理论计算机科学

让 d:{0,1}k×{0,1}k→Rd:{0,1}k×{0,1}k→Rd:\{0,1\}^k\times \{0,1\}^k \to \mathbb{R}是我们称为相似函数的函数。相似度函数的例子有余弦距离，l2l2l_2 范数，汉明距离，Jaccard相似度等。 考虑 nnn 长度的二进制向量 kkk： v⃗ ∈({0,1}k)nv→∈({0,1}k)n\vec{v} \in (\{0,1\}^k)^n。 我们的目标是对相似的向量进行分组。更正式地说，我们要计算一个相似度图，其中节点是向量，边表示相似的向量（d(v,u)≤ϵd(v,u)≤ϵd(v,u) \leq \epsilon）。 nnn 和 kkk 是非常大的数字，并且比较两个长度 kkk 向量很昂贵，我们不能做所有的蛮力 O(n2)O(n2)O(n^2)操作。我们想要用更少的操作来计算相似度图。 这可能吗？如果不能，我们可以计算出一个近似图，其中包含相似图中的所有边加上最多O(1)O(1)O(1) 其他边缘？

9 ds.algorithms  graph-algorithms  clustering 

什么是最快的已知无向图同构算法？

9 cc.complexity-theory  reference-request  graph-algorithms  graph-isomorphism 

关于在某个有限域上求解线性方程组的复杂性，人们知道什么？我知道有一个O(n3)O(n3)O(n^3)计算解决方案的算法（Gauss），对于稀疏系统，甚至有更好的算法。但是，我想知道这个问题是否存在某种复杂性理论。例如，是否存在相应的决策问题？是否对任何复杂性课程都完整？NCNC\mathbf{NC}

9 cc.complexity-theory  linear-equations 

彩色图形可以描述为元组 (G,c)(G,c)(G,c) 哪里 GGG 是图 c:V(G)→Nc:V(G)→Nc : V(G) \rightarrow \mathbb{N}是着色。两个彩色的图(G,c)(G,c)(G,c) 和 (H,d)(H,d)(H,d) 如果存在同构，则被称为同构 π:V(G)→V(H)π:V(G)→V(H)\pi : V(G) \rightarrow V(H) 这样就可以遵守颜色 c(v)=d(π(v))c(v)=d(π(v))c(v) = d(\pi(v)) 对所有人 v∈V(G)v∈V(G)v \in V(G)。 这个概念在非常严格的意义上捕获了彩色图形的同构。考虑以下情况：您有两个相同区域的政治地图，但是它们使用不同的颜色集。如果问他们是否以相同的方式着色，则可以认为这意味着在两个颜色集之间是否存在双射映射，使得两个映射的颜色通过该映射重合。可以通过将彩色图形描述为元组来形式化此概念(G,∼)(G,∼)(G,\sim) 哪里 ∼∼\sim 是在的顶点集上的等价关系 GGG。然后我们可以说两个这样的图(G,∼1)(G,∼1)(G,\sim_1) 和 (H,∼2)(H,∼2)(H,\sim_2) 如果存在同构，则是同构的 π:V(G)→V(H)π:V(G)→V(H)\pi : V(G) \rightarrow V(H) 这样对于所有对 v1,v2∈V(G)v1,v2∈V(G)v_1,v_2 \in V(G) 它认为 v1∼1v2 iff π(v1)∼2π(v2)v1∼1v2 iff π(v1)∼2π(v2)v_1 \sim_1 …

9 terminology  graph-isomorphism  equivalence 

令是由大小为的算术电路给出的多项式。鉴于作为输入，是否有确定的算法，以检查是否所有的不可约因子在是线性形式？与此相关的是，给定线性形式，我们可以确定地检查是否为因子。当然，在两种情况下，我们都希望运行时间是多项式。所谓大小，是指总位大小。此外，可以假设的阶数是多项式f∈Q[x1,x2,…,xn]f∈Q[x1,x2,…,xn]f\in\mathbb{Q}[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}]CCCsssCCCfffQ[x1,x2,…,xn]Q[x1,x2,…,xn]\mathbb{Q}[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}]l=∑ni=1li⋅xil=∑i=1nli⋅xil=\sum_{i=1}^{n}l_{i}\cdot x_{i}lllffffffnnn。

