Questions tagged «lower-bounds»

理论计算机科学提供了“抽象价格”的一些示例。最突出的两个是高斯消除和排序。即： 众所周知，如果将操作限制为整个行和列的整体，则高斯消除法对于计算行列式是最佳的[1]。显然，Strassen算法没有遵守该限制，并且在渐近性上优于高斯消去。 在排序中，如果将列表的元素视为只能进行比较和移动的黑匣子，则我们具有标准的n 日志ñnlog⁡nn \log n信息理论下限。据我所知，融合树克服了这一限制，因为巧妙地使用了乘法。 还有其他抽象价格的例子吗？ 为了更加正式一点，我正在寻找一些示例，在某些弱计算模型中无条件地知道下界，而在更强大的模型中会违反下界。此外，弱模型的弱点应该以抽象的形式出现，这无疑是一个主观的概念。例如，我不认为对单调电路的限制是一种抽象。希望上面的两个例子可以清楚说明我在寻找什么。 [1] KLYUYEV，VV和NI KOKOVKIN-SHcHERBAK：关于线性代数方程组解的最小算术运算数。GI TEE翻译：斯坦福大学计算机科学系，技术报告CS 24，6月t4，t965。

112 ds.algorithms  reference-request  big-list  lower-bounds 

在设计新问题的算法时，如果过一会儿找不到多项式时间算法，我可能会尝试证明它是NP难的。如果我成功了，我已经解释了为什么我找不到多项式时间算法。并不是我可以肯定地知道P！= NP，而仅仅是用当前的知识可以做到这一点，实际上共识是P！= NP。 类似地，假设我已经找到了针对某些问题的多项式时间解，但是运行时间为。经过大量的努力，我对此没有任何进展。因此，我可能尝试证明它是3SUM硬的。这通常是令人满意的情况，不是因为我绝对相信3SUM确实确实需要Θ （n 2）时间，而是因为这是当前的最新状态，并且许多聪明的人都在尝试改进它，失败了 因此，尽我所能并不是我的错。O(n2)O(n2)O(n^2)Θ(n2)Θ(n2)\Theta(n^2) 在这种情况下，我们最好的办法是硬度结果代替实际的下限，因为对于NP中的问题，我们没有图灵机的任何超线性下限。 是否存在可用于所有多项式运行时间的统一问题集？例如，如果我想证明某个问题不可能比更好的算法，是否存在某个问题X使我可以证明它是X-hard并留在那儿？O(n7)O(n7)O(n^7) 更新：此问题最初是针对家庭问题。既然没有那么多问题，而且这个问题已经收到了有关单个困难问题的出色示例，所以我将问题简化为可以用于多项式时间硬度结果的任何问题。我还在这个问题上添加了赏金，以鼓励更多答案。

58 cc.complexity-theory  lower-bounds  conditional-results 

3SAT的时间和电路深度的最佳当前下限是多少？

46 cc.complexity-theory  lower-bounds  sat 

在1980年代，Razborov著名地证明了存在显式单调布尔函数（例如CLIQUE函数），它们需要按指数方式计算许多AND和OR门。但是，布尔域{0,1}上的基数{AND，OR}只是一个有趣的门集的一个例子，它没有通用。这导致了我的问题： 是否还有其他一组与单调门不同的有趣的门，其电路尺寸的指数下限是已知的（电路没有深度或其他限制）？如果不是这样，是否还有其他门框可以作为此类下限的合理候选者？这些边界不一定需要突破自然证明的障碍，而Razborov的单调电路结果却没有？ 如果存在这样的门集，那么对于k≥3，肯定会超过k元字母。原因是，在二进制字母上， （1）个单调门（{AND，OR}）， （2）个线性门（{NOT，XOR}），和 （3）个通用门（{AND，OR，NOT}） 基本上用尽了有趣的可能性，如下Post的分类定理所示。（请注意，我假设常量-在二进制情况下为-0和1-始终是免费提供的。）使用线性门时，每个布尔函数f：{0,1} n →{0,1}完全可以通过线性电路计算。有了通用集，我们当然会遇到自然证明和其他可怕的障碍。 另一方面，例如，如果我们考虑以3或4个符号字母表示的门集，则可能会出现更多的可能性-至少就我所知，这些可能性从未被完全描绘出来从复杂性理论的角度来看（如果我错了，请纠正我）。我知道在通用代数中以“克隆”为名对可能的门集进行了广泛的研究。我希望我能更熟悉该文献，以便知道该领域的结果对电路复杂性意味着什么。 在任何情况下，如果我们简单地将门集合的类别扩展到我们愿意考虑的有限字母上，似乎还有其他戏剧性的电路下界需要证明。如果我错了，请告诉我原因！

