理论计算机科学

理论计算机科学家和相关领域的研究人员的问答

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构造度量空间的不动点定理？
Banach的不动点定理说，如果我们有一个非空的完整度量空间，那么任何统一压缩函数都具有唯一的不动点。然而，这个定理的证明需要选择公理-我们需要选择任意元素一个∈ 一开始迭代˚F从，得到柯西序列一，˚F （一），˚F 2（一），˚F 3（a ），…。 AAAf:A→Af:A→Af : A \to Aμ(f)μ(f)\mu(f)a∈Aa∈Aa \in Afffa,f(a),f2(a),f3(a),…a,f(a),f2(a),f3(a),…a, f(a), f^2(a), f^3(a), \ldots 构造分析中不动点定理如何表达？ 另外，是否有对构造度量空间的简要引用？ 我问的原因是我要构建系统F的模型，其中类型还带有度量结构（除其他外）。在构造性集合理论中，我们可以构造集合的族非常有用UUU，这样使得UUU在产品，指数和UUU索引族下是封闭的，这使得给出系统F的模型变得容易。 如果我能做一个类似的构造性超测空间，那将是非常好的。但是，由于在构造性集合论中增加了选择使其成为经典，显然，我需要对定点定理以及其他一些东西更加谨慎。
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线性类型的编程语言中的数据结构
假设我们正在使用一种支持线性类型的编程语言（可以说，线性类型的术语最多可以使用一次）。这允许以某种对语言有问题的方式来处理某些计算效果（例如，变异，甚至更改操作数的类型），而语言的类型系统仅对“永恒的真理”起作用。 许多数据结构可以用归纳类型来表征（列表和树是典型示例）。如果将线性归纳类型添加到混合，我们还可以处理可变数据结构。 但是，我尚不清楚如何用线性类型的编程语言来表示表现出共享和循环引用的数据结构（此类数据结构的示例是DAG和其他图，由邻接表或其他东西（循环列表）表示）。我们能做到吗？如果不可能，我们应该以哪种方式扩展语言以适应这种数据结构？ 到目前为止，我发现的最复杂的示例是一个双向链接列表。还有其他例子吗？
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Bob的销售（对具有约束的对进行重新排序以最大程度地减少产品总和）
我前一阵子在Stack Overflow上问过这个问题：问题：Bob的sale。有人建议也将问题张贴在这里。 有人已经在这里提出了与此问题相关的问题- 给定基数的最小重量子森林 -但据我了解，这对我的问题没有帮助。StackOverflow上评分最高的答案也值得一看。 这是我的StackOverflow问题的逐字记录副本。该网站的格式可能不适当（哎呀，我只是在这里问这个问题而感到没有足够的知识），因此可以随时对其进行编辑： 注意：这是对现实生活中有关对SWF文件中的记录进行排序的问题的抽象措词。一个解决方案将帮助我改善开源应用程序。 鲍勃（Bob）有一家商店，并想进行销售。他的商店有许多产品，并且每种库存产品都有一定数量的单位数量。他还具有许多在架子上安装的价格标签（与产品数量一样多），并且价格已经打印在标签上。他可以在任何产品上贴上任何价格标签（该产品的全部库存价格统一为一件产品），但是某些产品还有其他限制-任何此类产品可能都不比某些其他产品便宜。 您必须找到如何安排价格标签的方法，以使鲍勃所有商品的总成本尽可能低。总成本是每种产品分配的价格标签的总和乘以该产品的库存数量。 鉴于： N –产品数量和价格标签 小号我，0≤ 我 <N -与指数产品的库存数量我（整数） P Ĵ，0≤ Ĵ <N -具有索引价格标签上的价格Ĵ（整数） K –附加约束对的数量 甲ķ，B ķ，0≤ ķ <K -产品指数对附加的约束 任何产品索引最多只能在B中出现一次。因此，由该邻接表形成的图实际上是一组有向树。 该程序必须找到： 中号我，0≤ 我 <N -从产品索引映射到价格标签指数（P 中号我是产品的价格我） 满足条件： P 中号甲ķ ≤P 中号乙ķ，对于0≤ ķ <K Σ（š 我 ×P 中号我）为0≤ 我 <N是最小 请注意，如果不是针对第一个条件，则解决方案将是简单地按价格对标签进行排序，并按数量对产品进行排序，然后直接将二者进行匹配。 输入的典型值为N，K …
