Questions tagged «lower-bounds»

有关函数下限的问题，通常是算法的复杂性或问题

2
高斯复杂度的下界
定义高斯复杂的的矩阵是需要使矩阵成上三角形式的基本的行和列操作的最小数量。这是一个介于0和n 2之间的量（通过高斯消除）。这个概念在任何领域都有意义。n × nn×nn \times n000ñ2n2n^2 这个问题似乎很基础，必须进行研究。令人惊讶的是，我没有任何参考。因此，我会很高兴有任何参考。但是，当然，主要问题是： 是否有任何不平凡的显式下界？ 非平凡的意思是超线性。只需清楚一点：在有限域上，一个计数参数表明随机矩阵的复杂度为n ^ 2（在无限域上，类似的主张也应成立）。因此，我们正在寻找的是显式矩阵族，例如Hadmard矩阵。这与布尔电路复杂度相同，我们知道随机函数具有很高的复杂度，但是我们正在寻找具有此属性的显式函数。
2
对于非布尔函数，下界比3n更好吗？
Blum的下界是显式函数的完整基础上最著名的电路下界，请参见。约克纳（Jukna）对这个问题的回答，以获得相关结果。˚F ：{ 0 ，1 } Ñ → { 0 ，1 }3n−o(n)3n−o(n)3n-o(n)F:{0,1}n→{0,1}f:{0,1}n→{0,1}f : \{0,1\}^n \to \{0,1\} 如果的范围是什么是最著名的下限？特别是，对于或，我们可以获得更好的结果吗？{ 0 ，1 } 米米= Ñ 米= 2fff{0,1}m{0,1}m\{0,1\}^mm = n米=ñm = nm=2m=2m = 2
2
多对数深度电路的电路下限状态
AC0AC0AC^{0}pppAC0[q]AC0[q]AC^{0}[q]AC0[q]AC0[q]AC^0[q]qqqgcd(p,q)=1gcd(p,q)=1\gcd(p,q)=1。但是，通过使用经典方法（如限制输入并在有限域上逼近多项式）来获得对数深度电路的具体下限结果似乎是遥不可及的。 我知道STOC'96论文引出了几何复杂性理论，并且表明使用没有逐位运算的有效的并行计算不能计算最小成本流问题。 这意味着在某些有限的设置中，我们可以证明某些问题的下界。PNCNCNCPPP 首先，还有其他方法或技术可能是证明多对数深度电路下限的合理方法吗？ 其次，以下陈述对理论界有多大用处？ 计算布尔函数的电路的大小至少为，其中是取决于其硬度的一些数学量目标函数。的值例如可以是组合量（如差异），线性代数（如字段上某种类型的矩阵的秩）或某些全新的量，以前从未在复杂度理论中使用过。˚F ：{ 0 ，1 } Ñ → { 0 ，1 } 升升˚F 升NCNCNCf:{0,1}n→{0,1}f:{0,1}n→{0,1}f\colon\{0,1\}^{n}\rightarrow \{0,1\}llllllffflll
3
简洁的数据结构调查？
Fischer本月的论文提醒我，我对简洁的数据结构以及使用它们的算法知之甚少。 对于不了解简洁数据结构的用户： 给定组合结构，具有（n）个不同的配置，以及一个已知的“有用”表示。是否存在一个“简洁”的数据结构，该结构需要存储大约 lg （a （n ））位，但允许我们以正常表示R尽快执行操作？R （n ）[R（ñ）R(n)lg（a （n ））lg⁡（一种（ñ））\lg(a(n))[R[RR 如果有人想参加讨论，我最感兴趣的是 后缀数组。它们是所有排列的子集。 有序的树。它们是所有二进制“括号”字符串（匹配的变体）的子集。 所有最接近的较小值，如纸张（1）中所示。您不仅可以在两个维度上压缩，还可以在两个维度上压缩。在一个方向上允许的“小的值”的数组是列表的一小部分，因此您需要存储少于n lg （n ）位。{ 0 ，。。。，n − 1 }ñ{0，。。。，ñ-1个}ñ\{0,...,n-1\}^nñ LG（n ）ñlg⁡（ñ）n \lg(n)
2
同时计算n个输入位的AND和OR所需的二进制门数