9 ds.algorithms  algebraic-complexity  arithmetic-circuits 

说我们有一个布尔函数 f:{−1,1}n→{−1,1}f:{−1,1}n→{−1,1}f:\{-1,1\}^n\rightarrow \{-1,1\} 我们申请 δδ\delta-随机限制 fff。另外，说决策树TTT 计算 fff 缩小到大小 O(1)O(1)O(1)由于随机限制。这是否意味着fff 总影响力很低？

9 cc.complexity-theory  co.combinatorics  circuit-complexity  boolean-functions 

我很抱歉，这是一个“软”问题。 信息论没有计算复杂性的概念。例如，SAT实例或SAT实例加上表示可满足性的位携带相同数量的信息。 有没有办法使“多项式可知”的概念形式化？ 这样的框架可以将例如随机变量X相对Y之间的多项式KL散度的概念定义为在给定Y的情况下在多项式时间内计算X所需的位数。 同样，可以将随机变量X的熵定义为以可以在多项式时间内解码的方式对X进行编码所需的位数。 是否研究过这样的概括？可以使其一致吗？

9 cc.complexity-theory  it.information-theory  polynomial-time 

不明确的 CFG与所有CFG的比率是多少？ 由于这两个集合都是无穷大的，因此比率不明确。但是渐近密度呢： 林ñ ↦ ∞＃ 大小小于n的模糊CFG＃ 尺寸的CFG &lt; Ñlimn↦∞# ambiguous CFG of size&lt;n# CFG of size&lt;n\lim_{n \mapsto \infty}\frac {\# \text{ ambiguous CFG of size} < n} {\# \text{ CFG of size} < n} 其中终端和非终端符号来自固定的可计数集合。 语法的大小是语法大小的任何合理概念，例如 生产规则中变量和终止的总出现次数，或 变量出现的总数，或 生产规则总数，或 不同变量的数量。 （我假设大小的定义不会影响答案。）

9 fl.formal-languages  grammars  context-free 

电路中两个n位整数相乘的门数的最佳结果是什么？ 最明显的方法是生成门。有和门的更好方法。θ(n2)θ(n2)\theta(n^2)θ(nlognloglogñ)θ(nlog⁡ñ日志⁡日志⁡ñ）\theta(n\log n \log\log n)θ （Ñ 日志ñ2日志∗（n ））θ（ñ日志⁡ñ2日志∗⁡（ñ））\theta(n\log n2^{\log^*(n)}) 我找不到任何可以处理门的乘法的布尔电路系列。我想知道是否存在这样的电路家族。n 日志ññ日志⁡ñn\log n

9 cc.complexity-theory  circuit-complexity 

我想将一组点分成两个大小相等的子集，以使簇内平方和最小。我们可以假设这些点在二维欧几里得空间中。考虑到k = d = 2，我希望比一般的k-均值聚类算法更快。谁能为此指出一个好的算法的方向？ 如果我们有一个很好的近似值，则不需要精确的解决方案。 谢谢！

9 ds.algorithms  approximation-algorithms  clustering 

大多数从属类型系统对于归纳类型都具有严格的阳性条件。有人知道违反条件会导致系统不一致的例子吗？

9 lo.logic  type-theory  dependent-type 

甲同态从图中G=(V,E)G=(V,E)G = (V, E) 到图 G′=(V′,E′)G′=(V′,E′)G' = (V', E') 是一个映射 fff 从 VVV 至 V′V′V' 这样，如果 xxx 和 yyy 在附近 EEE 然后 f(x)f(x)f(x) 和 f(y)f(y)f(y) 在附近 E′E′E'。一个自同态的曲线图的GGG 是来自的同态 GGG本身 如果没有，它是无定点的xxx 这样 f(x)=xf(x)=xf(x) = x如果不是身份，这是不平凡的。 我最近问了一个与位姿（和图）自同构有关的问题，即双射内同构，其反过来也是内同构。我发现了有关计数（并确定是否存在）同态的相关工作，但搜索找不到与同形有关的任何结果。 因此，我的问题是：给定图表，复杂度是多少GGG，决定是否存在一个非平凡的内同态 GGG，或计算同构数目？无定点无内同态的相同问题。 我认为此答案中给出的论点扩展到内同态，并证明有向二部图或位姿的情况并不比一般图的问题容易（一般图的问题减少到这种情况），但它的复杂性没有似乎很容易确定。众所周知，确定从一个图到另一个图是否存在同态性是NP难的（这很容易理解，因为它概括了图的颜色），但是似乎将搜索范围限制为从图到其自身的同态性可能会使问题变得更容易，因此，这无助于我确定这些问题的复杂性。

