Questions tagged «lower-bounds»

鉴于最近在深度3处产生的鸿沟（除其他事项外，它针对的行列式产生了深度3算法电路），我有以下问题：格里戈里耶夫（Grigoriev）和卡尔平斯基（Karpinski）证明了在任何深度3算术电路中，在有限域上计算矩阵的行列式的下限为（我猜，也适用于永久）。用于计算永久性的Ryser公式给出了深度为3的算术电路，大小为Ñ×ÑÇ2Ω（Ñ）Ñ×ñø（Ñ22Ñ）=2Ö（Ñ）2ñ√日志ñ2nlog⁡n2^{\sqrt{n}\log{n}}n × nn×nn \times n CC\mathbb{C}2Ω(n)2Ω(n)2^{\Omega{(n)}}n×nn×nn \times nO(n22n)=2O(n)O(n22n)=2O(n)O(n^2 2^n) = 2^{O(n)}。这表明对于有限域上的永久性深度3电路，结果基本上是紧密的。我有两个问题： 1）行列式有一个深度为3的公式，类似于永久性的Ryser公式？ 2）计算行列式多项式\ textit {always}的算术电路大小的下界是否会产生永久多项式的下界？（在它们是相同的多项式）。F2F2\mathbb{F}_2 尽管我目前的问题是关于有限域上的这些多项式，但我也想知道这些问题在任意域上的状态。

22 circuit-complexity  lower-bounds  permanent  arithmetic-circuits  determinant 

除了关系R的（确定性）通信复杂度 cc(R)cc(R）cc(R)，所需通信量的另一基本量度是协议分区号p p （R ）。这两个量度之间的关系是已知的，直到一个恒定因子为止。Kushilevitz和Nisan（1997）的专着给出了RRR pp(R)pp(R)pp(R) cc(R)/3≤log2(pp(R))≤cc(R).cc(R)/3≤log2⁡(pp(R))≤cc(R).cc(R)/3 \le \log_2(pp(R)) \le cc(R). 关于第二不等式，很容易得到（无限家族）关系与日志2（p p （[R ）） = C ^ C ^ （- [R ）。RRRlog2(pp(R))=cc(R)log2⁡(pp(R))=cc(R)\log_2(pp(R)) = cc(R) 关于第一个不等式，Doerr（1999）表明我们可以用c = 2.223代替第一个界限中的因子。如果有的话，第一个界限可以提高多少？ c=3c=3c=3c=2.223c=2.223c=2.223 描述复杂性的另一个：改进常数2.223将导致正则表达式的最小大小的下限得到改善，该下限等于给定DFA描述某种有限语言的正则表达式的最小大小，请参阅Gruber和Johannsen（2008）。 2.2232.2232.223 虽然不直接相关的这个问题，Kushilevitz，Linial和斯基（1999），获得了关系与Ç Ç （[R ）/（2 - Ö （1 ））≥ 日志2（[R p （[R ）），其中[R p （ř ）是矩形分区号。RRRcc(R)/(2−o(1))≥log2(rp(R))cc(R)/(2−o(1))≥log2⁡(rp(R))cc(R)/(2-o(1)) \ge \log_2(rp(R))rp(R)rp(R)rp(R) 编辑：请注意，上述问题与布尔电路复杂度中的以下问题等效：最佳常数是什么，以便每个叶子大小L的布尔DeMorgan公式最多可以转换为等效的深度公式c log …

22 fl.formal-languages  lower-bounds  open-problem  regular-expressions  communication-complexity 

标题的确切用语是由Anand Kulkarni（他建议创建此网站）引起的。有人问这个问题作为示例问题，但我非常好奇。我对代数几何学知之甚少，而且实际上对本科生在P / poly与NP问题中所遇到的障碍只有一个粗略的认识（非相对论，非代数化，很可能不是自然的证明） 。 是什么使代数几何看起来可以绕过这些障碍呢？仅仅是现场专家的直觉，还是我们真的有充分的理由相信该方法比以前的方法更强大？这种方法能够取得哪些较弱的结果？

