理论计算机科学

理论计算机科学家和相关领域的研究人员的问答

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外部存储器的指数加速
背景 外部存储器或DAM模型通过其执行的I / O数量（本质上是高速缓存未命中的数量）来定义算法的成本。这些运行时间通常以（内存大小）和（一次可以传输到内存的字数）的形式给出。有时和用于和分别。 M中号MB乙BL大号LZžZB乙BM中号M 例如，排序需要的成本，而朴素矩阵乘法则需要。 Θ(N/BlogM/BN/B)Θ（ñ/乙日志中号/乙⁡ñ/乙）\Theta(N/B\log_{M/B} N/B)Θ(n3/BM−−√)Θ（ñ3/乙中号）\Theta(n^3/B\sqrt{M}) 该模型被用来分析“缓存遗忘算法”，它不具备的知识，或。通常，目标是使不受缓存影响的算法在外部存储器模型中达到最佳性能。这并非总是可能的，例如在置换问题中（如Brodal，Faderberg所示，2003年）。请参阅Erik Demaine撰写的这篇文章，以进一步了解对缓存不了解的算法，包括有关排序和矩阵乘法的讨论。B乙BM中号M 我们可以看到，更改会导致排序的对数加速和矩阵乘法的多项式加速。（此结果最初来自Hong，Kung 1981，实际上早于缓存遗忘和外部存储器模型的形式化）。MMM 我的问题是这样的： 在任何情况下，提速都以为指数吗？运行时间将类似于。我对符合此描述但对缓存不了解的算法或数据结构特别感兴趣，但对缓存感知的算法/数据结构甚至是最著名的下限感到满意。MMMf(N,B)/2O(M)f(N,B)/2O(M)f(N,B)/2^{O(M)} 在大多数模型中，通常假设如果为输入大小并且显然，则单词大小。然后的加速比给出的多项式加速比。这使我相信，如果我要查找的问题存在，那不是多项式。（否则，我们可以通过更改常量的大小来获得恒定数量的I / O，这似乎不太可能）。w=Ω(logN)w=Ω(log⁡N)w = \Omega(\log N)NNNM>wM>wM > w2M2M2^MNNN
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精确学习与成员资格查询的组合表征
编辑：由于一周内未收到任何答复/评论，我想补充一点，我很高兴听到有关该问题的任何消息。我不在该地区工作，因此即使只是简单的观察，我可能也不知道。即使是诸如“我在该地区工作，但我还没有看到这样的特征”之类的评论也会有所帮助！ 背景： 学习理论中有几种经过充分研究的学习模型（例如PAC学习，在线学习，带有成员资格/对等查询的精确学习）。 例如，在PAC学习中，概念类的样本复杂度就该类的VC维而言具有很好的组合特征。因此，如果我们想学习具有恒定准确度和置信度的类，可以使用样本来完成，其中是VC维。（请注意，我们谈论的是样本复杂度，而不是时间复杂度。）在准确性和置信度方面，还有一个更精细的表征。同样，在线学习的错误界限模型具有很好的组合特征。Θ(d)Θ(d)\Theta(d)ddd 题： 我想知道类似结果是否适用于成员资格查询的精确学习模型。该模型的定义如下：我们可以访问一个黑盒，该黑盒在输入给出。我们知道来自一些概念类。我们想用尽可能少的查询来确定。xxxf(x)f(x)f(x)fffCCCfff 是否存在概念类的组合参数，以表征在具有成员资格查询的精确学习模型中学习概念所需的查询数量？CCC 我知道的： 我发现的最好的这种表征是Servedio和Gortler在本文中使用的，他们将其归因于Bshouty，Cleve，Gavaldà，Kannan和Tamon。他们定义了一个称为的组合参数γCγC\gamma^C，其中是概念类，具有以下属性。（让Q C为在此模型中学习C所需的最佳查询数。）CCCQCQCQ_CCCC QC=Ω(1/γC)QC=Ω(log|C|)QC=O(log|C|/γC)QC=Ω(1/γC)QC=Ω(log⁡|C|)QC=O(log⁡|C|/γC)Q_C = \Omega(1/\gamma^C)\qquad Q_C = \Omega(\log |C|) \qquad Q_C = O(\log |C|/\gamma^C) 这种表征几乎是严格的。但是，上限和下限之间可能存在二次间隙。例如，如果，则下限为Ω （k ），但上限为O （k 2）。（我也认为此差距是可以实现的，即存在一个概念类，其下限均为Ω （k ），但上限为O （k 2）。）1/γC=log|C|=k1/γC=log⁡|C|=k1/\gamma^C = \log |C| = kΩ(k)Ω(k)\Omega(k)O(k2)O(k2)O(k^2)Ω(k)Ω(k)\Omega(k)O(k2)O(k2)O(k^2)
