Questions tagged «pr.probability»

概率论中的问题

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随机生成的树的预期深度是多少？
我很早以前就考虑过这个问题，但是对此一无所知。 生成算法如下。我们假设有nnn离散的节点，编号从到。然后，每个在我们使在树个节点的母公司是在随机节点。依次遍历每个，以使结果成为根节点为的随机树。（也许这不够随机，但这无关紧要。）n − 1 i { 1 ，… ，n − 1 } i { 0 ，… ，i − 1 } i 0000n−1n−1n - 1iii{1,…,n−1}{1,…,n−1}\{1, \dotsc, n - 1\}iii{0,…,i−1}{0,…,i−1}\{0, \dotsc, i - 1\}iii000 这棵树的预期深度是多少？
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采样（近似）布尔函数的傅里叶变换的复杂性
量子计算机可以做的一件事（甚至可能仅使用BPP +对数深度量子电路）是对P中布尔值函数的傅里叶变换进行近似采样。±1±1\pm 1 在这里和下面，当我谈论采样傅立叶变换时，我的意思是根据选择x 。（如有必要，请进行标准化）。|f^(x)|2|f^(x)|2|\hat f(x)|^2 我们能否描述P的近似采样布尔函数的复杂度类，我们可以称之为P-FOURIER SAMPLING？这堂课有没有完整的问题？ 给定X类布尔函数，可以说关于计算复杂度，我们可以将其称为SAMPLING-X，它是对X中函数的傅立叶变换进行近似采样的方法。（我想如果X是BQP，则X-SAMPLING为仍然在量子计算机的能力之内。） 在S中有SAMPLING-X的X的例子是什么？有没有有趣的例子，其中SAMPLING-X是NP硬的？ 此问题有多种变体也可能很有趣。在傅立叶方面，我们可以谈论的不是近似样本，而是近似抽样能够（概率地）实现的决策问题。在原始方面，我们可以从概率分布的类X开始，并询问近似采样X中的分布D和近似采样（归一化）傅立叶变换的能力之间的关系是什么。 简而言之，关于此问题的已知信息。 更新：马丁·施瓦兹（Martin Schwarz）指出，如果所有傅立叶系数本身都只集中在多项式条目上，那么在BPP中就有可能近似这些大系数（从而也近似于样本）。这可以追溯到Goldreich-Levin，和库什列维兹-曼苏尔。是否有有趣的函数类，其中有一个概率多项式算法可以对傅里叶侧进行近似采样，其中傅里叶系数的分布比多项式系数大？ 稍后添加：让我提及一些具体问题。 1）在P中近似采样布尔函数的傅立叶变换有多困难。 a）斯科特·亚伦森（Scott Aaronson）在下面的评论中提到的一个问题是要表明这不在BPP中。或更弱一点的是，如果此任务在BPP中进行，则会发生崩溃。（苏格兰人猜想就是这种情况。） b）另一个问题是表明，就某些基于量子的复杂性类别而言，这项任务很难。例如，为了表明您可以执行此任务，您可以借助对数深度量子计算机或类似的工具解决BPP中的决策问题。 2）什么是布尔函数类，以便大约可以对P的Fourler变换进行采样在P中。我们知道的是，当Fourier系数集中于多项式多项式系数时，就是这种情况，但这似乎非常局限。 3）在PH中，X机可以近似采样X机可以计算的每个函数的傅立叶变换的复杂度等级X。 4）我对采样交叉事件的傅里叶变换以在n x n的六边形网格上进行渗滤的问题特别感兴趣。
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m >> n机制中的球和箱分析。
众所周知，如果将n个球扔进n个料箱中，则负载最大的料箱中很可能装有O(logn)O(log⁡n)O(\log n)球。通常，可以在n个垃圾箱中询问m>nm>nm > n球。Raab和Steger于RANDOM 1998年发表的一篇论文对此进行了较为详细的研究，结果表明，随着m的增加，甚至超过m / n的期望值的几率迅速降低。粗略地讲，设置r = m / n，他们表明看到概率大于r + √的可能性。nnnmmmm/nm/nm/nr=m/nr=m/nr = m/nr+rlogn−−−−−√r+rlog⁡nr + \sqrt{r\log n}为o(1)o(1)o(1)。 这篇论文发表于1998年，但直到最近我才发现。这些方面是否有新的甚至更集中的结果，还是有启发式/正式的理由怀疑这是最好的结果？我应该补充一点，安吉莉卡·斯蒂格（Angelika Steger）在2006年合着的有关多项选择变体的相关论文也没有引用任何最新的著作。 更新：针对Peter的评论，让我澄清一下我想知道的事情。我在这里有两个目标。 首先，我需要知道要引用哪个参考，这似乎是关于此的最新工作。 其次，的确，在r = 1的范围内，结果非常严格。我对m >> n范围感兴趣，特别是对r可能是poly log n甚至n ^ c的领域。我正在尝试将此结果放入我证明的引理中，并且r上的特定范围控制整个算法的其他部分。我认为（但不确定）本文提供的r的范围可能就足够了，但是我只是想确保没有更严格的界限（这会产生更好的结果）。
