Questions tagged «graph-theory»

图论是对图，数学模型的研究，用于对对象之间的成对关系进行建模。

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对分析的细化，用于网络分析
当考虑网络上的交互时，通常很难通过解析来计算动力学，并且采用近似法。通常，平均场逼近通常最终会完全忽略网络结构，因此很少是一个很好的逼近。流行的近似是对近似，它考虑了相邻节点之间固有的相关性（直觉上，我们可以将其视为边缘上的一种平均场近似）。 如果考虑考虑Cayley图，则近似值是精确的；如果考虑正则随机图，则近似值非常好。在实践中，当我们有一个平均度为k且度数围绕k紧分布的随机图时，它也提供了很好的近似值。不幸的是，许多有趣的网络和交互都无法通过这些图很好地建模。它们通常由具有非常不同的度数分布（例如，像无标度网络），具有特定的（和较高的）聚类系数或特定的平均最短路径距离的图很好地建模（更多信息，请参见Albert＆Barabasi 2001） 。kkkkkkkkk 是否存在对近似的优化方法，这些方法对这些类型的网络有效？还是有其他解析近似可用？ 网络互动的一个例子 我想举一个例子说明网络交互的含义。我将包括一个进化博弈论中相对普遍的例子。 您可以将每个节点视为一个代理（通常仅由一个策略表示），它与具有优势的每个代理成对地玩一些固定的游戏。因此，给每个节点分配一些策略的给定网络会为每个节点产生收益。然后，我们使用这些收益和网络结构来确定策略在节点之间的分布，以进行下一次迭代（一个常见的示例可能是每个代理复制收益最高的邻居或此概率的某种变体）。我们通常感兴趣的问题是了解每种策略的代理商数量以及其随着时间的变化如何变化。通常，我们有稳定的分布（然后我们想知道或近似），有时甚至是极限环甚至是更多奇异的野兽。 如果我们对这种模型进行均值场逼近，则使用获取复制器方程作为动态模型，该方程公然忽略了网络结构，仅对完整图形有效。如果我们使用对近似（如Ohtsuki＆Nowak 2006），我们将获得稍有不同的动力学特性（它实际上是具有修改后的收益矩阵的复制器动力学特性，其中修改取决于图的程度以及更新步骤的细节）对于随机图，它与仿真非常匹配，但对于其他感兴趣的网络则不然。 对于更像物理学的例子：用自旋替换代理，并将收益矩阵称为相互作用哈密顿量，然后在执行定期随机测量时冷却系统。 注意事项及相关问题 考虑到三元组或四元组节点上的平均场近似类型的那种对近似的直接概括是笨拙的，并且仍然没有考虑到非常不同的度数分布或平均最短路径距离。 算法进化博弈论的来源
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Lovasz theta函数和正则图（特别是奇数周期）-与光谱理论的联系
帖子与以下内容相关：https : //mathoverflow.net/questions/59631/lovasz-theta-function-and-independence-number-of-product-of-simple-odd-cycles Lovasz距正则图的零误差能力有多远？是否有已知的Lovasz界不等于正则图的零误差能力的示例？（下面是Oleksandr Bondarenko的回答。） 特别是对于大于或等于的边的奇数循环，是否存在严格的不等式？777 更新 在频谱理论上需要进行哪些改进以改善Lovasz theta函数，以便可以减小存在缺口的情况下Shannon容量和Lovasz Theta之间的差距？（请注意，我仅从光谱角度关注）
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图表中的最大失衡？
