Questions tagged «puzzles»

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网格无单色矩形的着色
更新：所有无单色矩形4色的障碍物集（即可着色和不可着色网格大小之间的NxM“屏障”）现在是已知的。 任何人都愿意尝试5种颜色吗？;） 拉姆西理论引起以下问题。 考虑 ×网格图的着色。只要将四个具有相同颜色的单元格排列为某个矩形的角，就会存在A。例如，如果和具有相同的颜色，则它们将形成单色矩形。同样，和如果用相同的颜色着色，则会形成单色矩形。Ñ 米（0 ，0 ），（0 ，1 ），（1 ，1 ），（1 ，0 ）（2 ，2 ），（2 ，6 ），（3 ，6 ），（3 ，2 ）ķkkñnn米mmmonochromatic rectangle（0 ，0 ），（0 ，1 ），（1 ，1 ），(0,0),(0,1),(1,1),(0,0), (0,1), (1,1),（1 ，0 ）(1,0)(1,0)（2 ，2 ），（2 ，6 ），（3 ，6 ），(2,2),(2,6),(3,6),(2,2), (2,6), (3,6),（3 ，2 ）(3,2)(3,2) 问题：是否存在不包含单色矩形的 x网格图的色？如果是这样，请提供明确的颜色。17 17444171717171717 一些已知事实： 161616 ×是色的，没有单色矩形，但是已知的着色方案似乎没有扩展到 ×情况。（我省略了已知的 …
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存储数独谜题所需的最少位数是多少？
注意：这是关于标准的9x9数独谜题的。该解决方案只需支持已解决的法律难题。因此，解决方案不需要支持空单元格，而可以依赖于已解决的数独难题的属性。 我想知道，但是我想不出一个我满意的答案。天真的解决方案将为每个单元（81个单元）使用一个字节，共648位。更复杂的解决方案是将整个数独谜题存储在以9为底的数字（每个单元格一位）中，并要求位。⌈ 日志2（981））⌉ = 257⌈log2⁡(981))⌉=257\lceil\log_2(9^{81}))\rceil = 257 但是它仍然可以改进，例如，如果您知道3x3子网格中9个数字中的8个，则可以轻松推论第9个数字。您可以将这些想法继续下去，直到这个问题归结为：独有的数独解决方案的数量是多少？现在，您可以使用一个巨大的查找表，该表将每个二进制数映射到一个数独难题，但这将不是一个可用的解决方案。 所以，我的问题是： 在不使用查找表的情况下，存储数独谜题所需的最小位数是多少？使用哪种算法？
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无限序列的有界输入双射
这是我没有解决的难题。我想知道这个问题是否已经知道，或者有一个简单的解决方案。 它可以定义一个双射使用bicartesian封闭类别的属性。安德烈·鲍尔（Andrej Bauer）在他的博客上以“ 建设性的宝石：杂耍指数 ”的形式发布了对此含义的解释。3ñ≅5ñ3N≅5N 3^\mathbb{N} \cong 5^\mathbb{N} 这个双射有一个有趣的特性：它是“有界输入”，意味着输出的每个组成部分仅取决于输入的有很多组成部分。然而，对于似乎这种结构只能说明ķ Ñ和升Ñ是同构的，如果ķ和升都是奇数或都是偶数。这留下了一个问题：ķ ，升≥ 2k,l≥2k,l\geq 2ķñkN k^\mathbb{N} 升ñlN l^\mathbb{N} ķkklll 是否有到3 N的有界输入双射？2N2N 2^\mathbb{N} 3N3N 3^\mathbb{N} 以下是简短描述问题的简短注释： 关于无限序列的有界输入双射的一个猜想。 定义： 函数是有界的输入，如果存在一个整数ķ 使得输出的每个分量˚F至多仅取决于ķ 输入的组件。更正式地，˚F是有界的输入，如果为每个索引Ĵ ∈ Ĵ 有索引我1，⋯ ，我ķ ∈ 我 和一个函数˚F 米：Xf:∏i∈IXi→∏j∈JYjf:∏i∈IXi→∏j∈JYjf : \prod_{i \in I} X_i \rightarrow \prod_{j\in J} Y_j kkkfffkkkfffj∈Jj∈Jj \in Ji1,⋯,ik∈Ii1,⋯,ik∈Ii_1,\dotsb,i_k \in I …