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雪崩般的随机过程
请考虑以下过程： 有nnn箱从上向下依次设置。最初，每个垃圾箱包含一个球。在每一步中，我们 随机均匀地挑选一个球 ，bbb 将所有球从包含bbb的垃圾箱移到其下方的垃圾箱。如果已经是最低的料仓，我们就将球从工艺中移出。 直到过程终止（即，直到从过程中删除了所有nnn球）为止，期望执行多少步骤？以前有研究过吗？答案是否容易从已知技术中得出？ 最好的情况是，该过程可以在nnn步骤之后完成。在最坏的情况下，它可能需要Θ(n2)Θ(n2)\Theta(n^2)步。但这两种情况都不太可能发生。我的推测是它需要步骤，我做了一些实验，似乎可以证实这一点。Θ(nlogn)Θ(nlog⁡n)\Theta(n\log n) （请注意，随机均匀地选择一个bin是一个非常不同的过程，显然将需要步骤来完成。）Θ(n2)Θ(n2）\Theta(n^2)
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以
订单维护问题（或“维护列表中的订单”）是为了支持以下操作： singleton：创建一个包含一个项目的列表，并返回指向它的指针 insertAfter：给定一个指向项目的指针，在其后插入一个新项目，并返回指向该新项目的指针 delete：给定指向项目的指针，将其从列表中删除 minPointer：给定两个指向同一列表中项目的指针，则返回更靠近列表前面的那个 我知道此问题的三种解决方案可以在摊销时间内执行所有操作。它们都使用乘法。O(1)O(1)O(1) Athanasios K. Tsakalidis：维护广义链表中的顺序 Dietz，P.，D. Sleator，两种用于维护列表顺序的算法 Michael A. Bender，Richard Cole，Erik D. Demaine，Martin Farach-Colton和Jack Zito，“维护列表中顺序的两种简化算法” 是否可以在摊销时间内以列表形式维护订单，而无需使用A C 0以外的任何算术运算？O(1)O(1)O(1)AC0AC0AC^0
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函数的eta等效性是否可以与Haskell的seq操作兼容？
引理：假设等式我们有(\x -> ⊥) = ⊥ :: A -> B。 证明：⊥ = (\x -> ⊥ x)通过η等价，并(\x -> ⊥ x) = (\x -> ⊥)通过λ下的减少。 Haskell 2010报告第6.2节seq通过两个方程式指定了该函数： 序列:: a-> b-> b seq⊥b =⊥ seq ab = b，如果a≠⊥ 然后声明“因此，⊥与\ x-> not不同，因为seq可用于区分它们。” 我的问题是，这真的是定义的结果seq吗？ 隐含的说法似乎是seq将不可计算如果seq (\x -> ⊥) b = ⊥。但是我还不能证明这样的seq说法是没有争议的。在我看来，seq这既是单调的，又是连续的，这使它处于可计算的领域。 诸如seq之类的算法可能会通过枚举以starting开头的域来尝试搜索某些x位置f x ≠ ⊥而工作f。尽管这样的实现，即使有可能，一旦我们想要使seq多态成为现实，也会变得非常麻烦。 是否有证据证明不存在可计算seq的是标识(\x …
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将球扔进垃圾箱，估计其概率的下限
尽管看起来像这不是家庭作业。欢迎任何参考。:-) 场景：有nnn 不同的球和不同的容器（从1到，从左到右标记）。每个球都独立均匀地扔进垃圾箱。令为第个分箱中的球数。令表示以下事件。n f （i ）i E innn nnnf(i)f(i)f(i)iiiEiEiE_i 对于每个，Σ ķ ≤ Ĵ ˚F （ķ ） ≤ Ĵ - 1j≤ij≤ij\le i∑k≤jf(k)≤j−1∑k≤jf(k)≤j−1\sum_{k\le j}{f(k)} \le j-1 也就是说，对于每个，前垃圾箱（最左边的垃圾箱）包含的球数少于个。Ĵ Ĵ Ĵ ≤ 我jjjjjjjjjj≤ij≤ij\le i 问题：估计∑i&lt;nPr(Ei)∑i&lt;nPr(Ei)\sum_{i<n}{Pr(E_i)}，用nnn？当nnn变为无穷大时。下限是首选。我认为不存在容易计算的公式。 Pr（En）=0limn→∞Pr(E1)=limn→∞(n−1n)n=1elimn→∞Pr(E1)=limn→∞(n−1n)n=1e\lim\limits_{n\to\infty}{Pr(E_1)}=\lim\limits_{n\to\infty}{(\frac{n-1}{n})^n}=\frac{1}{e}Pr(En)=0Pr(En)=0Pr(E_n)=0 我的猜测：我猜，当n变为无穷大时。我考虑了总和中的前\ ln n个项目。n ln n∑i&lt;nPr(Ei)=lnn∑i&lt;nPr(Ei)=ln⁡n\sum_{i<n}{Pr(E_i)}=\ln nnnnlnnln⁡n\ln n