22 cc.complexity-theory  np-hardness  lower-bounds  gct  barriers 

使用进位前瞻算法，我们可以使用多项式大小深度为5（或4？）的电路系列来计算加法。有可能减小深度吗？我们是否可以使用多项式大小的电路系列来计算两个二进制数的加法，而该系列的深度要小于通过进位前瞻算法获得的深度？AC0AC0AC^0 对于为2或3 的电路族的大小，是否存在任何超多项式下界？AC0dACd0AC^0_dddd 深度是指交替深度。

21 cc.complexity-theory  circuit-complexity  lower-bounds  upper-bounds 

前言 交互式证明系统和Arthur-Merlin协议是1985年由Goldwasser，Micali和Rackoff和Babai引入的。最初，人们认为前者比后者更强大，但Goldwasser和Sipser表明它们具有相同的功能（关于语言识别）。因此，在本文中，我将交替使用这两个概念。 假设是允许使用轮交互式证明系统的语言类别。鲍鲍伊证明。（可喜的结果。）ķ 我P [ ø （1 ）] ＆SubsetEqual; Π P 2一世P[ k ]IP[k]IP[k]ķkk一世P[ ø （1 ）] ＆SubsetEqual; ΠP2IP[O(1)]⊆Π2PIP[O(1)] \subseteq \Pi_2^P 起初，尚不知道无数回合能否增加IP的力量。特别是，它显示出具有矛盾relativizations：Fortnow和Sipser表明，对于一些预言，它认为。（因此，相对于A，IP [poly]不是PH的超类。）一种AA甲我P [ p ø 升ÿ ] P ħÇ Ò ÑP一种⊄ 我P[ p Ò 升ÿ]一种coNPA⊄IP[poly]AcoNP^A \not\subset IP[poly]^A一种AA一世P[ p Ò 升ÿ]IP[poly]IP[poly]PHPHPH 另一方面，以下论文： Aiello, W., Goldwasser, S., and Hastad, J. 1986. …

21 cc.complexity-theory  lower-bounds  circuit-complexity 

我们对（多项式大小）恒定深度电路的局限性了解很多。由于（多项式大小）恒定深度公式是一个更加受限制的计算模型，因此，所有已知不在AC 0中的问题也无法通过恒定深度公式进行计算。但是，由于它是一个更简单的模型，所以我猜想有更多已知的问题无法在此模型中计算。已经研究过了吗？（我猜是这样，但是我可能没有使用正确的搜索词。） 我特别对以下问题感兴趣：是否有一些函数f可以由大小为S 的AC 0电路计算，但是需要一个恒定深度公式，其大小至少应为S的平方或S的超多项式？这种结果最著名的是什么？ 如果不清楚我所说的“恒定深度公式”是什么，我指的是一个公式，如果您将其写为一棵树（内部节点为AND / OR / NOT门，而叶子为输入），则该树具有常数高度。等效地，恒定深度公式是恒定深度电路，其中所有非输入门都具有扇出1。

21 cc.complexity-theory  circuit-complexity  lower-bounds 

假设将具有个顶点的图表示为m个边的流，但是允许对该流进行多次遍历。Ñ 米GGGnnnmmm Monika Rauch Henzinger，Prabhakar Raghavan和Sridar Rajagopalan观察到Ω(n/k)Ω(n/k)\Omega(n/k)空间对于确定G中两个给定顶点之间是否存在路径是必要的GGG，如果允许对数据进行kkk次传递。（另请参阅技术报告版本。）但是，它们没有提供实际实现此限制的算法。我假设一种最佳算法实际上将在现实的计算模型中占用O((nlogn)/k)O((nlogn)/k)O((n\, \log\, n)/k)空间，因为如果一个人不能使用恒定大小的指针索引内存，则必须区分nnn不同的顶点。 如何使用O（（n \，\ log \，n）/ k）空间确定kkk传递的图形连通性？O((nlogn)/k)O((nlogn)/k)O((n\, \log\, n)/k) 如果只允许一次通过，则输入数据可以存储为一组顶点的分区，如果在两个不同集合中的顶点之间看到一条边，则合并这些集。显然，这最多需要O(nlogn)O(nlogn)O(n\, \log\, n)空间。我的问题是关于k>1k>1k > 1：如何才能使用更多的通道来减少所需的空间？ （为避免琐碎性，kkk是不能被常数先验限制的参数，而空间界限是涉及nnn和k的函数的表达式kkk。） 更新：即使对于k=2k=2k=2，也有一种只存储n/2n/2n/2个顶点的方法确实很有用。还是实际上对于某个常数c都存在一个更强的下界cn，而与k无关？cncncnccckkk

