理论计算机科学

理论计算机科学家和相关领域的研究人员的问答

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整数分解问题比RSA分解难吗：？
这是来自math.stackexchange的交叉文章。 让FACT表示整数分解问题：给定找到素数整数使得p 我 ∈ Ñ，ê 我 ∈ Ñ，Ñ = Π ķ 我= 0 p ë 我我。n∈N,n∈N,n \in \mathbb{N},pi∈N,pi∈N,p_i \in \mathbb{N},ei∈N,ei∈N,e_i \in \mathbb{N},n=∏ki=0peii.n=∏i=0kpiei.n = \prod_{i=0}^{k} p_{i}^{e_i}. 让RSA表示因式分解问题的特殊情况，其中和是质数。也就是说，如果没有这样的因式分解，则给定素数或NONE。p ，q n p ，qn=pqn=pqn = pqp,qp,qp,qnnnp,qp,qp,q 显然，RSA是FACT的一个实例。FACT比RSA难吗？给定一个可以在多项式时间内求解RSA的预言机，是否可以将其用于在多项式时间内求解FACT？ （非常感谢文学的指针。） 编辑1：添加了对计算能力的限制，即多项式时间。 编辑2：正如丹·布鲁姆利夫（Dan Brumleve）的回答所指出的那样，有一些论点支持和反对RSA比FACT更难（或更容易）。到目前为止，我发现了以下论文： D. Boneh和R. Venkatesan。破解RSA可能比分解更容易。1998年EUROCRYPT http://crypto.stanford.edu/~dabo/papers/no_rsa_red.pdf D. Brown：破解RSA可能和分解一样困难。Cryptology ePrint Archive，Report 205/380（2006）http://eprint.iacr.org/2005/380.pdf G. Leander和A. Rupp。关于通用环算法的RSA等价和因式分解。2006年ASIACRYPT http://www.iacr.org/archive/asiacrypt2006/42840239/42840239.pdf …
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为什么mod_m门很有趣？
瑞安·威廉姆斯（Ryan Williams）刚刚在ACC上发布了下界，该类问题具有恒定深度的电路，具有无限扇入和门AND，OR，NOT和MOD_m，适用于所有可能的m。 MOD_m门有什么特别之处？ 它们允许模拟任何环Z_m上的算术。 在Ryan得出结果之前，将MOD_m门加到混合中得到了第一类，但已知的下界不起作用。 还有其他自然原因来研究MOD_m门吗？
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需要多少种不同的颜色来降低图表的选择能力？
如果对于将顶点映射到种颜色的每个函数有一个颜色分配，从而对于所有顶点，，则图是可选择的（也称为 -list- colorable，这样，对于所有边，。ķ ˚F ķ Ç v Ç （v ）∈ ˚F （v ）v 瓦特Ç （v ）≠ Ç （瓦特）kkkkkkfffkkkcccvvvc(v)∈f(v)c(v)∈f(v)c(v)\in f(v)vwvwvwc(v)≠c(w)c(v)≠c(w)c(v)\ne c(w) 现在假设图不是可选择的。也就是说，存在从顶点到颜色的元组的函数，该函数没有有效的颜色分配。我想知道的是，总共需要多少种颜色？可以有多小？是否存在一个数字（与无关），这样可以保证我们找到仅使用不同颜色的不可着色的？ķ ˚F ķ Ç ∪ v ∈ ģ ˚F （v ）Ñ （ķ ）ģ ˚F Ñ （ķ ）GGGkkkfffkkkccc∪v∈Gf(v)∪v∈Gf(v)\cup_{v\in G}f(v)N(k)N(k)N(k)GGGfffN(k)N(k)N(k) 与CS的相关性是，如果存在，我们可以在单指数时间内测试常数选择性（只需尝试f的所有\ binom {N（k）} {k} ^ n个选择，然后对于每个检查，检查它是否可以在时间k ^ nn ^ {O（1）}中着色），否则可能需要像n ^ {kn}这样更快地生长的东西。k …
