决P对NP？如果预计要超过100年才能到达，索赔的价值是多少？与目前的其他方法相比，它的优势是什么？在接下来的100年中可能会出现哪些优势？ 程序的当前状态是什么？ 该计划的下一个目标是什么？ 是否对该程序有任何根本性的批评？ 我更喜欢一般复杂性理论家可以理解的答案，并假设其具有代数几何和表示理论的最低背景知识。
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测试值与计算函数的复杂性
通常，我们知道测试功能是否在给定输入中采用特定值要比评估该输入中的功能容易。例如： 评估非负整数矩阵的永久性是＃P-hard的，但是在P中（二分匹配）就可以确定该永久性为零还是非零。 有n个实数，使得多项式Π Ñ 我= 1（X - 一个我）具有以下性质（事实上大多数套Ñ实数将具有这些特性）。对于给定的输入x，测试此多项式是否为零将进行Θ （log n ）乘法和比较（根据Ben-Or的结果，因为零集具有n一种1个，。。。，一ña1,...,ana_1,...,a_n∏ñ我= 1（x − a一世）∏i=1n(x−ai)\prod_{i=1}^{n}(x - a_i)ñnnXxxΘ （对数n ）Θ(log⁡n)\Theta(\log n)ñnn分量），但评估上述多项式至少需要步骤，由Paterson-Stockmeyer进行。Ω （n--√）Ω(n)\Omega(\sqrt{n}) 排序需要（也步上一个比较树Ω （ñ 日志ñ ）由Ben-Or的结果，对一个真正的代数决策树的步骤，再次），但如果列表排序测试仅使用ñ - 1周的比较。Ω （n 对数n ）Ω(nlog⁡n)\Omega(n \log n)Ω （n 对数n ）Ω(nlog⁡n)\Omega(n \log n)n − 1n−1n-1 多项式上是否存在一般条件，足以暗示测试多项式是否为零的（代数）复杂度等于评估多项式的​​复杂度？ 我正在寻找不依赖于事先了解问题复杂性的条件。 （澄清10/27/2010）要清楚，多项式不是输入的一部分。这意味着，给定固定的函数族（每个输入大小一个（位长或输入数）一个），我想比较语言/决策问题的复杂性{ X ：f n（X ）= 0 ，其中 n 是X } …
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固定一个整数时的整数乘法
令为大小为位的固定正整数。ñAAAnnn 允许对这个整数进行适当的预处理。 给定另一个大小为位的正整数，乘法的复杂度是多少？M A BBBBmmmABABAB 请注意，我们已经有算法。这里的查询是我们是否可以通过任何更聪明的方法使\ epsilon = 0？(max(n,m))1+ϵ(max(n,m))1+ϵ(\max(n,m))^{1+\epsilon}ϵ=0ϵ=0\epsilon=0
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是否有一种将范畴论/抽象代数与计算复杂性相结合的理论？
范畴论和抽象代数处理函数可以与其他函数组合的方式。复杂度理论涉及函数的计算难度。我很奇怪我没有看到任何人将这些研究领域相结合，因为它们看起来像是天生的对。有人做过吗？ 作为一个激励性的例子，让我们看一下monoid。众所周知，如果一个操作是一个monoid，那么我们可以并行化该操作。 例如在Haskell中，我们可以简单地将加法定义为整数，如下所示： instance Monoid Int where mempty = 0 mappend = (+) 现在，如果我们要计算0到999的总和，可以依次执行以下操作： foldl1' (+) [0..999] 或者我们可以并行执行 mconcat [0..999] -- for simplicity of the code, I'm ignoring that this doesn't *actually* run in parallel 但是并行化此类半体唯一有意义的原因是mappend在恒定时间内运行。如果不是这种情况怎么办？例如，列表是等分体，其中mappend的运行时间不是恒定的（或空格！）。我猜这就是为什么Haskell中没有默认的并行mconcat函数。最佳的实现取决于类半体动物的复杂性。 似乎应该有一种方便的方法来描述这两个类半体动物之间的差异。然后，我们应该能够使用这些差异来注释我们的代码，并让程序根据Monoid的复杂性自动选择最佳算法来使用。
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环在计算中的形式表示
在阅读有关使用代数方法检测某些诱导子图的论文时，似乎边缘理想是连接交换代数和图论的重要工具。由于我不熟悉代数对象的计算，因此有没有关于该主题的好的参考书或书籍？在图灵机上表示圆环R的特殊性，以及决定R上基本属性的复杂性（例如，R中的理想理想高度）。
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是否存在具有以下直接和属性的函数？
可以在布尔电路的电路复杂性框架中，或者在代数复杂性理论的框架中，或者可能在许多其他设置中提出这个问题。通过对参数进行计数，很容易表明在N个输入上存在布尔函数，这些布尔函数需要成倍增加的门数（当然，我们没有任何明确的示例）。假设我希望在M个不同的输入集上对某个整数M评估M次相同的函数，因此输入的总数为MN。也就是说，我们只是想试用对于相同的功能˚F各时刻。f(x1,1,...,x1,N),f(x2,1,...,x2,N),...,f(xM,1,...,xM,N)f(x1,1,...,x1,N),f(x2,1,...,x2,N),...,f(xM,1,...,xM,N)f(x_{1,1},...,x_{1,N}), f(x_{2,1},...,x_{2,N}),...,f(x_{M,1},...,x_{M,N})fff 问题是：是否已知函数的序列（每个N有一个函数），使得对于任何N，对于任何M，所需门的总数至少等于M乘以M的指数函数。不行吗 因为我们希望这个结果对所有M都成立，所以简单的计数论证似乎不起作用。可以在代数复杂度理论和其他领域提出这个问题的简单类似物。fff