同时计算输入位的AND和OR所需的最小数量的二进制门是多少？微小的上限是。我认为这是最佳选择，但是如何证明这一点呢？标准选通消除技术在这里不起作用，因为通过为任何输入变量分配一个常量可以使输出之一微不足道。2 n − 2nnn2n−22n−22n-2 该问题在Ingo Wegener的“布尔函数的复杂性”一书中以练习5.12的形式给出了稍有不同的形式：“让。通过消除方法，人们只能证明大小为下界。请尝试证明更大的下界。” Ñ + Ω （1 ）fn(x)=x1…xn∨x¯1…x¯nfn(x)=x1…xn∨x¯1…x¯nf_n(x) = x_1\dots x_n \lor \bar{x}_1 \dots \bar{x}_nn+Ω(1)n+Ω(1)n+\Omega(1)
1
动态编程永不比贪婪弱吗？
在电路复杂度方面，我们将各种电路模型的电源分开。 在证明复杂性方面，我们将各种证明系统的能力进行了分隔。 但是在算法上，我们在算法范式的能力之间仍然只有很少的分离。 我下面的问题旨在用两个范式解决后一个问题：贪婪和动态编程。 我们有一套基础要素，并声明了一些子集家族是可行的解决方案。我们假设这个家庭是向下封闭的：可行解的子集是可行的。给定非负权重给地面要素，问题在于计算可行解的最大总权重。 贪心算法从一个空的部分解开始，并且在每个步骤中，如果可能，即如果扩展解仍然可行，则添加一个尚未处理的最大权重元素。著名的Rado-Edmonds定理指出，如果可行解家族是拟阵，该算法将为所有输入加权找到最佳解。 粗略地说，如果DP算法仅使用Max和Sum（或Min and Sum）运算，则它很简单。更具体地说（如约书亚所建议），通过一个简单的DP算法，我将表示一个具有fanin-2 Max和Sum门的（max，+）电路。输入是变量，变量的第iii个对应于赋予第i一世i个元素的权重。这样的电路可以通过仅计算可行解决方案的最大总重量来解决任何此类问题。但是，如果我们有成倍的此类解决方案（几乎总是如此），这可能是一个巨大的过高。 问题1： 是否有拟阵，在其上任何简单的DP算法都需要超多项式运算才能解决相应的最大化问题？ 评论（2015年12月24日添加）：已经回答了这个问题（请参阅下文）：即使在绝大多数国家中也存在这样的拟阵。 下一个问题要求将Greedy和简单DP分开以解决近似问题。在最大权重匹配问题中，可行解的族由完整的二分n × nñ×ñn\times n图中的所有匹配组成。对于给定的边缘权重分配，目标是计算匹配的最大权重（由于权重非负，因此这将始终是完美匹配）。 简单的贪心算法可以在因子2内近似此问题：只是始终取最大重量尚未出现的不相交边缘。所获得的重量将至少是最佳重量的一半。 问题2： 简单的DP算法是否可以仅使用多项式的Max和Sum运算来近似2因子内的Max-Weight匹配问题？ 当然，输出倍于边缘的最大权重的平凡DP算法可以在系数n内近似该问题。但是我们想要一个更小的因素。我猜想即使是因子n / log n也无法实现，但是，再次：如何证明这一点？ ññnññnn /日志ññ/日志⁡ñn/\log n 相关：最大重量匹配的一个表亲是分配问题：找到完美匹配的最小权重。仅使用运算即可通过线性编程（所谓的匈牙利算法）解决（甚至完全解决）此问题。但较低的Razborov对单调布尔电路的计算永久功能的大小必然意味着（不太直接），任何（分钟，+）电路的任何（！）有限因子必须使用内逼近这个问题ñ Ω （日志ñ ）业务。因此，为了最小化O(n3)O(n3)O(n^3)nΩ(logn)nΩ(log⁡n）n^{\Omega(\log n)}问题，简单的DP算法可能比线性编程要弱得多。我上面的问题旨在表明，这种DP算法可能比Greedy还要弱。 有人看到有人正在考虑类似的问题吗？ 已添加（2015年12月24日）：问题2旨在显示一个特定的最大化问题（最大权重匹配问题）可以通过贪婪算法以来近似，而不能用一个简单的多边形来近似具有相同因子r的 DP 。同时，我获得了贪婪和简单DP之间的较弱分离：对于每个r = o （n / log n ），都有一个显式的最大化问题，可以通过贪婪算法以因子r近似，但是没有多尺寸的简单DP算法可以用更小的近似值r = 2[R=2r=2[R[Rrr = o （n /对数n ）[R=Ø（ñ/日志⁡ñ）r=o(n/\log …