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解决魔方的运动所需的移动数量是否有局部最大值？
彼得·索尔（Peter Shor）提出了一个有趣的观点，试图回答一个较早的问题，即解决 Rubiks立方体的复杂性。我发布了一个相当幼稚的尝试，以表明它必须包含在NP中。正如彼得指出的那样，我的方法在某些情况下是失败的。这种情况的一种可能情况是，路径长度中存在局部最大值。我的意思是说，可能需要S A动作才能从配置A以及S A或S A A求解立方体。现在，如果S A不一定是这样的问题n × n × nñ×ñ×ñn \times n \times n小号一种小号一种S_A一种一种A小号一种小号一种S_A移动到解决由能在一个从移动到达的任何位置的立方体小号一种− 1小号一种-1个S_A - 1一种一种A小号一种小号一种S_A是解决一般立方体所需的最大移动次数（该立方体的上帝编号），，但如果严格小于该立方体的上帝编号，则肯定是一个问题。所以我的问题是这样的局部最大值是否存在？我什至对3 × 3 × 3立方体的答案也很感兴趣。小号一种小号一种S_A3 × 3 × 33×3×33 \times 3 \times 3
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图的构造，其中每对顶点都有一个唯一的公共邻居
令是n个顶点（n > 3 ）上没有顶点n - 1的简单图形。假设对于G的任意两个顶点，在两个顶点附近都有一个唯一的顶点。这是范林特和威尔逊的《组合课程》的一项练习，目的是证明这种图是规则的。GGGññn（n > 3 ）（ñ>3）(n > 3)n − 1ñ-1个n − 1GGG 我的问题是，是否存在满足给定约束的图。在解决问题的过程中讨论原始练习时，有人问我们是否可以举一个图形示例，其中每对顶点都有一个唯一的公共邻居，而没有全局顶点。我们既无法提出具体的示例或构造步骤，也无法建立证明没有图形具有这些特性的证据。 有什么建议么？ 注意：关于证明这样的图是规则的，事实证明它很简单，粗略的想法是使用唯一公共邻居准则将每对顶点的邻居配对，以建立每对顶点的邻居对的事实。顶点具有相同的度数，然后在无全局顶点约束的帮助下，传递性参数使我们认为该图是规则的。
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解决跳数迷宫
我8岁的孩子已经厌倦了创建常规迷宫的工作，并开始创建如下所示的变体： 这个想法是从x开始并通过常规规则到达o。另外，您可以从任何整数跳到任何其他整数b，但是您必须支付| a − b | 美元的特权。目标是以最低的成本解决迷宫问题。在上面的示例中，我们可以以成本5通过x-14-18-27-28-o从x转到o，但仅花费x-13-11-9-8-29-28-o便宜4。一种aabbb| a−b ||a−b||a-b| 所以这是我的问题：解决该问题的最佳解决方案（就渐近运行时间而言）是什么？您可以对输入格式做出任何合理的假设。 注意：我在这里使用“ puzzles”标签是因为我想到的是答案，但是我不确定它是否是最佳选择，并且想看看是否有人可以改善我的解决方案。（这里n是迷宫中的整数数。）Ø （ñ2）O(n2)O(n^2)ñnn
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切割棒拼图
问题：我们得到了一组长度均为整数的棒。它们的长度的总和为n（n + 1）/ 2。 我们能否将它们分解以在多项式时间内得到大小为的小棒？ 1,2,…,n1,2,…,n{1,2,\ldots,n} 出乎意料的是，我找到的关于这个问题的唯一参考文献是这个古老的讨论： http://www.iwriteiam.nl/cutsticks.html 对这个问题还有什么了解？我们可以证明问题出在“边缘”吗？ 更新：切割棒问题有一个约束，即每个切割棒的长度至少为单位。（对于无限制的情况，请参阅评论和Tsuyoshi的回答）。nnn
