命题解决方案是一个完整的证明系统吗？
这个问题是关于命题逻辑的，所有出现的“解决”都应被理解为“命题解决”。 这个问题是非常基本的，但是已经困扰了我一段时间。我看到人们断言命题解决方案是完整的，但我也看到人们断言解决方案是不完整的。我了解解决方案不完整的含义。我也明白为什么人们可能会声称它是完整的，但是“完整”一词不同于描述自然演绎或后续演算时使用“完整”的方式。甚至限定词“反驳完成”也无济于事，因为公式必须在CNF中，并且在证明系统内不考虑通过Tseitin变换将公式变换为等效CNF公式或可满足的CNF公式。 健全性和完整性 让我们假设古典命题逻辑的设定是在结构的某些宇宙与一组公式之间的关系⊨⊨\models和结构中的经典的Tarskian真理概念之间的关系。我们写⊨φ⊨φ\models \varphi，如果φφ\varphi在考虑所有结构都是如此。我还将假设一个系统⊢⊢\vdash，用于从公式导出公式。 该系统⊢⊢\vdash是声音相对于⊨⊨\models如果每当我们有⊢φ⊢φ\vdash \varphi，我们也有⊨φ⊨φ\models \varphi。该系统⊢⊢\vdash是完全相对于⊨⊨\models如果每当我们有⊨φ⊨φ\models \varphi，我们也有⊢φ⊢φ\vdash \varphi。 决议规则 文字是原子命题或其否定词。子句是文字的析取。CNF中的公式是子句的结合。决议规则断言 分辨率规则断言，如果该条的结合C∨pC∨pC \lor p与子句¬p∨D¬p∨D\neg p \lor D是满足的，该条C∨DC∨DC \lor D也必须是可满足的。 我不确定是否可以单独将解析规则理解为证明系统，因为没有公式的引入规则。我认为我们至少需要一个允许引入子句的假设规则。 解析不完整 众所周知，分辨率是一种隔音系统。也就是说，如果我们可以得到一个条款CCC从公式FFF使用的分辨率，然后。决议还驳斥完整的意思，如果我们有 ⊨ ˚F⊨F⟹C⊨F⟹C\models F \implies C然后我们可以使用分辨率从 F导出 ⊥。⊨F⟹⊥⊨F⟹⊥\models F \implies \bot⊥⊥\botFFF 考虑配方 和 ψ ：= p ∨ q。φ:=p∧qφ:=p∧q\varphi := p \land qψ:=p∨qψ:=p∨q\psi := p \lor q 在根岑系统LK或使用自然推导，我可以得出蕴涵完全在证明系统内。我无法使用解析来得出这种含意，因为如果我以 φ开头，则没有解析子。φ⟹ψφ⟹ψ\varphi …