Questions tagged «pr.probability»

概率论中的问题

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概率论书
虽然我在高中和大学都通过了几门有关概率论的课程，但在涉及概率问题时，我还是很难阅读TCS论文。 TCS论文的作者似乎非常熟悉概率。他们神奇地使用概率公式，非常容易地证明定理。而我必须花一些时间来了解如何推导一个公式以及如何证明同一性（或不等式）。 我决定一劳永逸地解决我的问题：我想从头到尾读一本书。 因此，如果要求您建议一本和一本关于概率的书，那么您会推荐哪本书？
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反向切尔诺夫界
是否存在切尔诺夫逆边界，该边界会限制尾部概率至少如此之大。 例如，如果是独立的二项式随机变量，并且。然后我们可以证明对于某些函数。X1,X2,…,XnX1,X2,…,XnX_1,X_2,\ldots,X_nμ=E[∑ni=1Xi]μ=E[∑ni=1Xi]\mu=\mathbb{E}[\sum_{i=1}^n X_i]Pr[∑ni=1Xi≥(1+δ)μ]≥f(μ,δ,n)Pr[∑ni=1Xi≥(1+δ)μ]≥f(μ,δ,n)Pr[\sum_{i=1}^n X_i\geq (1+\delta)\mu]\geq f(\mu,\delta,n)fff
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康威生活游戏的嘈杂版本是否支持通用计算？
引用维基百科，“ [[Conway的人生游戏]具有通用图灵机的功能：也就是说，可以在Conway的《人生游戏》中计算出任何可以通过算法计算的东西。” 这样的结果会扩展到Conway的《人生游戏》的嘈杂版本吗？最简单的说法是，每一轮之后用小概率每一个活细胞的模具，每死细胞成为活着的小概率小号（独立）。ŤŤtsss 另一种可能性是考虑游戏规则本身的以下概率变体。 任何具有少于两个活邻居的活细胞都以概率死亡。1 − t1个-Ť1-t 任何具有两个或三个活邻居的活细胞都以概率存活到下一代。1 − t1个-Ť1-t 任何具有三个以上活邻居的活细胞都以概率死亡。1 − t1个-Ť1-t 正好有三只活邻居的死细胞变得与概率的活细胞。1 − t1个-Ť1-t 问题：这些嘈杂的“人生游戏”版本是否仍支持通用计算？如果不是，那么他们的“计算能力”又如何呢？ 与细胞自动机的计算能力和细胞自动机的嘈杂版本有关的信息也将受到赞赏。 （从发达国家这个问题这个问题上MathOverflow。文森特Beffara的回答上了MO上嘈杂的元胞自动机计算方面的相关结果有趣的引用。）
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醉鸟vs醉酒的蚂蚁：二维和三维之间的随机游动
众所周知，二维网格中的随机游走会以1的概率返回原点。众所周知，同一三维空间的随机游走返回原点的概率严格小于1。 我的问题是： 两者之间有东西吗？例如，假设我的空间实际上是平面的边界区域，该区域在z方向上被拉伸到无穷大。（通常称为2.5维）。二维结果是适用的还是三维结果？ 这是在讨论中提出的，一个启发式论据说它在二维上起作用是因为平面的有限区域最终将被覆盖，所以行走的唯一非平凡部分是沿z方向的一维射线，因此返回到起源会发生。 在二维维和三维维之间还可以插入其他形状吗？ 更新（从评论中拉出）：在MO上提出了一个相关问题 -简短的总结是，如果步行的尺寸为（2 + ϵ）偶数，则不确定的收益会从分散的序列中轻松得出。但是，上述问题与IMO略有不同，因为我要问的是其他可能允许一定收益的形状。
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使用一些抛硬币找到有偏差的硬币
在研究过程中出现了以下问题，并且非常干净： 您有硬币的来源。每个硬币都有一个偏差，即它掉在“头上”的概率。对于每个硬币，独立的概率为2/3，其偏差至少为0.9，其余概率的偏差可以为[0,1]中的任何数字。您不知道硬币的偏见。您在任何步骤都可以做的就是抛硬币并观察结果。 对于给定的N，你的任务是找到一个硬币偏置至少0.8的概率至少是。您可以仅使用O（n）个抛硬币来做到这一点吗？1 − 经验（- ñ ）1−exp⁡(−n)1-\exp(-n)
