理论计算机科学

理论计算机科学家和相关领域的研究人员的问答

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拉德纳定理与舍费尔定理
在阅读文章“在计算复杂性时是否该宣布胜利？” 在“ Godel的遗失信和P = NP”博客中，他们提到了CSP的二分法。经过一些链接，谷歌搜索和维基百科之后，我遇到了拉德纳定理： 拉德纳定理： 如果，则 N P ∖ P中存在不是N P-完全的问题。P≠NPP≠NP{\bf P} \ne {\bf NP}NP∖PNP∖P{\bf NP} \setminus {\bf P}NPNP{\bf NP} 并根据舍弗定理： Schaefer的二分法定理：对于每一个约束语言Γ在{ 0 ，1 }，如果Γ是谢弗然后Ç 小号P（Γ ）是多项式时间可解的。否则，Ç 小号P（Γ ）是Ñ P -complete。 Γ Γ\ \Gamma {0,1}{0,1}\{0, 1\} Γ Γ\ \Gamma CSP(Γ)CSP(Γ){\bf CSP}(\Gamma)CSP(Γ)CSP(Γ){\bf CSP}(\Gamma)NPNP{\bf NP} 我读这句话的意思是，对于Ladner而言，存在的问题既不是也不是N P-完全的，但是对于Schaefer而言，问题仅仅是P和N P-完全的。PP{\bf P}NPNP{\bf NP}PP{\bf P}NPNP{\bf …
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经典定理的量子证明
我对一些问题的例子感兴趣，在这些问题中，似乎与量子力学/信息无关的定理（例如，关于纯经典物体的某些陈述）可以使用量子工具来证明。古典定理的量子证明调查（A. Drucker，R。Wolf）给出了此类问题的很好的清单，但是肯定还有很多。 与真实和复杂的分析类似，其中不仅可以进行量子证明而且还可以进行“更多照明”的示例尤其令人感兴趣，其中将实际问题置于复杂的环境中通常会使问题更加自然（例如，几何形状更简单，因为被代数封闭等）; 换句话说，量子世界是其“自然栖息地”的古典问题。CC\mathbb{C} （我并不是在这里以任何精确的意义来定义“量子性”，而且有人可能会争辩说所有这样的论点最终都可以归结为线性代数；嗯，人们还可以使用复数来转换任何论点以仅使用实数对，但是那又是什么呢？ ？）
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Shor的因式分解算法帮助
我在完全了解Shor分解因数算法的最后步骤时遇到了一些麻烦。 给定我们要分解的，我们选择一个随机x，其阶数为r。ñNNXxxrrr 第一步涉及设置寄存器并应用Hadamard运算符。第二步，应用线性算子。第三步，测量第二个寄存器（我相信可以稍后执行此步骤）。第四步，将离散傅里叶变换应用于第一寄存器。然后我们测量第一个寄存器。 这是我有点朦胧的地方： 我们得到的形式测量。∣j,xkmodN⟩∣j,xkmodN⟩\mid j , x^k \textrm{mod} N \rangle 由此我们可以找到分数j的收敛，收敛是阶r的可能值。在这里，我们是否只是尝试所有&lt;N的收敛子，如果没有找到r作为收敛子之一，是否要重新开始？j2qj2q \frac{j}{2^q} rr r &lt;N&lt;N < N rr r 另外，可能值的概率有何不同？他们以我的方式认为它们应该都具有相同的概率，但是Shor的论文说不是这样吗？jj j 只是有些困惑，因为有些报纸似乎在说不同的话。 谢谢。
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我梦见一个数据结构，它存在吗？
我没有找到这种数据结构，但是我不是该领域的专家。 该结构实现了一个集合，并且基本上是具有不变性的可比较元素的数组。不变式如下（递归定义）： 长度为1的数组是合并数组。 长度为2 ^ n（对于n&gt; 0）的数组是一个合并数组iff： 前半部分是合并数组，后半部分为空或 第一个数组已满并已排序，第二个数组是合并数组。 请注意，如果数组已满，则会对其进行排序。 要插入一个元素，我们有两种情况： 如果前半部分未满，请递归插入前半部分。 如果前半部分已满，则在后半部分中递归插入。 递归步骤后，如果整个数组已满，请合并两半（已排序），然后将其大小调整为其原始长度的两倍。 要查找元素，请在数组已满时使用二进制搜索将两半递归。（这应该是有效的，因为最多有上升的片段）。O(log(n))O(log⁡(n))O(\log(n)) 该结构可以认为是mergesort的静态版本。 目前尚不清楚应该删除元素的方法。 编辑：提高我对结构的理解之后。
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就地应用置换的复杂性