令为节点和边的连通图。令表示图的（整数）权重，的总权重。则每个节点的平均权重为。令表示节点与平均值的偏差。我们称节点的不平衡。GGGG=(V,E)G=(V,E)G = (V,E)V=1…nV=1…nV = 1 \dots nEEEwiwiw_iGGG∑iwi=m∑iwi=m\sum_i w_i = mw¯=m/nw¯=m/n\bar w = m/nei=wi−w¯ei=wi−w¯e_i = w_i - \bar wiii|ei||ei||e_i|iii 假设任意两个相邻节点之间的权重最多相差，即 111wi−wj≤1∀(i,j)∈E.wi−wj≤1∀(i,j)∈E. w_i - w_j \le 1\; \forall (i,j) \in E. 问题：就nnn和而言，网络可能具有的最大不平衡度是mmm多少？更精确地说，描绘向量e⃗ =(e1,…,en)e→=(e1,…,en)\vec{e} = (e_1, \dots, e_n)。我对与结果同样满意 | → e | | 1||e⃗ ||1||e→||1||\vec{e}||_1或||e⃗ ||2||e→||2||\vec{e}||_2。 对于||e⃗ ||∞||e→||∞||\vec{e}||_\infty，可以找到一个关于图直径的简单界限：由于所有eieie_i必须加和为零，因此，如果存在大的正eieie_i，则在某处一定存在负ejeje_j。因此，它们的区别|ei−ej||ei−ej||e_i - e_j|至少是|ei||ei||e_i|，但此差异最多可能是节点iii和之间的最短距离，而该距离jjj又最多可能是图形直径。 我对更强的边界感兴趣，最好是111或222范数。我想它应该包含一些频谱图理论来反映图的连通性。我尝试将其表示为最大流量问题，但无济于事。 编辑：更多的解释。我对111或222规范感兴趣，因为它们可以更准确地反映总的不平衡状态。从得到一个平凡的关系。| → …
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最小路径覆盖问题
我们正在分布式计算机上工作，我们提出了一个复杂性问题，该问题减少到最小路径覆盖问题。我们目前不知道如何解决。问题如下： 令为某个整数，令为包含顶点的图。我们用一对标记每个顶点，使得。此后，我们使用其标签命名顶点。的边集定义如下： 。kkkZkZkZ_kk(k+1)2k(k+1)2\frac{k(k+1)}{2}(i,j)(i,j)(i,j)1≤i≤j≤k1≤i≤j≤k1 \leq i \leq j \leq kZkZkZ_k{((i,j),(i′,j′))|i′&gt;i∧j′≥i}{((i,j),(i′,j′))|i′&gt;i∧j′≥i}\{ ((i,j),(i',j')) | i' >i \land j' \geq i \} 的最小路径覆盖是？ZkZkZ_k 读Ntafos等人的“有向图中的路径覆盖问题及其在程序测试中的应用”。，我们已经看到最小路径覆盖等于最大无可比拟顶点集的基数。我们正在考虑以下集合： ，其基数为。S={(i,j):i≥k/2∧j&lt;k/2}S={(i,j):i≥k/2∧j&lt;k/2}S= \{ (i,j) : i \geq k/2 \land j < k/2 \}k24−k2k24−k2\frac{k^2}{4}-\frac{k}{2} 真诚的 皮埃尔
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从图到超图的根本困难是什么？
组合学和计算机科学中有许多示例，我们可以分析图论问题，但对于该问题的超图模拟，我们缺少工具。您为什么认为3均匀超图问题通常比2均匀图问题变得更加困难？根本的困难是什么？ 一个问题是，到目前为止，我们对频谱超图理论还没有令人满意的理解。请随时阐明此问题。但是我也在寻找其他使超图变得更加困难的对象的原因。
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-nets相对于所述切割模
实矩阵的割范数是所有的最大值数量的。||A||C||A||C||A||_CA=(ai,j)∈Rn×nA=(ai,j)∈Rn×nA = (a_{i,j}) \in \mathcal{R}^{n\times n}I⊆[n],J⊆[n]I⊆[n],J⊆[n]I \subseteq [n], J \subseteq [n]∣∣∑i∈I,j∈Jai,j∣∣|∑i∈I,j∈Jai,j|\left|\sum_{i \in I, j \in J}a_{i,j}\right| 将两个矩阵和之间的距离定义为AAABBBdC(A,B)=||A−B||CdC(A,B)=||A−B||Cd_C(A,B) = ||A-B||_C 度量空间的最小 -net多少？（[ 0 ，1 ] Ñ × Ñ，d Ç）ϵϵ\epsilon([0,1]n×n,dC)([0,1]n×n,dC)([0,1]^{n\times n}, d_C) 即最小子集，使得对于所有，存在一个这样。 甲∈ [ 0 ，1 ] Ñ × Ñ甲' ∈ 小号d Ç（甲，甲'）≤ εS⊂[0,1]n×nS⊂[0,1]n×nS \subset [0,1]^{n\times n}A∈[0,1]n×nA∈[0,1]n×nA \in [0,1]^{n\times n}A′∈SA′∈SA' \in …