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半填充幻方问题NP是否完全？
这是问题所在： 在某些单元格中，我们有一个正方形，上面有一些来自1..N的数字。需要确定它是否可以完成到魔方。 例子： 2 _ 6 2 7 6 _ 5 1 >>> 9 5 1 4 3 _ 4 3 8 7 _ _ 9 _ _ >>> NO SOLUTION 8 _ _ 这个问题NP是否完整？如果可以，我如何证明？ MS上的Crosspost
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数独数独难题有多难？
数独是一个众所周知的拼图游戏，它是NP完全的。二进制数独是仅允许数字和的变体。规则如下。000111 每行和每一列必须包含相等数量的零和一。 每行和每列都是唯一的。 没有行或列包含零或连续三元组（是连续的的三元组）。1111111 1 1 输入是一个正方形，部分填充有零和一。为了解决这个难题，在遵守上述规则的同时， ×平方中的每个像元必须用或填充。我无法找到任何难解的结果来解决“二进制数独”难题。N × N 0 1N×NN×NN \times NN×NN×NN \times N000111 解决数独数独难题有多难？NP完全吗？ 另外，我对相关问题的复杂性感兴趣。 给定一个完全遵守上述规则1和2的 ×平方，N×NN×NN \times N 找到行和列的排列以使结果平方符合规则3有多难？
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（可能是简洁的）Nurikabe的复杂性是什么？
Nurikabe是一个基于约束的网格填充难题，与Minesweeper / Nonograms大致相似；将数字放置在网格上，该网格将为每个像元填充开/关值，每个数字指示该大小的已连接“上”像元的区域，并对“关闭”像元的区域（必须连接并且不能包含任何连续的2x2区域）。Wikipedia页面具有更明确的规则和示例难题。 通常，这类难题往往是NP完全的，Nurikabe也不例外。之所以将它们归类为NP，是因为解决方案本身是该问题的（多项式可验证的）见证。但是，与大多数类似的难题不同，Nurikabe实例可能很简洁：网格上的数独要求给定值是可解的（如果提供的给定值少于，那么就无法区分缺失的值符号），非图显然需要为每一行或每一列至少提供一个给定值，并且Minesweeper必须在至少以上的单元格中具有给定值，否则将不存在给定的单元格（因此无法确定其状态）。但是，尽管Nurikabe难题的存在必须总结为n×nn×nn\times nΘ(n)Θ(n)\Theta(n)n−1n−1n-11161161\over16Θ(n2)Θ(n2)\Theta(n^2)，可能有每个大小，因此位可能足以指定大小为的Nurikabe拼图-或取反，位可能足以指定一个大小为Nurikabe的Nurikabe实例，这意味着唯一的保证是问题出在NEXP上。O(1)O(1)\mathrm{O}(1)Θ(log(n))Θ(log⁡(n))\Theta(\log(n))nnnkkkkkk 不幸的是，我发现Nurikabe硬度的证明都使用了给定大小的构造，因此它们的实例是网格大小的多项式，而不是对数，因此我不能排除所有可解的问题。 “简洁”的Nurikabe拼图具有其他结构，因此解决方案的描述和验证同样简洁。例如，我知道的一个例子中有2个给定大小的谜题，会导致打开和关闭单元格的区域，每个区域都是Θ(n2)Θ(n2)\Theta(n^2)Θ(n2)Θ(n2)\Theta(n^2)O(1)O(1)\mathrm{O}(1)矩形等，因此对它们的描述很简洁。有没有人知道除了基本的NP完整性结果之外，还针对此难题进行的其他研究，尤其是对于可能简洁的案例的进一步复杂性结果吗？ （注意：这最初是在math.SE上提出的，但目前还没有任何答案，这似乎是该网站的适当研究水平）