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热带半环上的多项式的VC维？
就像这个问题一样，我对热带（max ，+ ）和（min ，+ ）电路的B P PBPP\mathbf{BPP}与PP\mathbf{P} / p o l ypoly\mathrm{poly} 问题感兴趣。这个问题简化为显示热带半环上多项式的VC维的上限（请参见下面的定理2）。 (max,+)(\max,+)(min,+)(\min,+) 令R为半环。甲零图案的序列的（˚F 1，... ，˚F 米）的米多项式- [R [ X 1，... ，X Ñ ]是子集小号⊆ { 1 ，... ，米}为其中存在X ∈ [R Ñ和ÿ ∈ [R使得对于所有我= 1 ，...RR(f1,…,fm)(f_1,\ldots,f_m)mmR[x1,…,xn]R[x_1,\ldots,x_n]S⊆{1,…,m}S\subseteq \{1,\ldots,m\}x∈Rnx\in R^ny∈Ry\in R，米， ˚F 我（X ）= ÿ当且仅当我∈ 小号。也就是说，究竟那些多项式的曲线图 ˚F 我与我∈ 小号必须击中点（X ，ÿ ）∈ [R …
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AES的硬度保证
许多公共密钥密码系统具有某种可证明的安全性。例如，证明拉宾密码系统与分解一样困难。 我想知道对于诸如AES之类的秘密密钥密码系统是否存在这种可证明的安全性。如果不是，有什么证据证明很难破解这种密码系统？（除了抵抗试错攻击） 备注：我熟悉AES操作（AddRoundKey，SubBytes，ShiftRows和MixColumns）。AES的硬度似乎来自MixColumns操作，而后者又必须继承Galois场（以及代数）上的一些难题。实际上，我可以将问题重申为：“哪个硬代数问题可以保证AES的安全性？”
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独特可解决难题（USP）的容量
Cohn，Kleinberg，Szegedy和Umans 在其关于矩阵乘法的群论算法的开创性论文中，引入了独特可解决难题（定义如下）和USP能力的概念。他们声称，Coppersmith和Winograd在他们自己的开创性论文《通过算术级数的矩阵乘法》中，“暗中”证明了USP容量为。在其他几个地方（包括cstheory上的其他地方）都重申了这一主张，但找不到任何解释。以下是我自己对Coppersmith和Winograd所能证明的事实以及为什么还不够的理解。3/22/33/22/33/2^{2/3} USP容量是否为是真的吗？如果是这样，是否有证明的参考？3/22/33/22/33/2^{2/3} 可独特解决的难题 长度为且宽度为的唯一可解决难题（USP）由大小为的的子集组成，我们也将其视为 “件”的三个集合（对应于向量为的位置，它们为的位置以及它们为），满足以下属性。假设我们将所有装在行中。然后，必须有一种独特的方式来放置其他部分，即每行中的每种类型之一，以便它们“适合”。ķ { 1 ，2 ，3 } ķ Ñ Ñ 1 2 3 1 Ñnnnkkk{1,2,3}k{1,2,3}k\{1,2,3\}^knnnnnn111222333111nnn 令为宽度为的USP的最大长度。该USP容量是 在USP中，每个部分都必须是唯一的-这意味着没有两行在完全相同的位置\ {1,2,3 \}中包含符号c \ in \ {1,2,3 \}。这表明（经过简短的论证） N（k）\ leq \ sum_ {a + b + c = k} \ min \ left \ {\ binom {k} {a}，\ binom {k} …
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集体行动方面的高斯消除
高斯消除使矩阵多项式时间的行列式成为可计算的。复杂的在计算的决定因素，其否则总结指数项的减少，是由于替代负的符号（缺乏这些使得计算永久是存在#P-hard#P-hard \#P\mbox{-}hard即较硬然后。NP-CNP-CNP\mbox{-}C问题） 。这导致行列式具有某种对称性，例如，交换一对行或列只会使符号相反。我在某处（可能与Valiant提出的全息算法有关）读到，高斯消除可以用组动作来解释，这反过来又导致了降低复杂性的通用技术。 另外，我觉得对于任何计算问题而言，降低复杂性的几乎所有来源都是某种对称性。是真的吗 我们可以按照群体理论严格地将其形式化吗？ 编辑 我找到了参考。（第2页，第二段最后一行）。我没有正确理解本文，如果我的问题是基于对本文的错误理解，请纠正我。
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将行列式表示为永久
TCS中的一个主要问题是表达永久物作为决定因素的问题。我正在阅读Agrawal的论文《行列式与永久》，他在一个段落中声称反向问题很容易。 这是很容易看到，矩阵的行列式可以表示为永久相关矩阵的X ，其输入为0，1，或X 我，Ĵ S和其大小的ø （Ñ ）（设置项X，使得DET X = DET X和对应于具有偶数周期的每个置换该产品是零）。XXXXˆXˆXˆX我，Ĵxi,jx_{i,j}O （n ）O(n)O(n)XˆXˆXˆXXX 首先，我认为0、1和变量不够用，因为我们会缺少否定项。但是，即使我们允许-1和- X 我，Ĵ变量，以及，我不明白为什么在规模增长可以做出线性的。有人可以向我解释一下构造吗？X我，Ĵxi,jx_{i,j}− x我，Ĵ−xi,j-x_{i,j}
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