40 lower-bounds  circuit-complexity  circuit-families 

让PRIMES（又称素数测试）成为问题： 给定自然数，n是素数吗？ñnnñnn 让FACTORING成为问题： 给定的自然数，米与1 ≤ 米≤ Ñ，并Ñ具有因子d与1 &lt; d &lt; 米？ñnn米mm1≤m≤n1≤m≤n1 \leq m \leq nnnnddd1&lt;d&lt;m1&lt;d&lt;m1 < d < m 是否知道PRIMES是否为P-hard？FACTORING呢？这些问题最著名的下限是什么？

39 cc.complexity-theory  lower-bounds  factoring  primes  p-hardness 

贪婪，因为没有更好的词，是好的。入门算法课程中最早教授的算法范例之一是贪婪方法。贪婪方法可得出针对P中许多问题的简单直观算法。更有趣的是，对于某些NP难问题，显而易见的自然贪婪/局部算法会（在适当的复杂性理论假设下）产生（证明）最佳逼近因子。一个经典的例子是“ 设置封面问题”。自然贪婪算法给出O（ln n）近似因子，除非P = NP，否则它是最佳的。 列举一些自然的贪婪/局部算法，以解决NP难题，这些问题在适当的复杂性理论假设下可证明是最优的。

38 cc.complexity-theory  lower-bounds  approximation-algorithms  greedy-algorithms  approximation-hardness 

几年前，乔尔·弗里德曼（Joel Friedman）进行了一些工作，将较低的电路界线与格洛腾迪克（Gothendieck）同调学联系起来（请参阅论文：http : //arxiv.org/abs/cs/0512008，http : //arxiv.org/abs/cs/0604024）。这种思路是否对布尔复杂性带来了新的见解，还是数学上的好奇心？

33 cc.complexity-theory  lower-bounds  circuit-complexity  boolean-functions 

令为布尔函数，并考虑f为从到的函数。用这种语言，f的傅立叶展开只是按照平方自由单项式展开f的展开。（这单项式构成上实函数空间的基础。系数平方的总和仅为因此导致了平方根自由单项式的概率分布。我们将此分布称为F分布。fff{−1,1}n{−1,1}n\{-1,1\}^n{−1,1}{−1,1}\{ -1,1 \}2n2n2^n{−1,1}n{−1,1}n\{-1,1\}^n111fff 如果f可以由多项式大小的有界深度电路描述，那么我们可以根据Linial，Mansour和Nisan的一个定理知道，F分布集中于大小的单项式，直到权重几乎成倍地变小。这源自Hastad切换引理。（最直接的证明是最好的。）polylog npolylog n\text{polylog } n 当我们添加mod 2门时会发生什么？要考虑的一个示例是变量上的函数，它被描述为前n个变量和后n个变量的mod 2内积。在这里，F分布是均匀的。IP2nIP2nIP_{2n}2n2n2n 问题：布尔函数的F分布是否由有界深度多项式大小AND，OR，或MOD电路描述（最大误差为超多项式小误差）集中在 “水平”上？22_2o(n)o(n)o(n) 备注： 一个反例的可能途径是在不相交的变量集上以某种方式“粘合”各种IP 2k2k_2k，但我不知道该怎么做。也许应该弱化这一问题，并允许为变量分配一些权重，但是我也没有一种明确的方法。（所以提到这两个问题也是我要问的一部分。） 我推测当您允许使用mod kk_k门时，对该问题（或成功的变体）的肯定回答也将适用。（所以问这个问题是由于Ryan Williams最近令人印象深刻的ACC结果。） 对于多数而言，每个“级别”的F分布都很大（1 / poly）。 如Luca所示，我提出的问题的答案为“否”。剩下的问题是提出寻找布尔函数F分布属性的方法，这些属性可以由AND OR和MAJORITY不共享的mod 2门描述。 尝试通过谈论MONOTONE函数来保存问题： 问题：MONOTONE布尔函数的F分布是否由有界深度多项式大小AND，OR或MOD电路描述（最大为多项式小误差）集中在 “水平”上？22_2o(n)o(n)o(n) 我们可能推测我们甚至可以用代替，因此针对此强版本的反例可能很有趣。 o(n)o(n)o(n)polylog(n)polylog(n)\text{polylog} (n)