1
任何难于计数但易于确定的多项式？
每个单调算术电路，即电路，都会计算一些具有非负整数系数的多元多项式F （x 1，… ，x n）。给定多项式 ，电路{+,×}{+,×}\{+,\times\}F(x1,…,xn)F(x1,…,xn)F(x_1,\ldots,x_n)f(x1,…,xn)f(x1,…,xn)f(x_1,\ldots,x_n) 如果对于所有都成立，则计算； fffF(a)=f(a)F(a)=f(a)F(a)=f(a)a∈Nna∈Nna\in \mathbb{N}^n 如果对于所有成立，则计算； fffF(a)=f(a)F(a)=f(a)F(a)=f(a)a∈{0,1}na∈{0,1}na\in\{0,1\}^n 对于所有当成立 时，确定是否恰好满足。 fffF(a)>0F(a)>0F(a)>0f(a)>0f(a)>0f(a)>0a∈{0,1}na∈{0,1}na\in\{0,1\}^n 我知道显式多项式（甚至是多线性的）表明电路大小的间隙“计算/计数”可以是指数的。我的问题涉及“计数/决定”的差距。fff 问题1：是否有人知道多项式计算比由{ + ，× }-回路决定的指数难计算？ fff{+,×}{+,×}\{+,\times\} 作为一个可能的候选者，人们可以采取的路径多项式其变量对应于完整图的边上{ 1 ，... ，Ñ }，并且每个单项对应于简单的路径从节点1到节点ñ在ķ Ñ。该多项式可以决定通过尺寸的电路ø （Ñ 3）实施，也就是说，贝尔曼-福特动态规划算法，它是相对容易证明，每{ + ，× } -电路计算KnKnK_n{1,…,n}{1,…,n}\{1,\ldots,n\}111nnnKnKnK_nO(n3)O(n3)O(n^3){+,×}{+,×}\{+,\times\}PATH必须有大小。 2Ω(n)2Ω(n)2^{\Omega(n)} 在另一方面，每个电路计数 PATH解决 PATH问题，即，计数的数目1 -到- ñ路径在由对应的指定的0 - 1的输入子图ķ Ñ。这就是所谓的＃ P -完全问题。因此，我们所有人都“相信” PATH不能具有多项式大小的任何计数{ + ，× }-电路。“唯一”的问题是证明这一点... ##\#111nnn000111KnKnK_n##\#{+,×}{+,×}\{+,\times\} 我可以证明，计算相关汉密尔顿路径多项式HP的每个电路都需要指数大小。该多项式对应的单项式1 -到- …
1
完整二进制基础上一次读取式的表征
背景 一组门（也称为基础）上的一次读取公式是每个输入变量出现一次的公式。通常在De Morgan基础（具有2位门AND和OR，以及1位门NOT）和全二进制基础（具有所有2位门）的基础上研究一次读取公式。 因此，例如，2位的AND可以在任何一个基础上写为一次读取公式，但2位的奇偶校验不能在De Morgan基础上写为一次读取公式。 可以在De Morgan基础上作为一次写入公式编写的所有函数的集合具有组合特征。参见，例如，M.Karchmer，N.Linial，I.Newman，M.Saks，A.Wigderson 的一次式的组合表征。 题 是否可以通过一次读取公式在完整的二进制基础上计算的函数集进行替换表征？ 较简单的问题（在v2中添加） 尽管我仍然对原始问题的答案感兴趣，但是由于没有收到任何答案，我想我会问一个更简单的问题：在整个二进制基础上，哪些下限技术可用于公式？（除了我在下面列出的那些。） 请注意，现在我正在尝试降低公式大小的下限（=叶数）。对于一次读取的公式，我们的公式大小=输入数量。因此，如果您可以证明函数需要大小严格大于n的公式，那么这也意味着该函数不能表示为一次读取的公式。 我知道以下技术（以及Boolean Function Complexity：Stasys Jukna的Advances and Frontiers中的每种技术的参考）： Nechiporuk的通用函数方法（第6.2节）：显示特定函数的大小下限。但是，这无法帮助您找到您可能感兴趣的特定功能的下限。ñ2 − o （1 ）ñ2-Ø（1个）n^{2-o(1)} Nechiporuk定理使用子函数（第6.5节）：从某种意义上说，这是一种适当的下界技术，它将为您感兴趣的任何函数提供一个下界。例如，它表明在表示该函数的完整二进制基础上的任何公式元素唯一性函数的大小为。（这是该技术可以证明的最大下界-对于任何功能。）Ω （n2/日志n ）Ω（ñ2/日志⁡ñ）\Omega(n^2/\log n)