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算法设计和复杂性-如何以这种“方式”思考？
我的问题是一个普遍的问题：如何开始就算法设计和复杂性进行思考？我将选修算法设计研究生课程。我早些时候注册了它，但后来又放弃了，因为我跟不上它。我必须参加这门课程。 是否有以这种方式思考的“技巧”？我知道这是很粗略的说法，但有时以崭新的视角有助于以不同的方式思考一个主题。 我在本课程（和类似的理论课程）中遇到的主要问题是：我怎么知道我提出的解决方案是正确的？我发现理论部分是任意的，特别是当“证明”某种算法以某种方式起作用或表现时？ 我们的课程将使用标准文本：CLRS算法简介。 是否有教科书/网站/书籍/等？可能提供一种在该领域变得自信的方法？ 谢谢大家， 杰森·丹恩（Jason Dane）
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表征计算复杂性类别的理论
阅读论文“ FPH的应用理论 ”时，您会遇到以下段落： 考虑到表征计算复杂性类别的理论，有三种不同的方法： 在一个理论中，可以在理论中定义的功能是在某个复杂性类别内“自动”进行的。在这种情况下，必须限制语法以保证一个人停留在适当的类中。通常，这会导致一个问题，即某些功能的定义不再起作用，即使该功能处于所考虑的复杂性类别中也是如此。 在第二个帐户中，底层逻辑受到限制。 在第三种说法中，不限制语法，通常允许为任意（部分递归）函数写下逻辑的“函数术语”，也为逻辑，仅写下属于所考虑的复杂度类的那些函数术语，可以证明它们具有某种特征，通常，它们是“可证明是合计的”。尽管根据基础句法框架的功能项可能具有直接的计算特征，即作为项，但用于证明特征性质的逻辑很可能是经典的。λλ\lambda 我的问题涉及参考，这些参考可以作为上述三种方法的介绍。在本文中，我们仅看到方法的特征，但是这些名称是否有公认的名称？
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排序列表的最小换位数
在尝试设计自己的排序算法时，我正在寻找可以与之进行比较的最佳基准。对于元素的未排序的顺序一个和排序顺序乙，什么是计算换位的最优数量得到一种有效的方式一至乙？ 换位定义为切换列表中2个元素的位置，例如 1 2 4 3 有一个变调（变调4和3） 1 2 3 4 就像是 1 7 2 5 9 6 需要4个换位（7，2），（7，6），（6,5），（9，7） 更新（9/7/11）：问题更改为使用“换位”而不是“掉期”来指代不相邻的交易所。
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复杂性下限：决策树和RAM之间的差距
我最近在决策树模型中发现了问题复杂性的二次下界，我不知道是否可以将此结果部分推广到随机访问机器模型。通过部分，我的意思是推广到RAM中的程序具有一定的时间/空间权衡。例如，我想表明我的问题无法通过线性时间和-space RAM程序解决。 AM Ben-Amram和Z. Galil在本文中证明，可以在指针机器上以时间模拟在时间和空间s中运行的RAM程序。我们是否知道可以应用于决策树的类似结果？ŤŤtsssØ （Ť日志s ）Ø（Ť日志⁡s）O(t \, \log s) 或者，是否有可能以模拟太空运行的RAM程序有度的决策树？（直观上，可以使用度为节点模拟间接寻址）ssssss≤秒≤s\leq s
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NP中的超级马里奥流？
最大流量问题的一个经典扩展是“随时间的最大流量”问题：您将得到一个有向图，将其两个节点分别作为源和汇，其中每个弧具有两个参数，每容量-单位时间和延迟。同时，也给出一个时间跨度TŤT。目的是计算随时间变化的流量，该流量在时间从源到接收器获得最大数量的物料。可以通过多项式时间中的最小经典最大流量的巧妙经典归约来计算最大值的流量。TŤT 我对此模型的扩展感兴趣，该模型的边缘具有第三个“寿命”参数。如果电弧的寿命为，并且是最早的正向电弧通过的时间，那么我们在时间处销毁电弧。您可以将其视为“超级马里奥兄弟”中的平台，踩到平台后不久就会掉落或被破坏，或者可以将它们视为为边缘供电所需的电池，在开启后无法关闭。（编辑：）决策问题是，当还给定流量值下限，是否可以调度同时满足时间范围上限和流量值下限的流量。ℓℓ\elltŤtt+ℓŤ+ℓt+\ellB乙B 到目前为止，我可以看到此问题对NP来说非常困难（通过3分区）。但是，我实际上并不知道它是否包含在NP中：是否可以保证有一种紧凑表达解决方案的方法？在经典版本中，使用某些特殊类型的最优流来规避此问题。 注意：由于您可能允许或不允许在节点上存储流量，因此上述模型的指定有点不足，并且您可能具有离散时间模型或连续模型。解决这些模型中的任何一个问题都是非常好的。
