Questions tagged «treewidth»

有关图的树宽的问题。低树宽的图允许使用快速分治算法来解决一般图上NP难的许多图问题。

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树宽概念的由来
我今天的问题（像往常一样）有点愚蠢。但请您考虑一下。 我想知道树宽概念背后的起源和/或动机。我肯定知道FPT算法中使用了它，但是我不认为这就是定义此概念的原因。 我在Robin Thomas教授的课堂上写了关于这个主题的笔记笔记。我想我了解这个概念的一些应用（因为它将树的分离属性传递给分解的图），但是由于某种原因，我并不十分相信这个概念的产生是为了测量图的紧密度到树上。 我将努力使自己更加清楚（我不确定是否可以，如果问题不清楚，请告诉我）。我想知道在数学的其他分支中其他地方是否也存在类似的概念。我的猜测将是拓扑结构-但是由于缺乏背景，我什么也不能说。 我对此感到好奇的主要原因是，当我第一次阅读它的定义时，我不确定有人为什么会以及如何构想它以及达到什么目的。如果问题仍然不清楚，我将最终尝试以这种方式进行说明-让我们假装不存在树宽的概念。什么是离散设置的自然问题（或某些数学定理/概念的扩展）会导致人们将定义（如涉及的词）定义为树宽。
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树宽和NL vs L问题
ST-连通性是确定有向图G （V ，E ）中两个不同的顶点和t之间是否存在有向路径的问题。这个问题是否可以在日志空间中解决是一个长期存在的开放问题。这称为N L vs L问题。ssstttG(V,E)G(V,E)G(V,E)NLNLNLLLL 当的基础无向图具有树宽时，ST-连通性的复杂性是多少？GGG 难为人知吗？是否有一个上限？o(log2n)o(log2n)o({\log}^2n)
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重建猜想和偏二树
重建猜想说，图（至少具有三个顶点）是由其顶点删除的子图唯一确定的。这个猜想已有五十年历史了。 通过搜索相关文献，我发现以下几类图是可重构的： 树木 断开的图，补码断开的图 正则图 最大外平面图 最大平面图 外平面图 关键块 没有端点的可分离图 单环图（一个周期的图） 非平凡笛卡尔积图 树木方块 双度图 单位间隔图 阈值图 几乎非循环的图（即，Gv是非循环的） 仙人掌图 顶点删除的图之一是森林的图。 我最近证明了局部2树的一种特殊情况是可重构的。我想知道是否知道部分2树（又称串联图）是可重构的。偏二叉树似乎不属于上述任何类别。 我是否还缺少上面列表中的其他任何已知类的可重构图？ 特别是，是否知道部分2树可重构？
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确定平面图树宽的计算复杂度是否仍然开放？
对于常数，可以在给定输入图线性时间内确定其树宽是否为。但是，当同时给出和作为输入时，问题就很困难。（来源）。 ģk∈Nk∈Nk \in \mathbb{N}GGGķ ģ≤k≤k\leq kkkkGGG 但是，当输入图是平面时，似乎对复杂性知之甚少。这个问题显然是开在2010年，一个声称也出现在本次调查于2007年和分支分解的维基百科页面。相反，在先前提到的调查的较早版本中，该问题被称为NP困难（无参考证据），但我认为这是一个错误。 给定和平面图，确定具有树宽，确定问题的复杂性是否仍然开放？如果是的话，最近的一篇论文是否对此提出了要求？是否知道部分结果？如果不是，谁解决了？ ģ ģ ≤ ķk∈Nk∈Nk \in \mathbb{N}GGGGGG≤k≤k\leq k
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G（n，p）中随机图的树宽的方差有多大？
我试图找出当 并且是一个不依赖于n的常数时，和E [ t w （G ）]到底有多接近。因此）。我的估计是 whp，但我无法证明这一点。吨瓦特（ģ ）tw(G)tw(G)Ë[ t w （G ）]E[tw(G)]E[tw(G)]ç > 1 ë [ 吨瓦特（ģ ）] = Θ （Ñ ）吨瓦特（ģ ）≤ È [ 吨瓦特（ģ ）] + Ö （Ñ ）G∈G(n,p=c/n)G∈G(n,p=c/n)G \in G(n,p=c/n)c>1c>1c>1E[tw(G)]=Θ(n)E[tw(G)]=Θ(n)E[tw(G)] = \Theta(n)tw(G)≤E[ t w （G ）] + o （n ）tw(G)≤E[tw(G)]+o(n)tw(G) \leq E[tw(G)] + o(n)
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具有有限树宽的图上的Logspace算法