令我惊讶的是，我找不到关于此的论文-可能是搜索了错误的关键字。 因此，我们得到了一个数组，其中每个函数都有一个索引；f是一个排列。FffFff 我们如何根据对数组进行重新排序，使其内存和运行时间尽可能接近O （1 ）和O （n ）？FffO （1 ）O(1)O(1)O （n ）O(n)O(n) 当此任务变得更容易时，是否还有其他条件？例如，当我们明确知道一个函数是f的逆时？GggFff 我知道一种算法，该算法遵循循环并为每个索引遍历一个循环以检查它是否在其循环中最小，但是同样，它具有最坏情况下的运行时间，尽管平均而言它似乎表现更好。 ..Ø （ñ2）O(n2)O(n^2)
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可以使您确信这是公平的彩票
（很抱歉，这是众所周知的。）我想给代理之一提供一些商品，以便代理以概率获得该商品。是否有一个加密（或其他）工具，以便每个代理人（甚至每个观察者）都可以确信随机抽取确实是公平的？kkkjjjpipip_i
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良好的代码可以被线性电路解码？
我正在寻找以下类型的错误纠正代码： 恒定速率的二进制代码 可通过实现为大小为的布尔电路的解码器从一定常数的误差中解码，其中是编码长度。NO(N)O(N)O(N)ñNN 一些背景： Spielman用线性时间可编码和可解码的纠错码在对数成本RAM模型中给出了可在时间内解码的代码，也可通过尺寸的电路进行解码。O （N log N ）ø （Ñ）O(N)O(N)ø （Ñ日志ñ）O(Nlog⁡N)O(N \log N) Guruswami和Indyk在线性时间可编码/可解码代码中以近乎最佳的速率进行了改进。尽管我相信它也是，但他们没有分析产生的电路复杂度。Θ （N日志ñ）Θ(Nlog⁡N)\Theta(N \log N) 提前致谢！
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确定矩阵的内核是否包含所有非零向量，且其所有项均为-1、0或1
给定一个 ×二进制矩阵（项为或），问题在于确定是否存在两个二进制向量，使得（所有操作都在）。NP这个问题难吗？n M 0 1 v 1 ≠ v 2 M v 1 = M v 2 Z米mmñnn中号MM0001个11v1个≠ v2v1≠v2v_1 \ne v_2中号v1个= Mv2Mv1=Mv2Mv_1 = Mv_2žZ\mathbb{Z} 很明显，在NP中，您可以提供两个向量作为见证。 等效地：给定，是否有一个非零向量使得？v ∈ { - 1 ，0 ，1 } Ñ中号v = 0中号MMv ∈ { - 1 ，0 ，1 }ñv∈{−1,0,1}nv\in \{-1,0,1\}^n中号v = 0Mv=0Mv=0 等效地：在给定向量，有两个不同的子集使得？X = { X …
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Karger-Stein分支扩增的其他应用？
我刚在我的研究生算法课上教过Karger-Stein随机mincut算法。这是一个真正的算法瑰宝，所以我不能教它，但是它总是让我感到沮丧，因为我不知道主要技术的任何其他应用。（因此，很难分配功课来将重点带回家。） Karger和Stein算法是对Karger早期算法的改进，该算法迭代收缩随机边缘，直到图形只有两个顶点为止。这个简单的算法以时间运行，并以概率Ω （1 / n 2）返回最小割，其中n是输入图中顶点的数量。改进的“递归收缩算法”迭代收缩随机边缘，直到顶点数量从n降至n / √Ø （ñ2）O(n2)O(n^2)Ω （1 / n2）Ω(1/n2)\Omega(1/n^2)ñnnñnn，在剩余图上递归调用两次，然后返回两个结果割中较小的一个。改进算法的直接实现以O（n2logn）时间运行，并以概率Ω（1/logn）返回最小割。（这些算法有更有效的实现，以及更好的随机算法。）n / 2–√n/2n/\sqrt{2}Ø （ñ2日志n ）O(n2log⁡n)O(n^2\log n)Ω （1 /对数n ）Ω(1/log⁡n)\Omega(1/\log n) 还有哪些其他随机算法使用类似的分支扩增技术？我在那个例子特别感兴趣，没有（明显）涉及图切割。
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具有有效量子解的NP中间问题
Peter Shor 表明，BQP中存在两个最重要的NP中间问题，即分解和离散对数问题。相反，最著名的SAT量子算法（Grover搜索）仅比经典算法产生了二次改进，这表明NP完全问题在量子计算机上仍然是棘手的。正如Arora和Barak所指出的那样，BQP中也存在一个问题，而该问题在NP中并不为人所知，这导致了这两个类无法比拟的猜测。 关于为什么这些NP中间问题存在于BQP中，是否有任何知识/猜想，但是为什么SAT（据我们所知）却没有？其他NP中间问题是否也遵循这种趋势？特别是BQP中的图同构吗？（这个人Google不好用）。
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拓扑属性的复杂性。
