Questions tagged «polynomials»

有人知道Gröbner基础在理论计算机科学中的有趣应用吗？ Gröbner基用于求解多元多项式方程，这通常是一个NP-hard问题。我想知道在TCS或TCS相关领域（组合，编码理论）中是否使用了一些易于处理的特殊情况来提供有效的算法/构造/证明。

41 cc.complexity-theory  reference-request  algebra  polynomials 

问题是要计算多项式。假设所有系数都适合一个机器字，即可以在单位时间内进行操作。(a1x+b1)×⋯×(anx+bn)(a1x+b1)×⋯×(anx+bn)(a_1 x + b_1) \times \cdots \times (a_n x + b_n) 您可以通过以树形式应用FFT 来进行次。你能做O （n log n ）吗？O(nlog2n)O(nlog2⁡n)O(n \log^2 n)O(nlogn)O(nlog⁡n)O(n \log n)

35 ds.algorithms  reference-request  open-problem  polynomials 

组合Nullstellensatz和Chevalley-Warning定理说，多项式方法是加法组合学中的强大工具。通过用适当的多项式表示问题，它们可以保证解的存在或多项式的解的数量。它们已被用于解决诸如受限和集或零和问题之类的问题，并且该领域中的某些定理只能通过这种方法来证明。 对我来说，这些方法的非构造方式确实令人惊讶，并且我很好奇我们如何应用这些方法来证明复杂性类的任何有趣的包含和分离（即使结果可以用其他方法解决）。 是否有已知的复杂性结果可以通过多项式方法证明？

29 cc.complexity-theory  reference-request  co.combinatorics  polynomials 

我只知道Schwartz–Zippel引理的两个证明。维基百科条目中描述了第一个（更常见的）证明。第二个证据是Dana Moshkovitz发现的。 还有其他证据使用的想法大相径庭吗？

28 cc.complexity-theory  reference-request  algebra  polynomials  finite-fields 

编辑（v2）：在末尾添加了关于我对该问题的了解的部分。 编辑（v3）：最后添加了关于阈值度的讨论。 题 这个问题主要是参考要求。我对这个问题不太了解。我想知道以前是否有关于这个问题的工作，如果是，有人可以指出我有关该问题的任何论文吗？我还想知道当前的近似最佳边界。任何其他信息（例如历史信息，动机，与其他问题的关系等）也将受到赞赏。AC0AC0\textrm{AC}^0 定义 让f:{0,1}n→{0,1}f:{0,1}n→{0,1}f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}是布尔函数。令ppp为具有实系数的变量至的多项式。多项式的阶数是所有单项式的最大阶数。单项式的次数是该单项式中出现的各种的指数之和。例如。x1x1x_1xnxnx_nxixix_ideg(x71x23)=9deg(x17x32)=9\textrm{deg}(x_1^7x_3^2) = 9 如果对于所有，则多项式称为 epsilon-近似。布尔函数的近似度，表示为，是近似的多项式的最小度。对于一组函数，是最小次数这样中的每个函数都可以被逼近，次数最多为的多项式pppϵϵ\epsilonfff|f(x)−p(x)|&lt;ϵ|f(x)−p(x)|&lt;ϵ|f(x)-p(x)|<\epsilonxxxϵϵ\epsilonfffdeg˜ϵ(f)deg~ϵ(f)\widetilde{\textrm{deg}}_{\epsilon}(f)ϵϵ\epsilonfffFFFdeg˜ϵ(F)deg~ϵ(F)\widetilde{\textrm{deg}}_{\epsilon}(F)dddFFFϵϵ\epsilonddd。 注意，每个函数都可以用多项式表示，而不会出现错误。某些函数确实确实需要多项式才能近似于任何恒定误差。奇偶校验就是这种功能的一个例子。nnnnnn 问题陈述 什么是？（常数1/3是任意的。）deg˜1/3(AC0)deg~1/3(AC0)\widetilde{\textrm{deg}}_{1/3}(\textrm{AC}^0) 笔记 我在Paul Beame和Widad Machmouchi 的论文《 AC0的量子查询复杂度》中遇到了这个问题。他们说 同样，我们的结果也无助于缩小AC0函数近似度的下限。 他们在致谢中也提到“ AC0近似度的问题”。 因此，我认为以前对此问题已有过研究吗？有人可以指出我有关该问题的论文吗？什么是最著名的上限和下限？ 我对这个问题的了解（在问题的 v2中添加了此部分） 最熟知的上上限是知道的是微不足道的上限Ñ。最好的下界，我知道来自阿伦森和施氏下界碰撞和元素明显的问题，这给下界〜Ω（ñ 2 / 3）。（对于AC 0的严格限制版本，例如公式大小为o （n 2）的公式，或深度为2的o （n 2）回路deg˜1/3(AC0)deg~1/3(AC0)\widetilde{\textrm{deg}}_{1/3}(\textrm{AC}^0)nnnΩ~(n2/3)Ω~(n2/3)\tilde{\Omega}(n^{2/3})AC0AC0\textrm{AC}^0o(n2)o(n2)o(n^2)o(n2)o(n2)o(n^2)门，我们可以使用量子查询复杂度证明上限。）o(n)o(n)o(n) 相关：阈值度（在v3中添加） 正如Tsuyoshi在评论中指出的那样，该问题与确定的阈值度的问题有关。函数f的阈值度是多项式p的最小度，使得f （x ）= 1AC0AC0\textrm{AC}^0fffppp且 f （x ）= 0f(x)=1⟹p(x)&gt;0f(x)=1⟹p(x)&gt;0f(x)=1 \implies p(x)>0。f(x)=0⟹p(x)&lt;0f(x)=0⟹p(x)&lt;0f(x)=0 \implies p(x)<0 Sherstov现在已改善了阈值程度的下限。他针对阈值度接近Ω …