树的宽度衡量图形与树的接近程度。NP很难计算树的宽度。最著名的近似算法达到因子。O(logn−−−−√)O(logn)O(\sqrt{{\log}n}) Courcelle定理指出，可以在线性时间上，在任何有界树宽图上，在一元二阶逻辑（MSO2）中定义的图的任何属性。最近的一篇论文表明，用“ logspace”代替“ linear time”时，Courcelle定理仍然成立。但是，这不能解决树有界树图上图同构的空间复杂性。最著名的结果将其放入LogCFL。 还有其他问题吗？ 一般图上的NP-hard（或在P中未知），以及 已知在有界树宽的图上可以在线性/多项式时间内求解，并且 不知道在LogSpace中吗？
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路径宽度比树宽度的算法优势
树宽在FPT算法中起着重要作用，部分原因是许多问题是通过树宽参数化FPT的。一个更严格的相关概念是路径宽度。如果图的路径宽度为，则它的树宽度也最多为，而在相反的方向上，树宽仅仅意味着路径宽度最多为，这很紧密。k k k log nkkkkkkkkkklognklog⁡nk\log n 鉴于以上所述，人们可以期望边界路径宽度的图形可能具有显着的算法优势。但是，对于一个参数来说，大多数问题是FPT，而对于另一个参数来说，似乎是大多数问题。我很想知道与此有关的任何反例，即对于路径宽度“容易”但对于树宽“困难”的问题。 让我提及，我被Igor Razgon撰写的最近一篇论文（“关于有界树宽的CNF的OBDDs”，KR'14）所激发，提出了一个有关问题的示例。溶液时是pathwidth和（粗略地）下界时是树宽。我想知道是否还有其他标本行为。2kn2kn2^{k}nkkknknkn^kkkk 简介：有没有自然问题的示例，这些问题是由树宽参数化为W困​​难，而由路径宽度参数化为FPT？更广泛地讲，是否存在一些示例的问题，这些问题的复杂度在用路径宽度（而不是树宽）进行参数化时被认为/被认为会更好？
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是什么将有界树宽图上的简单全局问题与硬全局问题区分开来的？
在有界树宽图上的多项式时间内可以解决许多硬图问题。确实，教科书通常以独立集为例，这是一个局部问题。大致而言，局部问题是可以通过检查每个顶点的一些小邻域来验证其解决方案的问题。 有趣的是，对于有界的树宽图，即使是全局性的问题（例如汉密尔顿路径）也可以有效地解决。对于此类问题，常规的动态编程算法必须跟踪解决方案可以遍历树分解的相应分隔符的所有方式（例如，参见[1]）。在[1]中给出了随机算法（基于所谓的cut'n'count），在[2]中开发了改进的（甚至是确定性的）算法。 我不知道可以这么说，但对于有界树宽图，至少可以有效地解决一些全局问题。那么在这些图表上仍然很难解决的问题呢？我假设它们也是全球性的，但是还有什么呢？是什么将这些棘手的全球性问题与可以有效解决的全球性问题区分开来？例如，为什么已知方法无法为我们提供有效的算法，为什么？ 例如，可以考虑以下问题： 边缘预着色扩展给定具有某些边缘着色的图GGG，请确定是否可以将此着色扩展为图的适当边缘着色。kkkGGG 边缘预着色扩展（及其列表边缘着色变体）对于二部串平行图[3]（此类图的树宽最多2）是NP完整的。 最小总和边缘着色给定一个图，找到一个边缘着色使得如果和具有共同的顶点，则。目的是最小化着色总和。G=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)χ:E→Nχ:E→N\chi : E \to \mathbb{N}e1e1e_1e2e2e_2χ(e1)≠χ(e2)χ(e1)≠χ(e2)\chi(e_1) \neq \chi(e_2)E′χ(E)=∑e∈Eχ(e)Eχ′(E)=∑e∈Eχ(e)E'_\chi(E) = \sum_{e \in E} \chi(e) 换句话说，我们必须将正整数分配给图的边，以使相邻边接收不同的整数，并且分配的数字之和最小。对于部分2树[4]（即树宽图最多2个），这个问题是NP难的。 其他此类难题包括边缘不相交路径问题，子图同构问题和带宽问题（例如，参见[5]及其参考文献）。对于即使在树木上仍然难以解决的问题，请参见此问题。 [1] Cygan，M.，Nederlof，J.，Pilipczuk，M.，van Rooij，JM和Wojtaszczyk，JO（2011年10月）。解决在单个指数时间内由树宽参数化的连接问题。在计算机科学基金会（FOCS），2011 IEEE第52届年度研讨会上（pp。150-159）。IEEE。 [2] Bodlaender，HL，Cygan，M.，Kratsch，S.，＆Nederlof，J.（2013）。确定性单指数时间算法，用于由树宽参数化的连接性问题。在《自动机，语言和程序设计》（第196-207页）中。施普林格·柏林·海德堡。 [3] Marx，D.（2005）。平面图边缘上的列表着色和预着色扩展的NP完整性。图论杂志，49（4），313-324。 [4] 马克思，D。（2009）。复杂性导致最小的求和边缘着色。离散应用数学，157（5），1034-1045。 [5] Nishizeki，T.，Vygen，J.，＆Zhou，X.（2001）。边不相交的路径问题对于串并联图是NP完全的。离散应用数学，115（1），177-186。