29 cc.complexity-theory  lower-bounds  circuit-complexity  boolean-functions  fourier-analysis 

Ryan Williams最近突破性的电路复杂度下限结果提供了一种证明技术，该证明技术使用上限结果来证明复杂度下限。Suresh Venkat在回答这个问题时，在理论计算机科学中是否有任何违反直觉的结果？，提供了两个通过证明上限来建立下限的示例。 证明复杂度上限的其他证明复杂度下限的有趣结果是什么？ P ≠ Ñ PNP⊈P/polyNP⊈P/polyNP \not\subseteq P/polyP≠NPP≠NPP \ne NP

29 cc.complexity-theory  lower-bounds 

我需要计算运行中位数： 输入： ，，向量。k （x 1，x 2，… ，x n）ñnnķkk（x1个，X2，… ，xñ）(x1,x2,…,xn)(x_1, x_2, \dotsc, x_n) 输出：向量，其中是的中位数。ÿ 我（X 我，X 我+ 1，... ，X 我+ ķ - 1）（y1个，ÿ2，… ，yn − k + 1）(y1,y2,…,yn−k+1)(y_1, y_2, \dotsc, y_{n-k+1})ÿ一世yiy_i（x一世，X我+ 1，… ，xi + k − 1）(xi,xi+1,…,xi+k−1)(x_i, x_{i+1}, \dotsc, x_{i+k-1}) （不作弊；我希望有确切的解决方案。元素是大整数。）X一世xix_i 有一个简单的算法可以维护大小为的搜索树；总运行时间为。（这里的“搜索树”是指一些有效的数据结构，支持对数时间内的插入，删除和中位数查询。）O （n log k ）ķkkØ （ñ 日志k ）O(nlog⁡k)O(n \log k) …

25 ds.algorithms  ds.data-structures  lower-bounds 

题： 什么是AC 0中显式函数的最著名公式大小下限是多少？是否存在一个下限为Ω （n 2）的显式函数Ω(n2)\Omega(n^2)？ 背景： 像大多数下限一样，公式大小的下限也很难获得。我对标准通用门集{AND，OR，NOT}上的公式大小下限感兴趣。 对于此门集上的显式函数，最著名的公式大小下限是对于由Andreev定义的函数。霍斯塔德（Håstad）显示了此界限，从而改善了安德列夫（Andreev）的下界。另一个明确的下限是奇偶校验函数的Khrapchenko的下界。Ω （n 3 - o （1 ））Ω(n3−o(1))\Omega(n^{3-o(1)})Ω （n 2.5 - o （1 ））Ω(n2.5−o(1))\Omega(n^{2.5-o(1)})Ω （n 2）Ω(n2)\Omega(n^2) 但是，这两个功能不在AC 0中。我想知道我们是否知道AC 0中具有显式下限（或更佳）的显式函数。我知道的最佳界限是元素差异函数的下界，如Nechiporuk所示。请注意，元素唯一性函数位于AC 0中，因此我正在寻找比更好，最好是的显式AC 0函数的下限。。Ω(n2/logn)Ω(n2/logn)\Omega(n^2/\log n)Ω(n2/logn)Ω(n2/logn)\Omega(n^2/\log n)Ω(n2)Ω(n2)\Omega(n^2) 进一步阅读： Stasys Jukna撰写的有关该主题的出色资源是“布尔函数复杂性：高级与前沿”。这本书的草稿可在他的网站上免费获得。

25 cc.complexity-theory  lower-bounds  circuit-complexity  formulas 

显然，在确定性对数空间（）中可确定的任何问题最多都在多项式时间（）中运行。和之间有很多复杂性类。示例包括，，，，，。人们普遍认为，。LLLPPPLLLPPPNLNLNLLogCFLLogCFLLogCFLNCiNCiNC^iSACiSACiSAC^iACiACiAC^iSCiSCiSC^iL≠PL≠PL \neq P 在我的一篇博客文章中，我提到了两种证明方法（以及相应的猜想）。这两种方法都基于分支程序，并且相隔20年！是否有其他方法和/或猜想来分离L≠PL≠PL \neq PLLL与PPP分开（或）将和之间的任何中间类别分开。LLLPPP