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启发式统计物理论证是什么意思？
我听说统计物理学中有一些启发式论点，这些论点在概率论中产生结果，对于这些论点，严格的证明要么未知，要么很难得出。这种现象的简单玩具例子是什么？ 如果答案假设统计物理学的背景很少，并且可以解释这些神秘的启发式方法以及如何非正式地说明它们，那将是很好的。另外，也许有人可以指出这些启发式方法中有多少可以严格辩解的广泛情况，以及Lawler，Schramm和Werner的程序如何适合于此。
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关键3-SAT密度的当前最严格界限
我对关键的3-satisfiability（3-SAT）密度感兴趣。可以猜想这种存在：如果随机生成的3-SAT子句的数量为或更多，则它们几乎肯定是不满足的。（这里是任何小常数，是变量的数量。）如果该数量等于或更小，则几乎可以满足它们。αα\alphaαα\alpha(α+ϵ)n(α+ϵ)n(\alpha + \epsilon) nϵϵ\epsilonnnn(α−ϵ)n(α−ϵ)n(\alpha - \epsilon) n 论文Elitza Nikolaeva Maneva提出的约束满足问题的置信传播算法从信息论中已知的置信传播角度挑战了该问题。在第13页上，如果存在，则说。3.52&lt;α&lt;4.513.52&lt;α&lt;4.513.52<\alpha<4.51αα\alpha 的最著名边界是什么？αα\alpha
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哪些图形参数不集中在随机图形上？
众所周知，至少在边缘概率的某些范围内，许多重要的图形参数在随机图形上显示（强）集中度。一些典型示例是色数，最大集团，最大独立集，最大匹配，支配数，固定子图的副本数，直径，最大度数，选择数（列表着色数），Lovasz theta-数，树宽等θθ\theta 问题：哪些例外，即有意义的图形参数不集中在随机图上？ 编辑。 浓度的可能定义是： 令为n个顶点随机图的图参数。我们称它为集中式，如果对于每个\ epsilon&gt; 0，它认为 \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ Pr \ big（（1- \ epsilon）E（X_n）\ leq X_n \ leq（1+ \ epsilon ）E（X_n）\ big）= 1。如果概率以指数速率接近1，则 集中度很高。但是有时会以不同的方式使用“强”，指的是收敛的事实随着间隔的缩小而保持正确，从而产生可能非常狭窄的范围。例如，如果X_n是最小度，则对于边缘概率p的某个范围，可以证明 ñXnXnX_nnnnϵ&gt;0ϵ&gt;0\epsilon>0limn→∞Pr((1−ϵ)E(Xn)≤Xn≤(1+ϵ)E(Xn))=1.limn→∞Pr((1−ϵ)E(Xn)≤Xn≤(1+ϵ)E(Xn))=1.\lim_{n\rightarrow\infty}\Pr\big((1-\epsilon)E(X_n)\leq X_n \leq (1+\epsilon)E(X_n)\big)=1.XnXnX_nppplimn→∞Pr(⌊E(Xn)⌋≤Xn≤⌈E(Xn)⌉)=1limn→∞Pr(⌊E(Xn)⌋≤Xn≤⌈E(Xn)⌉)=1\lim_{n\rightarrow\infty}\Pr\big(\lfloor E(X_n)\rfloor\leq X_n \leq \lceil E(X_n)\rceil\big)=1 ，这是最短的间隔（以度为单位）是整数，但预期值可能不是）。 注意：可以根据集中规则构造人为豁免。例如，如果图的边数为奇数，则令Xn=nXn=nX_n=n，否则为0。这显然不是集中的，但我不会认为它是有意义的参数。
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球和在垃圾箱分析