20 reference-request  graph-algorithms  ds.data-structures  lower-bounds  data-streams 

[注意：我认为这个问题绝不取决于Deolalikar论文的正确性。 在Scott Aaronson的博客Shtetl Optimized上，在关于Deolalikar最近在P vs NP上的尝试的讨论中，Leonid Gurvits发表了以下评论： 我试图理解/重新构造该方法，这是我的尝试，可能是非常简单的尝试：可以将本文中的离散概率分布视为张量或非常特殊的多元多项式。假设“ P = NP”以某种方式在张量秩上给出了（多项式？）上限。最后，使用已知的概率结果，他得到了同一排名的不匹配（指数？）下限。如果我是对的，那么从某种意义上说，这种方法是一种非常聪明的方法，可以很好地推广以前的代数几何方法。 尽管Deolalikar的证明存在怀疑/已知的缺陷，但我很好奇： 以何种方式可以将Deolalikar论文中讨论的分布视为张量，并且他的结果陈述（无论其正确性如何）如何转化为关于张量秩的陈述？

20 cc.complexity-theory  lower-bounds  tensor-rank 

USTCONN是需要确定图是否存在从源顶点到目标顶点的路径的问题，所有这些都作为输入的一部分给出。ssstttGGG Omer Reingold显示USTCONN位于L（doi：10.1145 / 1391289.1391291）中。证明通过之字形乘积构造一个恒定度的扩展器。恒定度扩展器具有对数直径，然后可以使用恒定数量的对数大小标记检查所有可能的路径。 Reingold的结果给出了USTCONN的空间复杂度的对数上限，根据该论文，它的空间复杂度“高达恒定因子”。我对相应的下限感到好奇，该下限在本文中其他任何地方均未提及。 在最坏的情况下，如何证明对数空间来决定USTCONN？ 编辑：将输入表示形式固定为基础顶点对称简单有向图的 ×邻接矩阵，并连续列出行以形成位字符串。N×NN×NN \times NNNNN2N2N^2 Lewis和Papadimitriou（doi：10.1016 / 0304-3975（82）90058-5）证明USTCONN是SL完全的，这与Reingold的结果暗示SL = L。Savitch显示（doi：10.1016 / S0022-0000（70）80006-X）。此外对于任何可计算函数由斯登Hartmanis和刘易斯（DOI：10.1109 / FOCS .1965.11），因此USTCONN至少需要空间。最后，通常的类在L之下（例如NSPACE(n)⊆DSPACE(n2)NSPACE(n)⊆DSPACE(n2)\text{NSPACE}(n) \subseteq \text{DSPACE}(n^2)DSPACE(f(n))=DSPACE(1)DSPACE(f(n))=DSPACE(1)\text{DSPACE}(f(n)) = \text{DSPACE}(1)f(n)=o(loglogn)f(n)=o(log⁡log⁡n)f(n) = o(\log\log n)Ω(loglogn)Ω(log⁡log⁡n)\Omega(\log\log n)NC1NC1\text{NC}^1）是根据电路定义的，显然不能与任何根据空间限制定义的类进行比较。 据我所知，这（不太可能）留下了一种可能性，那就是存在更好的确定性算法，该算法仅使用但使用空间，对于某些，或者甚至是使用空间的USTCONN的不确定算法。O((logn)δ)O((log⁡n)δ)O((\log n)^\delta)Ω(loglogn)Ω(log⁡log⁡n)\Omega(\log \log n)δ&lt;1δ&lt;1\delta < 1o((logn)1/2)o((log⁡n)1/2)o((\log n)^{1/2}) 根据空间层次定理，只要f（n）是可空间构造的，。这似乎表明USTCONN不能位于\ text {DSPACE}（o（\ log n））中，但是，在对数空间减少的情况下，L的USTCONN是完整的，这似乎并不意味着此。USTCONN仍然有足够的结构来编码L中的任何问题通过减少对数空间，而USTCONN本身仅需要亚对数空间。DSPACE(o(f(n))⊊DSPACE(f(n))DSPACE(o(f(n))⊊DSPACE(f(n))\text{DSPACE}(o(f(n)) \subsetneq \text{DSPACE}(f(n))f(n)f(n)f(n)DSPACE(o(logn))DSPACE(o(log⁡n))\text{DSPACE}(o(\log n)) 只要L中有某种语言需要对数空间，则表明在严格“较弱”的情况下L的USTCONN是完整的，而不是对数空间的减少将产生所需的下界。 L在减少了空间的情况下，USTCONN是否对L完整？o(logn)o(log⁡n)o(\log n) Immerman（doi：10.1137 / 0216051）指出，对于一阶约简下的L，可以通过AC电路计算得到的定向可达性版本（其中所需路径（而非图形本身）是确定的）是完整的。然后，可能会将其修改为显示USTCONN在FO减少下对L是完整的。但是，尽管AC严格包含在L中，但AC仍然是电路类，我不知道有任何方法可以在亚对数空间中执行FO折减。00^000^000^0 …