24 cc.complexity-theory  reference-request  circuit-complexity  polynomials 

我知道平凡OR功能上nnn变量x1,…,xnx1,…,xnx_1,\ldots, x_n可以准确地由多项式表示的p(x1,…,xn)p(x1,…,xn)p(x_1,\ldots,x_n)作为这样的： p(x1,…,xn)=1−∏ni=1(1−xi)p(x1,…,xn)=1−∏i=1n(1−xi)p(x_1,\ldots,x_n) = 1-\prod_{i = 1}^n\left(1-x_i\right)，其次数为nnn。 但是，我怎么能证明什么似乎很明显，如果是正好代表或功能的多项式（所以∀ X ∈ { 0 ，1 } ñ：p （X ）= ⋁ ñ 我= 1 X 我），然后度（p ）≥ ñ？ppp∀x∈{0,1}n:p(x)=⋁ni=1xi∀x∈{0,1}n:p(x)=⋁i=1nxi\forall x \in \{0,1\}^n : p(x) = \bigvee_{i = 1}^n x_ideg(p)≥ndeg⁡(p)≥n\deg(p) \ge n

23 cc.complexity-theory  co.combinatorics  lower-bounds  polynomials 

假设我们最多有阶数的多项式，，使得非零系数的总数为（即，多项式是稀疏的）。我对用于计算多项式的高效算法感兴趣： n n &gt; m np1个，。。。，p米p1,...,pmp_1,...,p_mñnnn &gt; 米n&gt;mn>mñnn ∑一世p一世（x）2∑ipi(x)2\sum_i p_i(x)^2 由于此多项式的次数最多，因此输入和输出大小均为。在的情况下，我们可以在时间使用FFT计算结果。可以对任何进行此操作吗？如果有什么不同，我对系数为0和1的特殊情况感兴趣，应该对整数进行计算。O （n ）m = 1 O （n log n ）m &lt; n2 n2n2nO （n ）O(n)O(n)m = 1m=1m=1O （ ñ 日志n ）O(nlog⁡n)O(n \log n)m &lt; nm&lt;nm<n 更新。我意识到，针对上述问题的快速解决方案将意味着快速矩阵乘法的发展。特别是，如果那么我们可以读取作为系数在。因此，计算对应于计算两个向量的外积，并且计算和对应于计算矩阵乘积。如果存在使用时间来计算的解决方案那么我们可以在时间中将两个 -n矩阵相乘 a i k b k j x i + n j p k（x …