9 cc.complexity-theory  graph-algorithms  counting-complexity  graph-isomorphism  homomorphism 

考虑经典的＃P-完全问题＃3SAT，即计算使3CNF与 ñnn变量可以满足。我对加法近似性感兴趣。显然，有一个简单的算法可以实现2n − 12n−12^{n-1}-错误，但是如果 k &lt;2n − 1k&lt;2n−1k<2^{n-1}，是否可能有一个有效的近似算法，还是这个问题也是＃P-hard？

9 approximation-algorithms  sat  counting-complexity  approximation-hardness 

已经有几个问题（1，2，3约在这里传递完成），这让我觉得如果这样的事情是可能的： 假设我们得到一个有向图的输入，并想回答“GGG(u,v)∈G+(u,v)∈G+(u,v)\in G^+？”，即询问图的传递完成中两个顶点之间是否存在边 GGG？（等效地，“是否存在从uuu 至 vvv 在 GGG？”）。 给定后 GGG 您可以及时运行预处理 f(n,m)f(n,m)f(n,m) 然后需要及时回答查询 g(n,m)g(n,m)g(n,m)。 显然，如果 f=0f=0f=0 （即不允许进行预处理），最好的办法是及时回答查询 g(n)=Ω(n+m)g(n)=Ω(n+m)g(n)=\Omega(n+m)。（从运行DFSuuu 至 vvv 并返回true（如果存在路径）。 另一个琐碎的结果是，如果 f=Ω(min{n⋅m,nω})f=Ω(min{n⋅m,nω})f=\Omega(min\{n\cdot m,n^\omega\})，您可以计算可传递闭包，然后在 O(1)O(1)O(1)。 中间的东西呢？如果允许，请说f=n2f=n2f=n^2 预处理时间，您可以比 O(m+n)O(m+n)O(m+n)？也许将其改进为O(n)O(n)O(n)？ 另一个变化是：假设您有 poly(n,m)poly(n,m)poly(n,m) 预处理时间，但仅 o(n2)o(n2)o(n^2) 空间，您是否可以使用预处理比以下方法更有效地回答查询 O(n+m)O(n+m)O(n+m)？ 我们可以说些什么吗？ f,gf,gf,g 可以回答此类查询的折衷方案？ 在GPS系统中考虑了一种类似的权衡结构，在该系统中，不可能拥有位置之间所有成对距离的完整路由表，因此它使用了距离预言机的思想，该预言表存储了部分表，但在计算整个距离时可以显着提高查询速度图（通常只产生点之间的近似距离）。

9 graph-theory  graph-algorithms  space-time-tradeoff  transitive-closure 

在种植的派系问题中，必须恢复种植在Erdos-Renyi随机图的形。对于，大多数人都在研究它，在这种情况下，如果是已知的，那么多项式时间可解，而对于很难。kķkG(n,p)G（ñ，p）G(n,p)p=12p=1个2p=\frac{1}{2}k&gt;n−−√ķ&gt;ñk > \sqrt{n}k&lt;n−−√ķ&lt;ñk< \sqrt{n} 我的问题是：对其他值知道/相信什么？具体地说，当在是常数时。是否有证据表明，对于每个这样的值，存在一些，问题在计算上很困难？pppppp[0,1][0，1个][0,1]pppk=nαķ=ñαk=n^{\alpha} 引用将特别有帮助，因为我没有找到任何文献来研究以外的其他值的问题。p=12p=1个2p=\frac{1}{2}

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