我是一名计算机科学家，上了一门拓扑学课程（点状拓扑结构的丰富点，并充斥着连续论）。我对测试拓扑（通过简单形式）的空间描述的决策问题感兴趣；保留到同胚的那些。 例如，已知确定结的属在PSPACE中并且是NP-Hard。（Agol 2006； Hass，Lagarias，Pippenger 1999） 其他结果有更多更普遍的感觉：AA马尔可夫（儿子的马氏）于1958年发现，测试两个空间在尺寸同胚或更高是不可判定（通过展示4流形不可判定）。不幸的是，最后一个例子并不是我所提问题的完美范例，因为它处理同胚问题本身，而不是同胚状态下保留的属性。555 “低维拓扑”似乎有大量工作：结和图论。我绝对对低维拓扑的结果感兴趣，但对广义结果更感兴趣（这些情况很少见）。 我对平均是NP-Hard的问题最感兴趣，但是我鼓励列出不为人知的问题。 关于拓扑属性的计算复杂度，已知什么结果？
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您如何获得TCS结果的“物理直觉”？
如果这个问题有点模糊，我感到很抱歉，但是我很好奇，成功的研究人员如何对TCS的结果感到“满意”。 例如，线性代数可以用几何学的方式来理解，或者可以用它的物理解释来理解（本征向量可以被认为是系统中的“稳定点”），等等。直观地，对于TQBF存在一个IP协议（作为IP可以将协议可视化为计算能力大大不同的两个实体之间的一种“游戏”。但是，我发现很多结果，即使是TCS中非常基本的结果也没有如此简单的直觉（）。更糟糕的是，偶尔，未精炼的直觉会变得非常谨慎（2-SAT在P中，而3-SAT被认为不在P中（实际上是NP完全的））。在TCS中是否有任何形成直觉的“一般原则”？⊆⊆\subseteq
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L2等距嵌入到L1中
已知给定的集（即给定个点具有欧几里得距离），可以等距地将它们嵌入。ℓ d 2 Ñ - [R d ℓ （ Ñnnnℓd2ℓ2d\ell_2^dnnnRdRd{\mathbb R}^dℓ(n2)1ℓ1(n2)\ell^{n\choose 2}_1 等轴测图是否可以在多项式时间内计算（可能是随机的）？ 由于存在有限精度问题，因此精确的问题是 给定{\ mathbb R} ^ d中n个点的集合X和\ epsilon&gt; 0，是否存在映射f：X \到{\ mathbb R} ^ {n \ choose 2}可计算（可能使用随机性）的映射在时间多项式ñ和对数在1 / \小量使得对于每一个X，Y \在X我们有XXXnnnRdRd{\mathbb R}^dϵ&gt;0ϵ&gt;0\epsilon >0f:X→R(n2)f:X→R(n2)f: X \to {\mathbb R}^{n\choose 2}nnn1/ϵ1/ϵ1/\epsilonx,y∈Xx,y∈Xx,y\in X ||f(x)−f(y)||1≤||x−y||2≤(1+ϵ)⋅||f(x)−f(y)||1||f(x)−f(y)||1≤||x−y||2≤(1+ϵ)⋅||f(x)−f(y)||1|| f(x)-f(y)||_1 \leq ||x-y||_2 \leq (1+ \epsilon) \cdot || f(x)-f(y) …
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近似计数问题捕获BQP
在黑匣子模型中，确定BPP机器在输入x上的输出的问题是确定加法误差为1/3的E r M （x ，r ）的近似计数问题（例如） 。中号（x ，r ）M(x,r)M(x,r)XxxË[R中号（x ，r ）ErM(x,r)E_r M(x,r) BQP是否有类似的问题？Ken Regan的评论暗示了这样的问题 您可以将BPP问题简化为近似一个#P函数，但是使用BQP，您得到的是两个#P函数的差，将它们称为和g。当f − g接近零时，分别近似f和g并不能帮助您近似f − g！FffGggFffGggF- 摹f−gf - gF- 摹f−gf - g BQP确实为您提供了一些帮助：当输入上的BQP问题的答案为是时，您会得到f （x ）− g （x ）接近2 m的平方根，其中计数谓词定义了f在替换x之后，g和g具有m个二进制变量。（没有绝对值条；“神奇地”总是得到f （x ）&gt; g （x ）。在BQP量子电路的通用表示下，mXxxf(x)−g(x)f(x)−g(x)f(x) - g(x)2m2m2^mfffgggxxxf(x)&gt;g(x)f(x)&gt;g(x)f(x) > g(x)mmm 变为Hadamard门的数量。）如果答案为否，则差接近0。 您能否精确地提出与BQP尽可能接近的问题？我希望有一些类似的东西：赋予黑盒对函数访问权，g将X映射到Y，并承诺...，将f - g估计到ε内。f,gf,gf,gXXXYYYf−gf−gf-gεε\varepsilon
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