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具有多项式大小的有根树中“短”路径数的下限
令为有根的二叉树。从T的根到叶子的每条路径的长度为n。T的每个节点始终有一个左子节点和一个右子节点，但它们可能是相同的（因此，总是有2 n条路径）。T的大小以O （p o l y （n ））为界。具有不同子节点的节点称为分支节点。ŤTTŤTTñnnŤTT2ñ2n2^nŤTTø （p Ò 升ÿ（n ））O(poly(n))O(poly(n)) 我们说两条路径是不同的，如果有一个共享分支节点，一条路径去往左子节点，另一条路径去到右子节点。很明显，中至少有一条具有O （log n ）个分支节点的路径。否则，T中的节点过多。ŤTTO （对数n ）O(log⁡n)O(\log n)ŤTT 如果我知道树中有ω （log n ）个分支节点，是否有分支节点的路径数有更好的下限？O （对数n ）O(log⁡n)O(\log n)ω(logn)ω(log⁡n)\omega(\log n)
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修剪紧密连接的有向图
给定一个具有加权边的强连通有向图G，我想确定证明不属于G的任何最小强连通子图（MSCS）的边缘。 查找此类边缘的一种方法是改良的Floyd-Warshall算法。使用Floyd-Warshall算法，可以识别出哪些边永远不是从顶点i到j的最佳选择。这些节点不能成为MSCS的一部分，因为最好将它们替换为两个或更多其他边缘。 当边缘权重变化很大时，Floyd-Warshall修剪技术效果很好，但是当边缘权重相似但幅度较大时，效果很差。 您知道任何适用于较大的相似边缘权重的有效修剪方法吗？这个问题等于我不认识的更常见的问题吗？以前是否在文献中研究过这种修剪？
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寻找捷径
动机：在标准的增强路径最大流算法中，内部循环需要在有向加权图中找到从源到汇的路径。从理论上讲，众所周知，为了使算法在边缘容量不合理时甚至终止，我们需要对找到的路径进行限制。例如，Edmonds-Karp算法告诉我们找到最短路径。 根据经验，已经观察到我们可能还想找到脂肪（是否有更好的术语？）。例如，当使用容量缩放时，我们发现可以承受至少流量的最短路径。路径的长度没有限制。当我们找不到任何路径时，我们减小并重复。εϵϵ\epsilonϵϵ\epsilon 我对针对最大流的非常特定的应用优化扩充路径的选择感兴趣，并且我想探讨短路径与胖路径之间的这种权衡。（注意：我不必总是解决问题。我最感兴趣的是在最短的挂墙时间内找到最大的流量下限。） 问题：在最短路径方法和容量扩展方法之间是否存在标准的插值方法？也就是说，是否有一种算法可以找到短而胖的路径，理想情况下，某个参数可以控制我们愿意为胖而权衡的路径长度？在极端情况下，我希望能够在一端恢复最短路径，而在另一端恢复容量缩放样式的路径。
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逼近非平凡图自同构吗？