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平面图中边缘着色的复杂性
三次图的三边着色为。四色定理等同于“每个立方平面无桥图都是3边可着色的”。NPNPNP 立方平面图的3边着色的复杂性是什么？ 另外，据推测， _edge时着色Ñ P -hard以最大程度平面图Δ ＆Element; {4,5}。ΔΔ\DeltaNPNPNPΔ∈Δ∈\Delta \in 解决这一猜想是否取得了进展？ Marek Chrobak和Takao Nishizeki。改进的平面图边缘着色算法。算法学报，1990年11：102-116
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整数乘法和二进制决策图的最高有效位
设和两个具有位的二进制数，并且和乘积的二进制数（长度）。我们要计算乘积最接近位。XXxÿÿyññnž= X ⋅ ÿ ž=X⋅ÿ z = x \cdot y\ 2 n2ñ2nXXxÿÿyž2 n − 1ž2ñ-1个z_{2n-1}ž= z2 n − 1… z0ž=ž2ñ-1个…ž0z = z_{2n-1} \ldots z_0 为了在二进制决策图模型（尤其是一次性分支程序）的模型中分析此功能的复杂性，我尝试在的情况下寻找一些等效表达式。首先显而易见的是（此处和是二进制数的对应整数）。我想得到一个直觉，如果我将一些输入位设置为常数会发生什么。例如，如果我将和的最高有效输入位设置为0，则得到常数0。但是，具有较低重要性的位不会对结果产生这样的影响。ž2 n − 1= 1ž2ñ-1个=1个z_{2n-1} = 1ž2 n − 1= 1 ⇔ X ⋅ ÿ≥ 22 n − 1ž2ñ-1个=1个⇔X⋅ÿ≥22ñ-1个z_{2n-1} = 1 \Leftrightarrow x \cdot y \geq …
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随机单调函数
在Razborov-Rudich的Natural Proofs论文的第6页中，他们讨论了“针对单调电路模型的强大下界证明”以及它们如何适应图中，其中有以下句子： 在这里问题不是建设性的-这些证明中使用的属性都是可行的-但似乎没有关于宽大条件的良好形式类似物。特别是，没有人对“随机单调函数”制定可行的定义。 将单调函数的输出与随机字符串区别开来难道不是很容易吗？是否存在强大的下限告诉我们没有这样的事情？ 我的问题是： 它们对“随机单调函数”的可行定义是什么意思？
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是否存在具有以下直接和属性的函数？
可以在布尔电路的电路复杂性框架中，或者在代数复杂性理论的框架中，或者可能在许多其他设置中提出这个问题。通过对参数进行计数，很容易表明在N个输入上存在布尔函数，这些布尔函数需要成倍增加的门数（当然，我们没有任何明确的示例）。假设我希望在M个不同的输入集上对某个整数M评估M次相同的函数，因此输入的总数为MN。也就是说，我们只是想试用对于相同的功能˚F各时刻。f(x1,1,...,x1,N),f(x2,1,...,x2,N),...,f(xM,1,...,xM,N)f(x1,1,...,x1,N),f(x2,1,...,x2,N),...,f(xM,1,...,xM,N)f(x_{1,1},...,x_{1,N}), f(x_{2,1},...,x_{2,N}),...,f(x_{M,1},...,x_{M,N})fff 问题是：是否已知函数的序列（每个N有一个函数），使得对于任何N，对于任何M，所需门的总数至少等于M乘以M的指数函数。不行吗 因为我们希望这个结果对所有M都成立，所以简单的计数论证似乎不起作用。可以在代数复杂度理论和其他领域提出这个问题的简单类似物。fff
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