假设我们将球扔进仓中，其中。令为最终进入箱的球数，为最重的箱，X_ \ min为最轻的箱，X _ {\ mathrm {sec-max}}为第二重的箱。粗略地说，X_i-X_j \ sim N（0,2m / n），因此我们期望| X_i-X_j | = \ Theta（\ sqrt {m / n}）对于任意两个固定的i，j。使用联合约束，我们期望X _ {\ max}-X _ {\ min} = O（\ sqrt {m \ log n / n}）；大概，我们可以通过考虑n / 2来获得匹配的下界mmmnnnm≫nm≫nm \gg nXiXiX_iiiiXmaxXmaxX_\maxXminXminX_\minXsec−maxXsec−maxX_{\mathrm{sec-max}}Xi−Xj∼N(0,2m/n)Xi−Xj∼N(0,2m/n)X_i - X_j \sim N(0,2m/n)|Xi−Xj|=Θ(m/n−−−−√)|Xi−Xj|=Θ(m/n)|X_i - X_j| = \Theta(\sqrt{m/n}) i,ji,ji,jXmax−Xmin=O(mlogn/n−−−−−−−−√)Xmax−Xmin=O(mlog⁡n/n)X_{\max} - …
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随机游走中不同节点的数量
连接图中的通勤时间G = （V，E）G=（V，Ë）G=(V,E)定义为在访问节点之前再次到达节点之前，从开始的随机游走中的预期步数。它基本上是两个命中时间和的总和。一世一世iĴĴj一世一世iH（i ，j ）H（一世，Ĵ）H(i,j)H（j ，我）H（Ĵ，一世）H(j,i) 是否有与通勤时间类似（不完全相同）但根据节点定义的内容？换句话说，什么是预期数量的不同节点随机游走开始并返回在将访问？一世一世i一世一世i 更新（2012年9月30日）：关于随机步行者在格子上（即）访问的不同站点的数量，有许多相关工作。例如，请参阅：http : //jmp.aip.org/resource/1/jmapaq/v4/i9/p1191_s1?isAuthorized=nožñžñ\mathbb{Z}^n 有人读过一些东西吗？
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的明显的差异数
在研究过程中，我遇到了以下结果。 m=ω（√林n → ∞E [ ＃{ | 一种一世− aĴ| ，1≤我，Ĵ≤米}ñ] =1limn→∞E[#{|ai−aj|,1≤i,j≤m}n]=1\lim\limits_{n\to \infty} \mathbb{E}\left[ \frac{\#\{|a_i-a_j|,1\le i,j\le m \}}{n} \right] = 1a1，⋯，am[n]m = ω （n--√）m=ω(n)m=\omega(\sqrt n)一种1个，⋯ ，一米a1,⋯,ama_1,\cdots,a_m[ n ][n][n] 我正在寻找参考/直接证明。 交叉张贴在MO
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浓度范围流程图
当我教尾巴界限时，我使用通常的进度： 如果rv为正，则可以应用马尔可夫不等式 如果您具有独立性并且也有有限方差，则可以应用切比雪夫不等式 如果每个独立的rv 也具有所有矩的边界，则可以使用Chernoff边界。 在此之后，事情变得不那么干净了。例如 如果您的变量均值为零，那么伯恩斯坦不等式会更方便 如果您只知道合并函数是Lipschitz，则存在广义的McDiarmid风格的不等式 如果您的依赖性较弱，则存在Siegel风格的界限（如果您的依赖性为负，那么Jansson不等式可能是您的朋友） 在方便的流程图或决策树的任何地方都存在参考，描述了如何选择“正确的”尾部约束（或者甚至当您不得不潜入塔拉格朗的大海时）？ 我在问的一部分是为了给我一个参考，一部分是为了让我可以指向我的学生，部分原因是如果我足够烦恼并且没有人，我可能会尝试自己做一个。
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从相同的偏向硬币中获得接近公平的抛硬币的最佳方法是什么？