图自同构是图节点的排列，它在边缘集上引起双射。在形式上，这是一个排列节点，使得 当且仅当˚F （ü ，v ）∈ Ë （˚F （ü ），˚F （v ））∈ ËEEEfff(u,v)∈E(u,v)∈E(u,v)\in E（f（Û ），˚F（v ））∈ È(f(u),f(v))∈E(f(u),f(v))\in E 将某些置换的违反边缘定义为映射到非边缘的边缘或原像为非边缘的边缘。 输入：非刚性图ģ （V，E）G(V,E)G(V, E) 问题：找到一个（非同一性）置换，以最小化受侵害边缘的数量。 查找带有最少数量受侵犯边缘的（非身份）置换的复杂性是什么？对于有界最大度数为（在某种复杂性假设下）的图，这个问题难吗？例如，三次图难吗？ķkk 动机：问题是图形自同构问题（GA）的缓解。输入图可以具有非平凡的自同构性（例如，非刚性图）。找到近似自同构（壁橱排列）有多困难？ 编辑 4月22日 刚性（不对称）图仅具有琐碎的自同构。非刚性图具有某些（有限的）对称性，我想了解近似对称性的复杂性。
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图上有趣的函数可以有效地最大化。
假设我有一个加权图，使得是加权函数-请注意，允许负加权。瓦特：È → [ - 1 ，1 ]G = （V，E，w ）G=(V,E,w)G = (V,E,w)w ：E→ [ - 1 ，1 ]w:E→[−1,1]w:E\rightarrow [-1,1] 假设定义了顶点的任何子集的属性。小号⊂ VF：2V→ Rf:2V→Rf:2^V\rightarrow \mathbb{R}小号⊂ VS⊂VS \subset V 问题：哪些有趣的示例 可以解决多项式最大化问题：？ARG 最大小号⊆ V ˚F （小号）Fff精氨酸最大值小号⊆ VF（S）arg⁡maxS⊆Vf(S)\arg\max_{S \subseteq V}f(S) 例如，图割函数 F（S）= ∑（ü ，v ）∈ Ë：ü ∈ 小号，v ∉ 小号w （（u ，v ））f(S)=∑(u,v)∈E:u∈S,v∉Sw((u,v))f(S) = \sum_{(u,v) …
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具有无界分数超树宽度的CSP
一个´一个´\acute{\rm a}^ h ∈ P 牛逼我中号ËHHHHHH∈ PŤ一世中号Ë∈PŤ一世中号Ë\in PTIME 定义等 有关标准树分解和树宽的详细信息，请参见此处（提前感谢JeffE！）。 令HHH为一个超图。 然后对于一个超图和一个映射，γ ：È （ħ ）→ [ 0 ，∞ ）HHHγ：E（高）→ [ 0 ，∞ ）γ：Ë（H）→[0，∞）\gamma : E(H) \rightarrow [0,\infty) B （γ）=乙（γ）=B(\gamma) = { }。v ∈ V（高）：∑Ë ∈ V（高），v ∈ Èγ（ë ）≥ 1v∈V（H）：∑Ë∈V（H），v∈Ëγ（Ë）≥1个v \in V(H) : \sum_{e \in V(H), v \in e} \gamma(e) …
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模块化分解图的来源
引入图模块分解时，大多数作者使用11顶点图，我从Wikipedia复制了该图。 问题是谁是它的原始设计师。（我不是在问谁为维基百科绘制了这张图，而是它的原始来源。） Wikipedia页面创建于2006年12月。我可以找到的最早来源是Christophe Paul的Habilitation论文，日期为2006年5月17日。（我没有进行深入的搜索。）
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在随机图中找到一个短周期需要多长时间？
令为边上的随机图。具有很高的概率，有很多周期。我们的目标是尽快输出这周期中的任何一个。G∼G(n,n−1/2)G∼G(n,n−1/2)G \sim G(n, n^{-1/2})≈n3/2≈n3/2\approx n^{3/2}GGG444444 假设我们能够以邻接表的形式访问，我们可以在时间内以恒定的概率成功，如下所示：选择任意节点并开始生成从开始的随机路径；一旦找到共享端点的两个不同的路径，就完成了。有可能的端点，并且通过生日悖论，我们在发现后将以恒定的概率成功。GGGO(n−−√)O(n)O(\sqrt{n})vvv222vvv222nnnn−−√n\sqrt{n} 我们可以做得更好吗？特别是，可能以恒定概率成功的恒定时间算法吗？
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