理论计算机科学

理论计算机科学家和相关领域的研究人员的问答

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就布尔函数的敏感度而言，其上界
在布尔函数的复杂性度量研究中，一个非常有趣的开放问题是所谓的灵敏度vs块灵敏度猜想。有关灵敏度和块灵敏度的背景知识，请参见 S. Aaronson的以下博客文章，网址为http://www.scottaaronson.com/blog/?p=453。 据我所知，就而言，上已知的最佳上限是。[凯尼恩，Kutin纸]但是，当然也许是更方便的涉及到的其他一些复杂性度量发言权，度作为多项式超过，即，尺寸最高的傅立叶系数。s （f ）b s （f ）= O （e s （f ）√b 小号（˚F）bs(f)bs(f)小号（˚F）s(f)s(f)s（f）f度（f）fRb 小号（˚F）= O （e小号（˚F）小号（˚F）----√）bs(f)=O(es(f)s(f))bs(f)=O(e^{s(f)}\sqrt{s(f)})小号（˚F）s(f)s(f)Fff度（f）deg⁡(f)\deg(f)Fff[RR\mathbb{R} 问题是，就而言，在上已知的最佳上限是多少？s （f ）度（f）deg⁡(f)\deg(f)小号（˚F）s(f)s(f)
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噪声奇偶校验（LWE）下限/硬度结果
一些背景： 我有兴趣为错误学习（LWE）问题找到“鲜为人知”的下界（或硬度结果），以及诸如环上错误学习之类的概括。对于特定的定义等，这是Regev进行的一次不错的调查：http : //www.cims.nyu.edu/~regev/papers/lwesurvey.pdf （R）LWE型假设的标准类型是通过（可能是量子）归约到（可能是理想）晶格上的最短向量问题。已知SVP的通常公式是NP难的，并且相信很难近似到小的多项式因数。（相关：很难将CVP近似到/ most-polynomial /因数内：http : //dl.acm.org/citation.cfm?id=1005180.1005182）我也听说它提到了（关于量子算法）将某些晶格问题（如SVP）近似为较小的多项式近似因子与非阿贝尔隐藏子组问题（由于其自身的原因而被认为很难）有关，尽管我从未见过明确的正式来源。 但是，我对来自学习理论的“噪声奇偶性”问题导致的硬度结果（任何类型）更感兴趣。这些可能是复杂度级别的硬度结果，具体的算法下限，样本复杂度界限，甚至是证明尺寸下限（例如，分辨率）。众所周知（也许很明显），LWE可以看作是“噪声奇偶性/学习奇偶性与噪声”（LPN）问题的推广，（从谷歌搜索中发现）似乎已用于降低编码理论和PAC等领域的硬度学习。 通过环顾四周，我仅发现（轻微次指数）LPN问题的上界，例如http://www.di.ens.fr/~lyubash/papers/parityproblem.pdf 题： 我知道LPN在学习社区中是最受信赖的。我的问题是：为什么？ 是因为每个人都非常努力，但是还没有人找到好的算法吗？上面的斜体字样（或我遗漏的其他字词）是否存在已知的下界？ 如果答案很明确，那么对已知内容和/或对调查/讲义的引用进行简要总结将是很好的。 如果未知数太多，那么“最新技术”的论文越多越好。:)（提前感谢！）
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不正确的平面与单色成分大小着色
让我们稍微放松一下着色，就是说，我们允许少量的相邻顶点被分配相同的颜色。单色分量定义为子图中由一组接收相同颜色的顶点所诱导的连接分量，问题是要求给图形着色所需的最小颜色数，以便最大的单色分量具有大小不超过ç。λλ\lambdaCCC 在这种情况下，传统的着色可以视为着色。因此，对于平面图来说，找到最小的λ是NP-难的。 [λ,1][λ,1][\lambda,1]λλ\lambda 我的问题是，如何 -coloring平面图的[λ,2][λ,2][\lambda,2]，或更一般地， -coloring为c ^ ≥ 2？[λ,C][λ,C][\lambda,C]C≥2C≥2C \geq 2 这可以看作是Edwards和Farr研究的双重问题，其中是固定的，要求人们找出C的最小大小。λλ\lambdaCCC
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哥德尔不完备定理与教会转向论的关系