（冯·诺伊曼（Von Neumann）给出了一种算法，该算法在访问相同的有偏向硬币的情况下可以模拟一个公平的硬币。该算法潜在地需要无限数量的硬币（尽管在期望中，数目足够有限）。这个问题涉及允许抛硬币的次数为有界）。 假设我们有nnn相同硬币与偏置δ=P[Head]−P[Tail]δ=P[Head]−P[Tail]\delta=P[Head]-P[Tail]。目的是模拟单个抛硬币，同时最大程度地减少偏差。 在以下方面，仿真必须高效：在多项式时间内运行的算法查看随机位并输出单个位。该算法的偏差定义为其中期望值是由 iid位定义的分布所接受的从而。B i a s （A ）= | ë [ 甲= 0 ] - ë [ 甲= 1 ] | n x 1，… ，x n P r o b [ x i = 1 ] − P r o b [ x i = 0 ] = …
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除詹森不等式之外，以表示的
如果fFf是凸函数然后Jensen不等式指出f(E[x])≤E[f(x)]F（Ë[X]）≤Ë[F（X）]f(\textbf{E}[x]) \le \textbf{E}[f(x)]，并且加以必要的变更时fFf是凹的。显然，在最坏的情况下不能上限E[f(x)]Ë[F（X）]\textbf{E}[f(x)]在以下方面f(E[x])F（Ë[X]）f(\textbf{E}[x])为凸fFf，但有一个约束，且在去如果这个方向fFf是凸但不是太凸？有一些标准的约束，让上凸函数条件fFf（以及可能的分布以及，如果需要的话），这将让你得出这样的结论E[f(x)]≤φ(f)f(E[x])Ë[F（X）]≤φ（F）F（Ë[X]）\textbf{E}[f(x)] \le \varphi(f)f(\textbf{E}[x])，其中φ(f)φ（F）\varphi(f)是曲率/度的凸度的某个函数fFf？类似于Lipschitz病状吗？
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是否存在有效的一般Bonferroni风格边界？
概率论中的一个经典问题是用更具体的事件来表达事件的概率。在最简单的情况下，可以说。让我们为事件写。P[A∪B]=P[A]+P[B]−P[A∩B]P[A∪B]=P[A]+P[B]−P[A∩B]P[A \cup B] = P[A] + P[B] - P[A \cap B]ABABABA∩BA∩BA \cap B 然后，有一些方法可以绑定，而无需假定有限的多个事件独立性。Bonferroni给出了上限 （有时也归因于Boole），而Kounias将其精简为 P[∪Ai]P[∪Ai]P[\cup A_i]AiAiA_iP[∪Ai]≤∑P[Ai]P[∪Ai]≤∑P[Ai]P[\cup A_i] \le \sum P[A_i]P[∪Ai]≤∑iP[Ai]−maxj∑i≠jP[AiAj].P[∪Ai]≤∑iP[Ai]−maxj∑i≠jP[AiAj].P[\cup A_i] \le \sum_i P[A_i] - \max_j \sum_{i \ne j} P[A_i A_j]. 可以将事件的依存结构视为具有顶点A_i的加权超图，AiAiA_i边缘的权重表示事件与边缘中顶点的交点关联的概率。 包含－排除样式参数将事件的越来越大的子集一起考虑。这些产生Bonferroni边界。这些边界将所有权重用于最大为k的边缘kkk。 如果依存关系结构“足够好”，则可以使用Lovász局部引理将概率限制为远离极端值0和1。与Bonferroni方法相反，LLL使用了有关依存关系结构的相当粗略的信息。 现在假设依赖性结构中相对较少的权重为非零。此外，假设有许多事件是成对独立的，但不是相互独立的（更一般地说，一组kkk事件不是互相独立的，而是每个r &lt;k都是rrr方向独立的）。r&lt;kr&lt;kr < k 是否可以显式地使用事件的依存结构来改善Bonferroni / Kounias边界，并且可以有效地进行计算？ 我希望答案是肯定的，并且希望您能参考到引用。我知道亨特（Hunter）于1976年发表的论文，但它仅涉及成对依赖性。Hunter考虑通过忽略大小为3或更大的依存结构中的边形成的图中的生成树。 戴维·亨特（David Hunter），《工会概率的上限》，《应用概率杂志》13 597–603。 http://www.jstor.org/stable/3212481
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