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随机布尔函数预期最小影响
对于布尔函数，第个变量的影响定义为 其中x ^ {\ oplus i}是通过翻转x的第i位获得的字符串。的影响最小˚F然后\ operatorname {MinInf}苯并[f] \ stackrel {\ RM DEF} {=} \ {min_ I \在[N]} \ {operatorname} Inf文件_i并[f]。f:{−1,1}n→{−1,1}f:{−1,1}n→{−1,1}f\colon\{-1,1\}^n \to \{-1,1\}iiiInfi[f]=defPrx∼{−1,1}n[f(x)≠f(x⊕i)]Infi⁡[f]=defPrx∼{−1,1}n[f(x)≠f(x⊕i)] \operatorname{Inf}_i[f] \stackrel{\rm def}{=} \Pr_{x\sim\{-1,1\}^n}[ f(x) \neq f(x^{\oplus i})] x⊕ix⊕ix^{\oplus i}iiixxxfffMinInf[f]=defmini∈[n]Infi[f].MinInf⁡[f]=defmini∈[n]Infi⁡[f].\operatorname{MinInf}[f] \stackrel{\rm def}{=} \min_{i\in[n]}\operatorname{Inf}_i[f]. 给定的参数p∈[0,1]p∈[0,1]p\in[0,1]，我们选择一个ppp -random函数fff通过对每个的选择其值2n2n2^n输入端独立地随意为111的概率为ppp，和−1−1-1的概率1−p1−p1-p。然后，很容易看到，对于每个i∈[n]i∈[n]i\in[n] Ef[Infi[f]]=2p(1−p)Ef[Infi⁡[f]]=2p(1−p) \mathbb{E}_{f}[\operatorname{Inf}_i[f]] = 2p(1-p) 和一个fortiori In(p)=defEf[MinInf[f]]≤2p(1−p).In(p)=defEf[MinInf⁡[f]]≤2p(1−p). I_n(p) \stackrel{\rm def}{=}\mathbb{E}_{f}[\operatorname{MinInf}[f]] \leq 2p(1-p). 我的问题是： …
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有界树宽电路有哪些优点？
可以说布尔电路的树宽，将其定义为按以下方式获得的导线（顶点）上的“道德化”图的树宽：按以下方式连接导线一种aa和bbb只要bbb是具有一种aa作为输入的门的输出（或反之亦然）; 只要将导线一种aa和bbb用作同一门的输入，就应将它们连接起来。编辑：可以等效地将电路的树宽定义为代表它的图形的树宽；如果我们使用关联性重新组合所有AND和OR门最多具有两个扇入，则根据任一定义的树宽最多相同为333。 至少有一个通常不易解决的问题，但对于有树宽度的布尔电路来说却是易解决的：给定每条输入线设置为0或1（独立于其他输入线）的概率，计算出某个输出门是0或1。这通常是＃P-hard，通过减少例如＃2SAT来实现，但是可以在PTIME中使用结点树算法在树宽假定小于常数的电路上解决。 我的问题是要知道是否存在除概率计算之外的其他问题，这些问题通常很难解决，但对于有边界树宽的电路却是易处理的，或者其复杂度可以描述为电路大小及其树宽的函数。我的问题并非仅针对布尔型情况；我对其他半环上的算术电路也很感兴趣。你有没有看到这样的问题？
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与GF（2）相比，低阶随机多项式的偏向是什么？