2
复杂性下限：决策树和RAM之间的差距
我最近在决策树模型中发现了问题复杂性的二次下界，我不知道是否可以将此结果部分推广到随机访问机器模型。通过部分，我的意思是推广到RAM中的程序具有一定的时间/空间权衡。例如，我想表明我的问题无法通过线性时间和-space RAM程序解决。 AM Ben-Amram和Z. Galil在本文中证明，可以在指针机器上以时间模拟在时间和空间s中运行的RAM程序。我们是否知道可以应用于决策树的类似结果？ŤŤtsssØ （Ť日志s ）Ø（Ť日志⁡s）O(t \, \log s) 或者，是否有可能以模拟太空运行的RAM程序有度的决策树？（直观上，可以使用度为节点模拟间接寻址）ssssss≤秒≤s\leq s
1
永久性不在统一
这是该问题的跟进，与希瓦·金纳利（Shiva Kinali）的问题有关。 这些论文中的证明（Allender，Caussinus-McKenzie-Therien-Vollmer，Koiran-Perifel）似乎使用层次定理。我想知道证明是否为“ 纯 ”对角化定理，或者它们是否使用比通常的对角化更多的东西。所以我的问题是 是否存在合理的相对化，使变为永久统一？TC0TC0\mathsf{TC^0} 请注意，我不确定如何为统一的定义oracle访问，我知道为小型复杂性类找到正确的定义并非易事。另一种可能性是，永久不完整的＃P在相对化的宇宙，在这种情况下，我应该用一些完全问题的＃P代替它的相对化的宇宙，我觉得＃P应该在任何合理有一个完整的问题相对论的宇宙。TC0TC0\mathsf{TC^0}#P#P\mathsf{\#P}#P#P\mathsf{\#P}#P#P\mathsf{\#P}
3
广义星高问题的进展？
语言的（广义）星高是通过扩展的正则表达式表示语言所需的Kleene星的最小嵌套。回想一下，在有限字母上的扩展正则表达式满足以下条件：AAA （1）和一个延伸于所有的正则表达式一个∈ 甲∅,1∅,1\emptyset, 1aaaa∈Aa∈Aa\in A （2）对于所有扩展的正则表达式；Ë ∪ ˚F，ē ˚F，ê *和ê Ç被扩展正则表达式E,FE,FE,F E∪FE∪FE\cup FEFEFEFE∗E∗E^*EcEcE^c 广义星高问题的一个说法是是否存在一种计算最小广义星高的算法。关于这个问题，我有几个问题。 关于这个问题最近有什么进展（或研究兴趣）？我知道几年前，Pin Straubing和Thérien在这一领域发表了一些论文。 受限制的恒星高度问题在1988年由Hashiguchi解决，但广义版本（据我所知）仍未解决。有人对为什么会这样有直觉吗？ 以下是一个可能有用的链接：starheight
1
基本对称多项式的单调算术电路复杂度？
第kkk个基本对称多项式Snk(x1,…,xn)Skn(x1,…,xn)S_k^n(x_1,\ldots,x_n)是所有 k个不同变量的乘积。我对该多项式的单调算术（+，×）电路复杂度感兴趣。一个简单的动态编程算法（以及下面的图1）给出了一个具有O（kn）门的（+，×）电路。(nk)(nk)\binom{n}{k}kkk(+,×)(+,×)(+,\times)(+,×)(+,×)(+,\times)O(kn)O(kn)O(kn) 问题： 是否 知道的下限？ Ω(kn)Ω(kn)\Omega(kn) 甲电路是歪斜如果每个产品门的两个输入端的至少一个是可变的。