19 cc.complexity-theory  lower-bounds  reductions  space-bounded 

背景： 考虑其中Alice和Bob给出的通信复杂度通常的两方模型nnn比特串xxx和yyy和具有计算一些布尔函数f(x,y)f(x,y)f(x,y)，其中f:{0,1}n×{0,1}n→{0,1}f:{0,1}n×{0,1}n→{0,1}f:\{0,1\}^n \times \{0,1\}^n \to \{0,1\}。 我们定义以下数量： D(f)D(f)D(f)（的确定性通信复杂fff）：比特Alice和Bob需要对计算通信的最小数量f(x,y)f(x,y)f(x,y)确定性。 Pn(f)Pn(f)Pn(f)（的分区编号fff）：对数的分区中的单色矩形的最小数目（或不相交的覆盖物）的（基数为2）{0,1}n×{0,1}n{0,1}n×{0,1}n\{0,1\}^n \times \{0,1\}^n。 在单色矩形{0,1}n×{0,1}n{0,1}n×{0,1}n\{0,1\}^n \times \{0,1\}^n是一个子集R×CR×CR \times C使得fff取相同的值（即，单色）上的所有元素R×CR×CR \times C。 还要注意，分区号与“ protocol分区号”不同，后者是此问题的主题。 有关更多信息，请参见Kushilevitz和Nisan的文章。用它们的符号，我定义为Pn(f)Pn(f)Pn(f)是log2CD(f)log2⁡CD(f)\log_2 C^D(f)。 注意：这些定义容易推广到非布尔函数fff，其中的输出fff是一些较大的集合。 已知结果： 已知的是，是一个下界d （˚F ），即，对于所有（布尔或非布尔）˚F，P Ñ （˚F ）≤ d （˚F ）。确实，D （f ）的大多数下界技术（或全部？）实际上是下界P n （f ）。（任何人都可以确认所有下限技术都是如此吗？）Pn(f)Pn(f)Pn(f)D(f)D(f)D(f)fffPn(f)≤D(f)Pn(f)≤D(f)Pn(f) \leq D(f)D(f)D(f)D(f)Pn(f)Pn(f)Pn(f) 还已知该边界至多是平方松散的（对于布尔或非布尔函数），即。总而言之，我们知道以下几点：D(f)≤(Pn(f))2D(f)≤(Pn(f))2D(f) \leq (Pn(f))^2 Pn(f)≤D(f)≤(Pn(f))2Pn(f)≤D(f)≤(Pn(f))2Pn(f) \leq D(f) \leq (Pn(f))^2 据推测，。（这是Kushilevitz和Nisan撰写的文本中的开放式问题2.10。）据我所知，这两个布尔函数之间最广为人知的分隔仅是乘数为2，如“通信复杂性中的线性阵列猜想是错误的”，作者：Eyal Kushilevitz，Nathan …