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真正的随机数生成器：图灵可计算吗？
我正在寻找一个确定的答案，即“真正随机”数的生成是否是图灵可计算的。我不知道该怎么说。 关于“用于生成随机数的有效算法”的StackExchange问​​题几乎可以回答我的问题。查尔斯·斯图尔特（Charles Stewart）在回答中说：“ [马丁·洛夫随机性]不能由机器产生。” 罗斯·斯尼德（Ross Snider）表示：“任何确定性过程（例如图灵/套准机）都不能产生“哲学”或“真实”随机数。” 关于什么才是真正的随机数生成器，是否有一个明确的公认概念？如果是这样，是否知道它不能由图灵机计算？ 也许将我指向相关文献就足够了。感谢您的任何帮助，您可以提供！ 编辑。感谢Ian和Aaron的丰富知识！我在这方面没有受过教育，因此我很感谢您的协助。如果我可以在此附录中稍微扩展一下这个问题：是一种可以访问纯随机性源（TM）的TM可以计算传统TM无法实现的函数吗？
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在理论上使用纠错码
除了纠错本身以外，纠错码在理论上还有什么应用？我知道以下三个应用程序：关于硬核钻头的Goldreich-Levin定理，Trevisan的提取器构造和布尔函数硬度的放大（由Sudan-Trevisan-Vadhan撰写）。 纠错码的其他“严肃”或“娱乐”应用是什么？ UPD：Reed-Solomon码的列表解码的一个有趣应用是对20个问题游戏的特定变体（以及另一个更直接的变体）的解决方案。
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单作者论文违反了我的顾问的意愿？
我是理论CS领域的三年级博士生，想和我的顾问一起为遇到困难的情况提供建议。 我的顾问根本不参与我的研究项目。特别是，我提出了所有的论文构想，并且仅执行了论文。但是，她始终坚持将自己的名字添加为合著者。这一点开始让我感到困扰，因为我非常努力地（独自）从事研究工作，并相信我应该为此感到赞赏。此外，她是个欺负者，对我的态度很恶劣，因此，我很难以这种方式使她受益。 在我的最新论文中，我提出了自己不相信她达到IEEE 1或ACM 2著作权准则的想法，并告诉她我认为我应该是论文的唯一作者。她同意她不应该当作家，尽管她显然很生气。她说我做这件事很“怪异”，并说每个人都已经知道顾问为学生的工作而赞誉，与您的顾问一起发表与单独发表一样。但最重要的是，她告诉我，如果我不将自己的名字添加到其他几篇顶级论文中，她将不会批准我的提议/论文，因为那样的话，我就“与大学没有任何联系”，因为我没有和教授一起工作，因此无法获得我的博士学位。 显然，我需要一个新的顾问。但是，在我的研究领域，我的部门中确实没有人。切换研究领域或部门不是选择。因此，其余选项如下： （1）将她的名字添加到其他几篇论文中。我不喜欢这个想法，因为它是不道德的，并且不能保证在此选项中甚至可以获得任何好处。最后，当我收到一堆文件后，她可能根本拒绝推荐我。 （2）忽略她的威胁，在发表单作者论文时强迫我完成博士学位。我不相信她会阻止我毕业，因为我已经拥有不错的出版记录，并且大概会继续从事我的工作。我有一个研究金，所以她无法控制我的资金。显然，在这种情况下，我不会收到推荐信。另一方面，我将有一堆单作者论文。 （3）设法说服一个无关领域的教授担任我的顾问，强调我是独立的并且可以独自完成工作。我的部门中有一些理论教授，尽管他们是完全不同的领域。我不知道这个解决的机会。 （4）到部门主席讲故事，问该怎么办。 你觉得我该怎么做？
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学习GCT的前提条件