24 cc.complexity-theory  lower-bounds  space-bounded 

我知道平凡OR功能上nnn变量x1,…,xnx1,…,xnx_1,\ldots, x_n可以准确地由多项式表示的p(x1,…,xn)p(x1,…,xn)p(x_1,\ldots,x_n)作为这样的： p(x1,…,xn)=1−∏ni=1(1−xi)p(x1,…,xn)=1−∏i=1n(1−xi)p(x_1,\ldots,x_n) = 1-\prod_{i = 1}^n\left(1-x_i\right)，其次数为nnn。 但是，我怎么能证明什么似乎很明显，如果是正好代表或功能的多项式（所以∀ X ∈ { 0 ，1 } ñ：p （X ）= ⋁ ñ 我= 1 X 我），然后度（p ）≥ ñ？ppp∀x∈{0,1}n:p(x)=⋁ni=1xi∀x∈{0,1}n:p(x)=⋁i=1nxi\forall x \in \{0,1\}^n : p(x) = \bigvee_{i = 1}^n x_ideg(p)≥ndeg⁡(p)≥n\deg(p) \ge n

23 cc.complexity-theory  co.combinatorics  lower-bounds  polynomials 

多项式是单调凸起的多项式克（Ý 1，... ，ÿ 米）如果米 =聚（Ñ ），并且有一个赋值 π ：{ Ý 1，... ，ÿ 米 } → { X 1，... ，X ñ，0 ，1f(x1,…,xn)f(x1,…,xn)f(x_1,\ldots,x_n)g(y1,…,ym)g(y1,…,ym)g(y_1,\ldots,y_m)mmm(n)(n)(n) ，使得 f （x 1，… ，x n）= g （π （y 1），… ，π （y m））。也就是说，有可能替换每个变量 ÿ Ĵ的克由可变 X 我或恒定 0或 1，使得所得多项式重合与 ˚F。 π:{y1,…,ym}→{x1,…,xn，0 ，1 }π:{y1,…,ym}→{x1,…,xn,0,1}\pi:\{y_1,\ldots,y_m\}\to\{x_1,\ldots,x_n, 0,1\}F（x1个，… ，xñ）= g（π（y1个），… ，π（y米））f(x1,…,xn)=g(π(y1),…,π(ym))f(x_1,\ldots,x_n)=g(\pi(y_1),\ldots,\pi(y_m))ÿĴyjy_jGggX一世xix_i0001个11Fff 我对永久多项式PER和汉密尔顿循环多项式HAM之间的差异感兴趣（原因）： ，其中所述第一求和是在 所有排列ħ …

23 cc.complexity-theory  circuit-complexity  lower-bounds  arithmetic-circuits 

在上一个问题之后， SAT 的最佳当前空间下限是多少？ 下限空格是指图灵机使用的二进制工作区字母所使用的工作区单元数。由于TM可以使用内部状态来模拟任何固定数量的工作带单元，因此不可避免地需要一个恒定的加法项。但是，我有兴趣控制经常隐式包含的乘法常数：通常的设置允许通过较大的字母进行任意常数压缩，因此乘法常数在那里不相关，但是对于固定的字母，应该可以将其考虑在内。 例如，SAT需要超过空间；如果不是这样，那么该空间上限将通过仿真导致的时间上限，因此SAT 的组合时空下限将被违反（请参阅链接的问题）。似乎也有可能改进这种论点，以争辩说SAT至少需要空间才能获得一些小的正，类似于，其中是模拟空间界的常数指数TM受时间限制。Ñ 1 + Ö （1 ） ñ 1.801 + Ö （1 ） δ 登录Ñ + Ç δ 0.801 / C ^ C ^日志日志n + clog⁡log⁡n+c\log\log n + cñ1 + o （1 ）n1+o(1)n^{1+o(1)}ñ1.801 + o （1 ）n1.801+o(1)n^{1.801+o(1)}δ日志n + cδlog⁡n+c\delta\log n + cδδ\delta0.801 /摄氏度0.801/C0.801/CCCC 不幸的是，通常非常大（在通常的模拟中肯定至少为2，其中TM的磁带首先通过较大的字母编码在单个磁带上）。这种边界相当弱，并且我对的空间下界特别感兴趣。对于一些足够大的常数，步骤的无条件时间下界将通过仿真暗示这样的空间下界。然而，时间降低的界限为目前尚未公知，更不用说大。δ « 1 …

22 cc.complexity-theory  sat  lower-bounds  space-bounded  space-complexity