18 ds.algorithms  algebra  polynomials 

ppp≤d≤d\le dbias(p)≜|Prx∈{0,1}n(p(x)=0)−Prx∈{0,1}n(p(x)=1)|&gt;ϵbias(p)≜|Prx∈{0,1}n(p(x)=0)−Prx∈{0,1}n(p(x)=1)|&gt;ϵbias(p) \triangleq |\Pr_{x\in\{0,1\}^n}(p(x)=0)-\Pr_{x\in\{0,1\}^n}(p(x)=1)| \gt \epsilon *当我编写带有度数≤d≤d\le d和n变量的随机多项式时，您可以想到以1/2概率选择的总度数\ le d的每个单项式≤d≤d\le d。 我知道的唯一相关的事情是Schwartz-Zippel的一个变体，该变体声明如果多项式是非恒定的，则其偏差最多为1−21−d1−21−d1-2^{1-d}。因此，对于ϵ=1−21−dϵ=1−21−d\epsilon=1-2^{1-d}，概率为1/2(n1)+…+(nd)1/2(n1)+…+(nd)1/{2^{{n \choose 1}+\ldots+{n \choose d}}}，其中ppp为一个常数。不幸的是，这个ϵϵ\epsilon很大。

13 randomness  pr.probability  algebra  polynomials 

令p(x1,…,xn)p(x1,…,xn)p(x_1,\ldots,x_n)是一个多元多项式，系数在场FFF。的multilinearization ppp，记为p，是反复替换每个结果X ð 我与d &gt; 1由X 我。结果显然是一个多元线性多项式。p^p^\hat{p}xdixidx_i^dd&gt;1d&gt;1d > 1xixix_i 考虑以下问题：给定的运算电路C(x1,…,xn)C(x1,…,xn)C(x_1,\ldots,x_n)超过FFF和给定字段元件a1,…,ana1,…,ana_1,\ldots,a_n，计算c ^（一个1，... ，一个Ñ）。C^(a1,…,an)C^(a1,…,an)\hat{C}(a_1,\ldots,a_n) 问题：假设场算术可以在单位时间内完成，是否有多项式时间算法？稍后添加：我也对CCC实际上是一个公式（扇出的电路111）的特殊情况感兴趣。

13 cc.complexity-theory  polynomials 

通过计数参数，可以表明，存在n次多项式中1个变量（即，形式的东西，其具有电路复杂ñ。而且，可以证明像x n这样的多项式至少需要对数2 n的乘法（您只需要得到足够高的次数即可）。1个变量中是否有任何多项式的显式示例，其复杂度具有超对数下限？（任何字段的结果都会很有趣）一个ñXñ+ 一个n − 1Xn − 1+ ⋯ + 一个0）anxn+an−1xn−1+⋯+a0)a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0)Xñxnx^n日志2ñlog2⁡n\log_2 n

12 cc.complexity-theory  circuit-complexity  polynomials  algebraic-complexity 

通常，确定双色子方程是否具有任何整数解等同于停止问题。我相信，确定二次泛函方程是否具有任何解都是NP完全的。在所涉及的方程式上是否存在进一步的限制，从而产生一个P完全问题？