这可能是一个幼稚的问题，但这是可行的。（编辑-它没有得到支持，但也没有人提供答复；也许这个问题比我想象的更困难，晦涩或不清楚？） 哥德尔的第一个不完全性定理可以证明是停顿问题的不确定性的推论（例如Sipser Ch。6；Scott Aaronson的博客文章）。 从我的理解（通过评论确认），这个证明并不能依赖于教会图灵论题。通过证明在一个完整且一致的正式系统中，图灵机可以解决暂停问题，我们得出了一个矛盾。（另一方面，如果我们仅表明某些有效的程序可以确定停止问题，则我们还需要假设“ Church-Turing”论点来得出矛盾。） 因此，我们可以说这个结果为Church-Turing论文提供了一些直观的支持，因为它表明Turing Machines的局限性意味着普遍的局限性。（Aaronson的博客文章当然支持此观点。） 我的问题是，我们是否可以通过反过头来获得更具体的东西：哥德尔定理对Church-Turing论文有什么形式上的暗示？例如，从直观上看，第一不完全性定理似乎暗示着没有有效的程序可以确定任意图灵机是否停止；可能会推理出这样一个过程的存在暗示了构建完整的一致理论的能力。这个对吗？这些方面是否有结果？ωω\omega （我出于好奇而问-我自己不学习逻辑-因此，我很抱歉这是众所周知的还是研究水平的。在这种情况下，请将其视为参考要求！感谢您的任何评论或回复！） 听起来相关但不相关的问题：丘奇定理和哥德尔不完备定理 编辑：我将尝试使问题更清楚！首先-我的天真直觉是，哥德尔的不完全性至少暗示着对可计算或不可计算的某些限制。这些限制将是无条件的，即，它们应适用于所有计算模型，而不仅仅是图灵机。 所以我想知道是否是这种情况（肯定有暗示，对吧？）。假设是这样，我最好奇它是如何影响Church-Turing论文的，即Turing Machine可以计算出任何可有效计算的概念。例如，似乎存在一种确定图灵机是否暂停的有效程序会与第一不完全性定理相矛盾。这一结果表明，没有一种可能的计算方法可以比图灵机更“强大”。但是这个结果是真的吗？我在评论中有几个类似的问题。我会对听到这些问题之一的答案，文献中的答案的指针，为什么我的整个推理都偏离基础的解释或任何其他评论感到非常感兴趣！
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向日葵系统的最新技术
我对向日葵系统及其在计算机科学中的应用很感兴趣。 给定一个宇宙和个集合的集合如果所有，则称为k向日葵系统。而被称为核心，被称为花瓣。 UUUkkkAiAiA_iAi∩Aj=YAi∩Aj=YA_i \cap A_j = Y i≠ji≠ji \neq jYYYAi−YAi−YA_i - Y 集的族称为统一，它包含的所有集都具有元素。FFFssssss 鄂尔多斯和拉多证明，对于|统一集合，如果，则必须包含向日葵系统花瓣。sssFFFFFFkkk|F|>s!(k−1)s|F|>s!(k−1)s|F| > s!(k-1)^s 该结果称为向日葵引理，并具有许多重要的应用。 鄂尔多斯猜想每，存在一个常数 c k，因此每个 s均匀族 F的上限应该为 c s k。（向日葵的猜想）kkkckckc_kcskcksc_k^ssssFFF 不幸的是，这个猜想对于仍然是开放的。k=3k=3k=3 这是我想知道的。 如果我们限制在宇宙中元素的个数 .Suppose | U | = ü。然后问题出在：UUU|U||U||U|uuu 考虑到与宇宙元素，Ş -uniform家庭˚F含有的元素集合ü，我们应该可以找到常量的序列c ^ 1，c ^ 2，ç 3，......这样每Š -uniform家庭˚F包含3-向日葵系统，如果| F | > Ç š 我和| U | …
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MSO属性，平面图和次要自由图
Courcelle定理指出，可以在有界树宽图上的线性时间内确定在二元二阶逻辑中定义的每个图属性。这是最著名的算法元定理之一。 在库尔切勒定理的推动下，我提出了以下猜想： 猜想：令为任何MSO可定义的属性。如果ψ在平面图的多项式时间内是可解的，则ψ在所有类别的次要自由图上都可以在多项式中可解。ψψ\psiψψ\psiψψ\psi 我想知道上述猜想是否显然是错误的，即，是否有MSO可定义的属性在平面图上可以多项式时间求解，但在某些次要自由图上却是NP-hard？ 这是我先前提出问题的动机：在g属图上是否存在多项式可解但在g>属图上为NP-hard的问题。