这种电路实际上与开关和整流网络相同（有向无环图，其中的某些边缘用变量标记；每个st路径给出其标记的乘积，输出是所有st路径的总和）。早在40年前，马尔可夫就证明了一个令人吃惊的严格结果：S n k的最小单调算术偏斜电路恰好具有k （n - k + 1 ）个乘积门。的上界如下从图1： (+,×)(+,×)(+,\times)SnkSknS_k^n k(n−k+1)k(n−k+1)k(n-k+1) 但是我没有看到任何尝试证明非偏斜电路的下限。这仅仅是我们的“自大”，还是一路上观察到一些固有的困难？ PS我知道门对同时计算所有S n 1，… ，S n n是必要的。这是从对0-1输入进行排序的单调布尔电路的大小的下限开始的；请参阅Ingo Wegener的书的第158页。所述AKS排序网络也意味着ø （Ñ 登录Ñ ）门在此（布尔值）的情况下就足够了。实际上，鲍尔（Baur）和斯特拉森（Strassen）已经证明了紧约束Θ （n log nΩ(nlogn)Ω(nlog⁡n)\Omega(n\log n)Sn1,…,SnnS1n,…,SnnS_1^n,\ldots,S_n^nO(nlogn)O(nlog⁡n)O(n\log n)Θ(nlogn)Θ(nlog⁡n)\Theta(n\log n)S n n / 2的非单调算术电路的大小。但是单调算术电路呢？Snn/2Sn/2nS_{n/2}^n
1
最佳的通信复杂度，不相交的下限
众所周知，在最坏的情况下，没有确定性的两方协议可以解决位输入上的不相交问题（DISJ）而无需发送n + 1位（例如，参见Kushilevitz和Nisan的书）。对于有界错误随机化协议，下限为δ Ñ，对于某一常数δ，也已在一开创性论文通过Razborov [Razborov92]所示。我的问题是：ññnn + 1ñ+1个n+1δñδñ\delta nδδ\delta 当前（上下限）最著名的显式值是多少？δδ\delta 另外，是否相信的实际值？δδ\delta [Razborov92]亚历山大·A·拉兹伯罗夫：论脱节的分布复杂性。理论。计算 科学 106（2）：385-390（1992）doi：10.1016 / 0304-3975（92）90260-M
3
如何显示#P以外的Gap-P问题
组合表示理论和代数几何中存在许多问题，对于这些问题尚无正公式。我正在考虑几个示例，但让我以计算Kronecker系数为例。通常，“正公式”的概念在组合语言中并未得到精确定义，但它的粗略含义是“描述为看似合理的显式集合的基数”。最近，我一直在与乔纳·布拉西亚克（Jonah Blasiak）交谈，他一直在说服我，“正公式”的正确定义是#P。我将假设，在此站点上，我不需要定义#P。 Buergisser和Ikenmeyer表明Kronecker系数很难。（它们也总是积极的，因为它们是张量积的多重性。）但我可以肯定地说，没有人知道一种计算它们的方法，甚至可以使它们进入#P。 因此，假设我实际上是在尝试证明Kronecker系数不在#P中。我假设我要做的是假设一些复杂性理论猜想，然后将Kronecker乘积归结为某个其他问题，对于大于#P的类，该问题众所周知。 我可以假设什么样的猜想，并且我可以尝试减少什么问题？ 补充：正如评论中指出的那样，Buergisser和Ikenmeyer表明Kronecker系数在Gap-P中，这与#P非常接近。因此，听起来我应该问的问题是：（1）我可以合理地减少到哪些Gap-P完全问题？（2）显示Gap-P不是#P的前景如何？我猜（2）应该分为两个部分（2a）专家是否认为这些类别不同？（2b）是否有可能的策略来证明这一点？ 我希望不要对此问题进行过多编辑。
By using our site, you acknowledge that you have read and understand our Cookie Policy and Privacy Policy.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.