19 lower-bounds  communication-complexity 

奇偶校验和就像不可分割的双胞胎。在过去的30年中，似乎如此。根据Ryan的结果，对小班制的兴趣将重新出现。一ç0AC0AC^0 Furst Saxe Sipser到Yao到Hastad都是平价和随机的限制。Razborov / Smolensky是具有奇偶校验的近似多项式（好，模门）。Aspnes等人在平价上使用弱度。此外，Allender Hertrampf和Beigel Tarui将使用Toda进行小班教学。还有Razborov / Beame与决策树。所有这些都落入平价篮子。 1）还有哪些其他自然问题（除奇偶校验外）可以直接显示为不在？一ç0AC0AC^0 2）是否有人尝试过完全不同的方法来降低AC ^ 0的下限？

19 cc.complexity-theory  complexity-classes  lower-bounds  circuit-complexity 

考虑由Σ上的所有k个字母字符串组成的语言，使得没有两个字母相等：Lk−distinctLk−distinctL_{k-distinct}kkkΣΣ\Sigma Lk−distinct:={w=σ1σ2...σk∣∀i∈[k]:σi∈Σ and ∀j≠i:σj≠σi}Lk−distinct:={w=σ1σ2...σk∣∀i∈[k]:σi∈Σ and ∀j≠i:σj≠σi} L_{k-distinct} :=\{w = \sigma_1\sigma_2...\sigma_k \mid \forall i\in[k]: \sigma_i\in\Sigma ~\text{ and }~ \forall j\ne i: \sigma_j\ne\sigma_i \} 这种语言是有限的，因此是有规律的。具体来说，如果|Σ|=n|Σ|=n\left|\Sigma\right|=n，然后|Lk−distinct|=(nk)k!|Lk−distinct|=(nk)k!\left|L_{k-distinct}\right| = \binom{n}{k} k!。 接受这种语言的最小非确定性有限自动机是什么？ 我目前有以下宽松的上限和下限： 我可以构造的最小NFA具有4k(1+o(1))⋅polylog(n)4k(1+o(1))⋅polylog(n)4^{k(1+o(1))}\cdot polylog(n)状态。 以下引理意味着2k2k2^k个状态的下界： 令L⊆Σ∗L⊆Σ∗L ⊆ Σ^*为常规语言。假设有nnn对P={(xi,wi)∣1≤i≤n}P={(xi,wi)∣1≤i≤n}P = \{ (x_i, w_i) \mid 1 ≤ i ≤ n \}使得xi⋅wj∈Lxi⋅wj∈Lx_i\cdot w_j \in L当且仅当i=ji=ji=j。然后，任何接受L的NFA至少具有n个状态。 另一个（琐碎的）下界是logloglog(nk)(nk)n\choose k，这是该语言最小DFA大小的对数。 …

18 automata-theory  lower-bounds  regular-language  communication-complexity  streaming 

是否可以通过算法测试可计算数是有理数还是整数？换句话说，将有可能为图书馆实现可计算数提供的功能isInteger还是isRational？ 我猜测这是不可能的，并且这在某种程度上与以下事实有关：无法测试两个数字是否相等，但是我看不出如何证明这一点。 编辑：可计算的数字xxx由函数给出，该函数fx(ϵ)fx(ϵ)f_x(\epsilon)可以返回精度为ϵ的的有理近似值：| x − f x（ϵ ）| ≤ ε，对于任何ε &gt; 0。鉴于这样的功能，就是可以测试，如果X ∈ Q或X ∈ ž？xxxϵϵ\epsilon|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x - f_x(\epsilon)| \leq \epsilonϵ&gt;0ϵ&gt;0\epsilon > 0x∈Qx∈Qx \in \mathrm{Q}x∈Zx∈Zx \in \mathrm{Z}