11 cc.complexity-theory  linear-algebra  polynomials 

令是固定有限域上的多项式。假设我们给定向量和向量的值。P Ý ∈ { 0 ，1 } Ñ ÿP（x1个，X2，… ，xñ）P(x1,x2,…,xn)P(x_1, x_2, \ldots, x_n)PPPÿ∈ { 0 ，1 }ñy∈{0,1}ny \in \{0,1\}^nÿyy 现在，我们要在向量计算的值，以使和恰好在一个位置不同（换句话说，我们在恰好翻转一位）。这个问题的空间和时间取舍是什么？ÿ ' ∈ { 0 ，1 } Ñ ÿ ÿ ' ÿPPPÿ′∈ { 0 ，1 }ñy′∈{0,1}ny' \in \{0,1\}^nÿyyÿ′y′y'ÿyy 例如，如果是中单项式的数目，我们可以将系数和所有单项式的值存储在。如果被翻转，我们使用存储的信息固定每个包含单项式的值，然后确定的值。总体而言，我们需要时间和空间。P P y i y i P （y ）O （r ）[RrrPPPPPPÿ一世ÿ一世y_iÿ一世ÿ一世y_iP（y）P（ÿ）P(y)Ø （[R ）Ø（[R）O(r) …

10 polynomials  dynamic-algorithms 

令是一个对称多项式，即对于所有的多项式和所有置换。为了方便起见，我们可以假设是一个有限域，以避免解决计算模型中的问题。f:Kn→Kf:Kn→Kf:\mathbb{K}^n \to \mathbb{K}f(x)=f(σ(x))f(x)=f(σ(x))f(x)=f(\sigma(x))x∈Knx∈Knx \in \mathbb{K}^nσ∈Snσ∈Sn\sigma \in S_nKK\mathbb{K} 令表示计算的复杂度，即给定返回的算法的复杂度。我们可以基于的性质以某种方式表征吗？例如，对于所有对称多项式，我们是否保证是多项式（在）？C(f)C(f)C(f)fffxxxf(x)f(x)f(x)C(f)C(f)C(f)fffC(f)C(f)C(f)nnnfff 作为特殊情况，看起来（a）我们可以在时间计算幂和多项式，并且（b）我们可以在时间计算基本对称多项式，使用牛顿的身份。结果，如果是单项式的加权和，其中没有任何变量被提高到大于1的幂（即，如果是多线性的），则可以用多项式时间来计算（因为它可以表示为加权和基本对称多项式的集合。例如，当poly(n)poly(n)\text{poly}(n)poly(n)poly(n)\text{poly}(n)fffffffffK=GF(2)K=GF(2)\mathbb{K}=GF(2)，则可以在多项式时间内计算每个对称多项式。谁能说的比这更多？

10 cc.complexity-theory  permutations  polynomials 

在多项式身份测试中，我们寻求一种确定性算法来推断两个多项式相等性。将已知的有效随机算法去随机化并产生有效的确定性算法是一个重要的开放问题。PIT是否有一个完整的问题，以便对这一类多项式进行去随机身份测试可以解决此开放性问题？如果不是，是否存在解决该问题的多项式类以及开放性的类？G，ħ ∈ ž [ X1个，… ，xñ]g,h∈Z[x1,…,xn]g,h\in\Bbb Z[x_1,\dots,x_n]

10 derandomization  polynomials 

我们可以在O(nlogn)O(nlog⁡n)O(n\log n)对带FFT的加/乘多项式进行卷积。但是，这种方法对于一般的振铃来说似乎不太通用。max / plus环的天真O(n2)O(n2)O(n^2)卷积是否有任何进展？ 我应该注意，可以通过求幂将soft-max / plus转换为plus / product。这里soft-max(x,y)=log(ex+ey)=max(x,y)+log(1+emin(x,y)−max(x,y))soft-max(x,y)=log⁡(ex+ey)=max(x,y)+log⁡(1+emin(x,y)−max(x,y))\text{soft-max}(x,y)=\log(e^x+e^y) = \max(x,y) + \log(1+e^{\min(x,y)-\max(x,y)})。

10 algebra  polynomials  fft  convolution