似乎几何复杂性理论需要大量纯数学知识，例如代数几何，表示论。 虽然我是一名CS学生，并且没有非常抽象和纯粹的数学课程，但我对该程序很感兴趣。 是否有用于学习该理论的“最少知识”列表？ 此列表包括CS或数学部门的讲义，任何期刊或会议的调查以及纯数学教科书。 [ 编辑：以后添加 ]感谢您的评论。 一般计算理论：我读了Sipser的书，标题为“计算理论导论” 复杂性理论：特别是，我对降低复杂性的具体模型感兴趣。因此，我阅读了Arora-Barak教科书中的“具体下界”部分。在Nisan撰写的通信复杂性书的几章中，我也有基本的知识。 基础数学：我已经学习了基于证明的线性代数，例如向量空间的一般定义等，以及基于epsilon-delta参数的精确计算参数。 代数：我了解了组，环和域的定义和示例。我有一班面向CS学生的课程，还没有了解这种代数系统的一般理论。
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Mulmuley的GCT计划
有时有人称Ketan Mulmuley的“几何复杂性理论”是解决诸如P对NP问题之类的复杂性理论的开放问题的唯一可行程序。著名的复杂性理论家对该程序有一些正面评论。根据Mulmuley的说法，要获得所需的结果将花费很长时间。对于一般的复杂性理论家来说，进入该领域并不容易，并且需要相当大的努力才能掌握代数几何和表示理论。 为什么GCT被认为能够解决P对NP？如果预计要超过100年才能到达，索赔的价值是多少？与目前的其他方法相比，它的优势是什么？在接下来的100年中可能会出现哪些优势？ 程序的当前状态是什么？ 该计划的下一个目标是什么？ 是否对该程序有任何根本性的批评？ 我更喜欢一般复杂性理论家可以理解的答案，并假设其具有代数几何和表示理论的最低背景知识。
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Han's
有谁熟悉韩一杰的线性空间整数排序算法吗？这个结果出现在一篇相当短的论文中（在O （n log log n ）时间和线性空间中进行确定性排序。J。Alg。50：96–105，2004），该论文基本上将许多早期的结果结合在一起，并进行了适当的修改。我的问题是，它是用相当挥手的方式编写的，而没有涉及任何细节。它在很大程度上依赖于以前的论文，其中最著名的是Han（线性空间中改进的快速整数排序）Ø （ñ 日志日志n ）O(nlog⁡log⁡n)O(n \log\log n)Ø （ñ 日志日志n ）O(nlog⁡log⁡n)O(n \log\log n)。信息和计算170（1）：81–94）的写作风格大致相同。我在理解这两篇论文时遇到了很大的困难，尤其是它们适应和使用先前结果的方式。我将不胜感激任何帮助。 当然，这个问题太宽泛和含糊，以至于不能将其视为一个适当的问题，但是我希望围绕几个重点明确的问题和答案展开讨论。 首先，这是我的第一个具体问题。在信息的引理2中。比较 论文中有一种递归的时间算法，用于在n个小整数的集合中找到第m个最小的整数，每个小整数将k填充到RAM字中。该算法的描述未提及如何处理基本情况k = O （n ）。在这种情况下，需要以O （log k ）时间进行选择。如何才能做到这一点？O （n / k 对数k ）O(n/klog⁡k)O(n/k \log k)ñnnķkkk = O （n ）k=O(n)k=O(n)O （对数k ）O(log⁡k)O(\log k)
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Church-Turing论文在交互式计算模型中的适用性
保罗·韦格纳（Paul Wegner）和狄娜·高丁（Dina Goldin）十多年来一直在发表论文和书籍，主要论证的是“ Church-Turing”论题在CS理论界和其他地方常常被歪曲。就是说，它实际上涵盖了所有计算，而实际上仅适用于函数计算，这是所有计算的很小一部分。相反，他们建议我们应该尝试对交互式计算进行建模，其中在计算过程中会与外界进行通信。 我对这项工作的唯一评论是在Lambda Ultimate论坛中，有人对这些作者不断发表的东西表示感叹。那么我的问题是，对这种思维方式，尤其是他们的持久性图灵机，是否还有更多的批评。如果没有，那为什么它似乎研究得很少（我可能会误会）。最后，普遍性的概念如何转化为互动领域。