18 computability  computing-over-reals  lambda-calculus  graph-theory  co.combinatorics  cc.complexity-theory  reference-request  graph-theory  proofs  np-complete  cc.complexity-theory  machine-learning  boolean-functions  combinatory-logic  boolean-formulas  reference-request  approximation-algorithms  optimization  cc.complexity-theory  co.combinatorics  permutations  cc.complexity-theory  cc.complexity-theory  ai.artificial-intel  p-vs-np  relativization  co.combinatorics  permutations  ds.algorithms  algebra  automata-theory  dfa  lo.logic  temporal-logic  linear-temporal-logic  circuit-complexity  lower-bounds  permanent  arithmetic-circuits  determinant  dc.parallel-comp  asymptotics  ds.algorithms  graph-theory  planar-graphs  physics  max-flow  max-flow-min-cut  fl.formal-languages  automata-theory  finite-model-theory  dfa  language-design  soft-question  machine-learning  linear-algebra  db.databases  arithmetic-circuits  ds.algorithms  machine-learning  ds.data-structures  tree  soft-question  security  project-topic  approximation-algorithms  linear-programming  primal-dual  reference-request  graph-theory  graph-algorithms  cr.crypto-security  quantum-computing  gr.group-theory  graph-theory  time-complexity  lower-bounds  matrices  sorting  asymptotics  approximation-algorithms  linear-algebra  matrices  max-cut  graph-theory  graph-algorithms  time-complexity  circuit-complexity  regular-language  graph-algorithms  approximation-algorithms  set-cover  clique  graph-theory  graph-algorithms  approximation-algorithms  clustering  partition-problem  time-complexity  turing-machines  term-rewriting-systems  cc.complexity-theory  time-complexity  nondeterminism 

编辑（2011年8月22日）： 我正在进一步简化问题，并悬赏该问题。也许这个更简单的问题将得到一个简单的答案。我还将删除所有不再相关的原始问题。（感谢Stasys Jukna和Ryan O'Donnell部分回答了原始问题！） 背景： 给定的AC 0电路随深度k和大小S，存在另一个AC 0电路计算与深度k和大小相同功能，使得新电路具有扇出= 1对于所有的栅极。换句话说，该电路看起来像一棵树（除了输入端，因为输入端可能扇出至多个门）。一种方法是复制所有扇出&gt; 1的门，直到所有门扇出= 1。O(Sk)O(Sk)O(S^k) 但这是将AC 0电路转换为具有扇出1的AC 0电路的最有效方法吗？我在Ryan O'Donnell的课程笔记的第14课中阅读了以下内容： 假设C是计算奇偶校验的大小为S的任何深度k电路。此练习表明C可以转换为水平的k深度电路，其中的电平交替使用AND和OR门，输入线为2n文字，每个门具有扇出1（即，它是一棵树） ）—大小最多增加到。(2kS)2≤O(S4)(2kS)2≤O(S4)(2kS)^2 \leq O(S^4) 脚注：实际上，这是一个比较棘手的练习。如果只需要获得大小，容易，如果您将k视为“常数”，则对于我们的目的而言这几乎是相同的。O(Sk)O(Sk)O(S^k) 这是否意味着有办法采用大小为S的任何深度k AC 0电路并将其转换为扇出为1，深度k和大小为的AC 0电路？如果是这样，这是怎么做的，这是最著名的方法吗？ (2kS)2(2kS)2(2kS)^2 原始问题： 给定的AC 0电路随深度k和大小S，什么是最好的已知方法（在最小化所得到的电路的电路规模方面）这转换为交流的0电路深度k的和栅极扇出1？有没有下限？ 更新，更简单的问题： 这个问题是对原始问题的放松，在原始问题中，我不坚持要求所得电路的深度恒定。如上所述，有一种方法将深度为k，尺寸为S 的AC 0电路转换为尺寸为的电路，以使新电路的所有门扇出= 1。有更好的构造吗？O(Sk)O(Sk)O(S^k) 给定深度为k且尺寸为S 的AC 0电路，最有名的方法（就最小化所得电路的电路尺寸而言）将其转换为门扇出为1的任何深度的电路是什么？

18 cc.complexity-theory  lower-bounds  circuit-complexity 

我认为电路复杂度的大小层次定理可能是该领域的重大突破。 这是一种有趣的班级分离方法吗？ 这个问题的动机是我们必须说 有一些函数无法通过尺寸电路来计算，而可以通过尺寸电路来计算，其中。（可能还有关于深度的问题）f(n)f(n)f(n)g(n)g(n)g(n)f(n)&lt;o(g(n))f(n)&lt;o(g(n))f(n)<o(g(n)) 因此，如果，则该属性似乎是不自然的（违反了较大性条件）。显然，我们不能使用对角化，因为我们的设置不统一。f(m)g(n)≤nO(1)f(m)g(n)≤nO(1)f(m)g(n) \leq n^{O(1)} 在这个方向上有结果吗？

18 cc.complexity-theory  circuit-complexity  lower-bounds  natural-proofs  hierarchy-theorems