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计算问题的冗余和结构
人们普遍认为，诸如图同构之类的一些计算问题不能做到NP完全，因为它没有足够的结构或冗余性以致于难以进行计算（NP-hard）。我对计算问题和冗余度量结构的不同形式概念感兴趣。 这种关于计算问题的形式概念的主要结果是什么？最近对此类概念进行的调查非常好。 编辑：发表在MathOverflow
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计算避免某些特征的网格着色
甲 -coloring的米× Ñ网格kkkm×nm×nm \times n是一个函数。甲破矩形在Ç是一个元组（我，我'，Ĵ ，Ĵ '）满足Ç （我，Ĵ ）= c ^ （我'，Ĵ ）= c ^ （C:[m]×[n]→[k]C:[m]×[n]→[k]C:[m] \times [n] \to [k]CCC(i,i′,j,j′)(i,i′,j,j′)(i,i',j,j') -也就是说，矩形的三个角正好是相同的颜色。C(i,j)=C(i′,j)=C(i,j′)≠C(i′,j′)C(i,j)=C(i′,j)=C(i,j′)≠C(i′,j′)C(i,j) = C(i',j) = C(i,j') \ne C(i',j') 我对以下问题感兴趣： 作为的函数，存在多少种k色（对于任何大小的网格）可以避免重复的行，重复的列和矩形的折断？kkkkkk 到目前为止，我知道答案是有限的，我可以证明的最佳上限是（请参见下文）。k(1.5k!)2k(1.5k!)2k^{(1.5 k!)^2} 我还要指出的是，这个问题与Gasarch在他的博客（和本文）中经常提到的问题不同。他想避免所有单色矩形，而我不介意单色矩形，这只是我要避免的“破碎”矩形。 动机是什么？在密码学中，我们考虑Alice（谁拥有）和Bob（谁拥有y）的问题，他们都为一个商定函数f学习了f （x ，y ），以使他们学习不超过f （x ，y ）。您可以自然地将f与二维表关联，因此可以关联网格着色。具有以下形式（但使用不同的表示法）的此类问题的特征：“ f仅当fxxxyyyf(x,y)f(x,y)f(x,y)ffff(x,y)f(x,y)f(x,y)fffffffff包含一个断开的矩形。”例如，请参见Kilian91和BeimelMalkinMicali99。 因此，在我正在研究的某些加密技术中出现了这个问题。就我的目的而言，只要知道有限数量的网格颜色就可以避免折断矩形和重复的行/列，就足够了。但是我认为组合问题本身很有趣，我认为应该有更好的界限。 最好结合我可以证明：定义和- [R （ķ ）= ķ ⋅ - [R （ķ …
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如何生成具有已知最佳顶点覆盖的图形
我正在寻找一种生成图的方法，以便知道最佳的顶点覆盖率。节点或边的数量没有限制，只有图形已完全连接。 想法是生成一个不容易找到最佳顶点覆盖的图形，以便能够测试其上的不同启发式方法 我发现了论文《Arthur，J.＆Frendeway，J.用已知的最优行程生成旅行商问题》，《运筹学学会杂志》，第1卷。39，第2号（1988年2月），第153-159页，用于生成具有已知最优值的TSP，可惜我无法访问它。 有已知的算法吗？
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发现，在至少物品
考虑个值集（表示为无重复且具有已知大小的排序数组（即，大小可以在O（1）中获得）。可以在O（1）时间内测试值的相等性。以获得中至少不同集合中存在的一组值。ķ Ññnnķkkñnn 显而易见的算法是遍历所有集合，对每个值的出现次数进行计数，然后返回计数值大于。但是，在某些情况下，您可以做得更好：例如，当且一个集合比另一个集合小得多时，查看所有项并执行二进制搜索会更有效。对于每个对象：二进制搜索方法的成本为而朴素的方法的成本为，当时更糟。n = k = 2 S 1 S 2 S 1 S 2 O （| S 1 | log （| S 2 |））O （| S 1 | + | S 2 |）| S 1 | < < | S 2 |ķkkn = k = 2n=k=2n = k = …
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