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Max-Sat的多项式时间可解实例
问题Max-Sat要求您找到一个CNF公式的赋值，该赋值满足尽可能多的子句。 对于较简单的问题SAT，有许多已知的特殊情况可以在多项式时间内求解，例如，我们可以在多项式时间内求解2-SAT。 对于Max-Sat，情况有所不同，因为即使对于2-CNF公式，Max-Sat也是NP难点（每个子句仅包含2个变量）。 Max-Sat是多项式的任何有趣的特殊输入吗？ 特别是当操作图限制树宽时，我将对解决Max-Sat的标准参考感兴趣。
18 sat  treewidth  max2sat 
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快速树宽算法
我想计算图的树宽。对于其他NP硬图问题，例如用于子图同构的VF2，确实有很好的启发法，例如在igraph中可用的代码。我在图形上尝试了它们，发现它们对我的数据运行非常快。 有没有类似的方法可以快速计算树宽？
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局部有界树宽图的推广
以下图类在文献中是否已知？ 类图的由正整数参数和和包含每个图形，使得对于每个顶点，的子图至多诱导上在距离所有顶点从在树宽最大为。dddŤŤtG = （V，E）G=（V，Ë）G=(V,E)v ∈ Vv∈Vv\in VGGGdddvvvGGGŤŤt 它概括了局部有界树宽的概念，在搜索图形中的局部结构时似乎很有用。
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有界树宽图的禁止未成年人
这个问题类似于一个我以前的问题。已知对于最大t的树宽图，是禁止的未成年人。Kt+2Kt+2K_{t+2}ttt 是否有一个结构良好，参数化的无穷系列图（除了完整图和网格图以外），对于每个树宽图，它们都是最小的禁止未成年人。换句话说，在r个顶点上是否存在显式图（这不是完整图），从而对于最多r的树宽图，G r是禁止的未成年人，其中r是t的函数？GrGrG_rrrrGrGrG_rrrrrrrttt 完整的禁止未成年人的树宽图最多为三个。有关更多详细信息，请参见此Wikipedia文章。 是否知道最多四个树宽图的禁止未成年人的完整集合？
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使最小宽度树分解趋于多项式时间
众所周知，图的树分解由树和每个顶点的关联包，满足以下条件：GGGTTTTv⊆V(G)Tv⊆V(G)T_v \subseteq V(G)v∈V(T)v∈V(T)v \in V(T) 每个顶点都在某个包中。GGGTTT 对于每个边缘，都有一个包含边缘两个端点的袋子。GGG 对于每个顶点，包含的袋子都诱导出的连接子树。v∈V(G)v∈V(G)v \in V(G)vvvTTT 我们还可能需要从分解中获得以下条件，称为“ 稀薄度”： 对于每对袋的，的，如果和与，则a）有顶点不相交的路径，或b）树T在从节点a到节点b的路径上包含边p q，使得| V （Ť p）∩ V （Ť q）| ≤ ķ和设定VTaTaT_aTbTbT_bTTTA⊆TaA⊆TaA \subseteq T_aB⊆TbB⊆TbB \subseteq T_b|A|=|B|=k|A|=|B|=k|A| = |B| = kkkkA−BA−BA-BGGGTTTpqpqpqaaabbb|V(Tp)∩V(Tq)|≤k|V(Tp)∩V(Tq)|≤k|V(T_p) \cap V(T_q)| \leq k相交所有在路径。V(Tp)∩V(Tq)V(Tp)∩V(Tq)V(T_p) \cap V(T_q)A−BA−BA-BGGG 罗宾·托马斯（Robin Thomas）表明，总是存在最小宽度的树分解，而且这种分解也是精简的，并且由多个作者（例如Patrick Patrickenen和Reinhard Diestel）提供了对此事实的简单证明。 我感兴趣的是：给定图和最小宽度的树分解，我们可以发现一个最小宽度 瘦的树分解在多项式时间？GGGGGGGGG 提到的两个证明不能产生如此有效的建设性。在贝伦鲍姆和迪埃斯特尔的论文中，提到“在托马斯定理的另一个（更具建设性的）简短证明中，P。贝伦鲍姆，Schlanke Baumzerlegungen von Graphen，汉堡大学的Diplomarbeit，2000年”。las，我无法在线上找到该手稿，而我的德语不是那么好。
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