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NP-hard问题的最优贪心算法
贪婪，因为没有更好的词，是好的。入门算法课程中最早教授的算法范例之一是贪婪方法。贪婪方法可得出针对P中许多问题的简单直观算法。更有趣的是，对于某些NP难问题，显而易见的自然贪婪/局部算法会（在适当的复杂性理论假设下）产生（证明）最佳逼近因子。一个经典的例子是“ 设置封面问题”。自然贪婪算法给出O（ln n）近似因子，除非P = NP，否则它是最佳的。 列举一些自然的贪婪/局部算法，以解决NP难题，这些问题在适当的复杂性理论假设下可证明是最优的。
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是否有没有归纳法可以捕获大量P的逻辑？
所述Immerman-瓦迪定理指出PTIME（或P）恰恰可以由一阶逻辑的一个句子连同一个定点操作进行描述，在所述类有序结构的类的语言。定点算子可以是最小定点（Immerman和Vardi认为），也可以是通货膨胀定点。（斯蒂芬·克罗伊策（Stephan Kreutzer），最小和膨胀定点逻辑的表达等价，《纯粹逻辑和应用逻辑纪事》130 61–78，2004年。 尤里·古列维奇（Yuri Gurevich）猜想没有逻辑捕捉PTIME（《逻辑与计算机科学的挑战》，《理论计算机科学的最新趋势》，埃贡·博格编辑，1-57，计算机科学出版社，1988年），而马丁·格罗（Martin Grohe）则表示不确定性（寻求逻辑捕获PTIME的追求，FOCS 2008）。 定点运算符旨在捕获递归的功能。定点功能强大，但是对我而言，定点不是必需的。 是否存在不基于定点的运算符X，这样FOL + X会捕获PTIME的（大）片段？ 编辑：据我了解，线性逻辑只能表达关于具有严格限制形式的结构的陈述。理想情况下，我希望看到对逻辑的引用或草图，该逻辑可以表达任意关系结构集的属性，同时仍然避免不动点。如果我对线性逻辑的表达能力有误，那么将欢迎使用指针或提示。
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暗示四色定理的猜想
四色定理（4CT）指出每个平面图都是四个可着色的。[Appel，Haken 1976]和[Robertson，Sanders，Seymour，Thomas 1997]给出了两个证明。这两个证明都是计算机辅助的，非常令人生畏。 图论中有几个推测暗示4CT。解决这些猜想可能需要更好地理解4CT的证明。这是一个这样的猜想： 猜想：令为平面图，令C为一组颜色，而f ：C → C为定点自由对合。让大号= （大号v：v ∈ V （G ^ ））是这样的GGGCCCF：C→ Cf:C→Cf : C \rightarrow CL = （Lv：v ∈ V（G ））L=(Lv:v∈V(G))L = (L_v : v \in V(G)) 针对所有 v ∈ V和| 大号v| ≥4|Lv|≥4|L_v| \geq 4v ∈ Vv∈Vv \in V 如果然后˚F （α ）∈ 大号v对于所有v ∈ V，对于所有的α ∈ Ç。α …
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面向高年级学生的励志演讲
我的系经常要求我与高中毕业的学生就计算机科学的更多数学元素进行讲座。我尽我所能从TCS中选择主题，这些主题可能会激发他们的兴趣（主要涉及与Halting问题有关的事情），但希望听到其他人的想法/成功/失败。 职权范围是这些学生正在考虑在一家体面的大学申请CS本科学位，但可能更受数学或另一门科学的吸引。我发现最短路径算法或更快的排序方法的常规主题实际上并不能再引起他们的兴趣。
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