ppp≤d≤d\le dbias(p)≜|Prx∈{0,1}n(p(x)=0)−Prx∈{0,1}n(p(x)=1)|&gt;ϵbias(p)≜|Prx∈{0,1}n(p(x)=0)−Prx∈{0,1}n(p(x)=1)|&gt;ϵbias(p) \triangleq |\Pr_{x\in\{0,1\}^n}(p(x)=0)-\Pr_{x\in\{0,1\}^n}(p(x)=1)| \gt \epsilon *当我编写带有度数≤d≤d\le d和n变量的随机多项式时，您可以想到以1/2概率选择的总度数\ le d的每个单项式≤d≤d\le d。 我知道的唯一相关的事情是Schwartz-Zippel的一个变体，该变体声明如果多项式是非恒定的，则其偏差最多为1−21−d1−21−d1-2^{1-d}。因此，对于ϵ=1−21−dϵ=1−21−d\epsilon=1-2^{1-d}，概率为1/2(n1)+…+(nd)1/2(n1)+…+(nd)1/{2^{{n \choose 1}+\ldots+{n \choose d}}}，其中ppp为一个常数。不幸的是，这个ϵϵ\epsilon很大。
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成对独立随机变量的Chernoff型不等式
Chernoff型不等式用于表明，独立随机变量之和与期望值明显偏离的概率在期望值和偏差上呈指数级减小。成对独立随机变量的总和是否存在Chernoff型不等式？换句话说，是否显示以下结果：成对的独立随机变量之和偏离其期望值的概率在期望值和偏差上呈指数级减小？
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切尔诺夫界的扩展
我正在寻找对Chernoff的以下扩展的参考（不是证明，我可以做）。 设是布尔型随机变量，不一定是独立的。相反，对于每个i和仅依赖于{ X j |的每个事件C，可以保证P r （X i = 1 | C ）&lt; p j ≠ i }。X1个，。。，XñX1,..,XnX_1,..,X_nP[R （X一世= 1 |C）&lt; pPr(Xi=1|C)&lt;pPr(X_i=1|C)(1+\lambda)np\right) 提前致谢！
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这个非标准的Azuma不等式的证据是什么？
在Dwork等人的“ 促进和区别性隐私的附录B”中，作者陈述了以下结果，但没有证据，并将其称为Azuma不等式： 让C1,…,CkC1,…,CkC_1, \dots, C_k来实值随机变量，使得对于每一个i∈[k]i∈[k]i \in [k]， Pr[|Ci|≤α]=1Pr[|Ci|≤α]=1\Pr[|C_i| \leq \alpha] = 1 对于每个，我们有。(c1,…,ci−1)∈Supp(C1,…,Ci−1)(c1,…,ci−1)∈Supp(C1,…,Ci−1)(c_1, \dots, c_{i - 1}) \in \text{Supp}(C_1, \dots, C_{i - 1})E[Ci∣C1=c1,…,Ci−1=ci−1]≤βE[Ci∣C1=c1,…,Ci−1=ci−1]≤β\text{E}[C_i \mid C_1 = c_1, \dots, C_{i - 1} = c_{i - 1}] \leq \beta 那么对于每个，我们有。z&gt;0z&gt;0z > 0Pr[∑ki=1Ci&gt;kβ+zk−−√⋅α]≤e−z2/2Pr[∑i=1kCi&gt;kβ+zk⋅α]≤e−z2/2\Pr[\sum_{i = 1}^k C_i > k\beta + z \sqrt{k} \cdot \alpha] …
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计算布隆过滤器的近似人口
给定大小为N位和K个哈希函数的Bloom过滤器，其中设置了过滤器的M位（其中M &lt;= N）。 是否可以估计插入到布隆过滤器中的元素数量？ 简单的例子 我一直在考虑以下示例，假设BF为100位，并设置了5个散列函数，其中设置了10位... 最佳情况：假设哈希函数确实是完美的，并且为X个值的值唯一地映射了一点，那么在设置了10位的情况下，我们可以说仅在BF中插入了2个元素 最坏的情况：假设哈希函数很差，并且始终映射到同一位（彼此之间是唯一的），那么可以说，BF中已插入10个元素 范围似乎是[2,10]，此范围内的大约可能由过滤器的假阳性概率确定-在这一点上，我陷入了困境。
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成对的独立高斯
给定X1,…,XkX1,…,XkX_1,\ldots,X_k（均值为000且方差为 iid高斯111），是否有可能（如何对进行采样m=k2m=k2m=k^2）Y1,…,YmY1,…,YmY_1, \ldots, Y_m使得 YiYiY_i是成对的独立的高斯，均值为000，方差为111。
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