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互动式的上帝数字证明？
我最近一直在学习交互式证明，并且一直想知道整个事情是否只是理论上的好奇心，或者它是否有实际用途。我以为我会从淋浴中发生的一个例子开始： 最近有消息说“上帝的数目” = 20。（上帝的数目是解决魔方的最少步骤。）尽管这很有趣，但似乎有些曲折……这在教科书中不是多项式时间可验证的“正常”证明。该证明具有明显的“蛮力”味道-我的意思是，莫雷博士实验室的帅哥试图在Google大型超级计算机中数十亿个多维数据集的组合中尝试找到这个整齐，严密的下限。 无论如何，问题是：我们如何确定Morley Davidson博士及其团队是诚实的？好吧，因为它在数学上并不严格，所以可以立即将权威人士的论据从窗口中排除。显而易见的替代方案是通过检查源代码并再次运行整个过程来重新验证证明，这似乎是对计算资源的严重浪费，更不用说每个希望对此深信不疑的人都会这样做。需要在自己的工作站上进行操作-对于真正的怀疑论者而言，这是一个非常乏味且令人不愉快的主张。因此，这似乎是一种本体论的deilema。 所以我认为这正是我们需要交互式证明的情况。Google的超级计算机可能是功能强大但具有欺骗性的Prover，而我们怀疑的，甚至不是肛门的公众人士都是Polynomially限制的验证者。如果我们能以某种方式多次查询“ Oracle”，并确信这个下限，那么我们可以确信，他是正确的事实，这是毫无疑问的。 因此，似乎决策问题“上帝的号是<20”在于或可阐明如下（非正式）Πp2Π2p\Pi_2^p 对于魔方中的所有初始组合，存在一个步长<= 20的解决方案，β可以解决该问题。αα\alphaββ\beta （不确定这是否正确，但是和β的大小都很小，给定一个初始配置和一个解决方案，可以很容易地验证它确实可以解决该多维数据集）αα\alphaββ\beta 决策问题“神的个数是20”可以重述为 上帝的数字小于20 ，存在一个解决方案，可以解决魔方的一些初始组合，需要20步。 因此，可能有IP [n]证明。（再次，检查我的工作情况） 我的问题是双重的 有实际的方法吗？ 还有其他一些交互式证明“实际”使用的例子吗？
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隐藏在方格上的多边形拼图的复杂性？
广物 是一个受欢迎的NPNPNP拼图。我对相关难题的计算复杂性感兴趣。 问题是： 输入：在nnn x nnn正方形网格上给定一组点，整数kkk 问题：是否存在直线多边形（其边平行于x轴xxx或yyy轴），使得多边形角上的点数至少为kkk？ 多边形的每个角都必须在输入点之一处（因此只能在输入点处弯曲）。 这个问题的复杂性是什么？如果解决方案仅限于凸直线多边形，那么复杂度是多少？ 编辑4月13日：替代公式：查找在给定点上具有最大拐角的直线多边形。
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限制星图之间的边数，以使图为平面
我有一个仅由星形图组成的图星形图由一个中心节点组成，该中心节点具有到其中每个其他节点的边。令为存在于的不同大小的不同星形图。我们称所有星图为中心的所有节点的集合。GGGH1个，H2，… ，HñH1,H2,…,HnH_1, H_2, \ldots, H_nGGG[RRR 现在，假设这些星形图正在建立其他星形图的边缘，使得任何节点之间都没有边缘入射。然后，有多少边缘在节点之间存在最大，哪些不是在节点，如果图应保持平面？[RRR[RRR[RRR 我想要这样的边缘数量的上限。一上限，我已经记：考虑它们作为二分平面图，其中是一组顶点的休息的顶点形成另一组。我们对这些集合（和）之间的边缘感兴趣。由于它是平面二分体，因此此类边的数量以中节点数的两倍为界。[RRR一个AARRRAAAGGG 我的感觉是有一个更好的界限，可能是节点的两倍加上中节点的数量。AAARRR 如果您可以反驳我的直觉，那也很好。希望你们中的一些人能提出一些相关的论点。
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