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在波塞上学习单调谓词所需的最坏问题数量
考虑的有限偏序超过项，并且在一个未知的单调谓词（即，对于任何，，如果和然后）。我可以通过提供一个节点并确定成立来评估我的目标是使用最少的值来确定确切的节点的集合，从而使成立。(X,≤)(X,≤)(X, \leq)nnnPPPXXXxxxy∈Xy∈Xy \in XP(x)P(x)P(x)x≤yx≤yx \leq yP(y)P(y)P(y)PPPx∈Xx∈Xx \in XP(x)P(x)P(x)x∈Xx∈Xx \in XP(x)P(x)P(x)PPP尽可能。（我可以根据之前所有查询的答案选择查询，而无需提前计划所有查询。） 策略 over是一个函数，该函数根据我到目前为止所进行的查询以及它们的答案，告诉我要查询的节点以及通过遵循该策略来确保在任何谓词上告诉我，我将达到一种状态，在该状态下我知道所有节点上的值。运行时间的上的谓词是需要查询的数量就知道了值所有节点上。的最差运行时间是。最优策略使得。SSS(X,≤)(X,≤)(X, \leq)PPPPPPr(S,P)r(S,P)r(S, P)SSSPPPPPPSSSwr(S)=maxPr(S,P)wr(S)=maxPr(S,P)wr(S) = \max_P r(S, P)S′S′S'wr(S′)=minSwr(S)wr(S′)=minSwr(S)wr(S') = \min_S wr(S) 我的问题如下：作为输入的poset (X,≤)(X,≤)(X, \leq)，如何确定最佳策略的最差运行时间？ [很明显，对于一个空的poset，将需要nnn查询（我们需要询问每个单个节点），并且对于\ lceil \ log_2 n个\ rceil的总顺序⌈log2n⌉⌈log2⁡n⌉\lceil \log_2 n \rceil将是必需的（进行二进制搜索以查找边境）。一个更一般的结果是以下信息理论下限：谓词P的可能选择PPP数是（X，\ leq）的反链数N_X（因为单调谓词与A之间的一对一映射）反链解释为P的最大元素，因此，由于每个查询给我们提供了一点信息，因此我们至少需要\ lceil \ log_2 N_X \ rceilNXNXN_X(X,≤)(X,≤)(X, \leq)PPP⌈log2NX⌉⌈log2⁡NX⌉\lceil \log_2 N_X \rceil查询，并包含前两种情况。是束缚很紧吗，还是它们是一些结构使得学习可能比反链数量渐近地需要更多查询的姿势？]
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如何显示不存在具有依赖类型的系统中的类型（即，公式不可证明）？
对于没有依赖类型的系统，例如Hindley-Milner类型系统，这些类型对应于直觉逻辑的公式。在那里，我们知道它的模型是Heyting代数，特别是为了证明一个公式，我们可以限制为一个Heyting代数，其中每个公式都由一个开放子集表示。RR\mathbb{R} 例如，如果我们想表明，没有人居住，我们构建了一个映射φ从公式的子集开放ř通过定义： φ （α ）∀α.α∨(α→⊥)∀α.α∨(α→⊥)\forall\alpha.\alpha\lor(\alpha\rightarrow\bot)ϕϕ\phiRR\mathbb{R} 然后 ϕ （α → ⊥ ）ϕ(α)=(−∞,0)ϕ(α)=(−∞,0)\begin{align} \phi(\alpha) &= (-\infty, 0) \end{align} 这表明原始公式无法得到证明，因为我们有一个模型，该模型不成立，或者等效地（根据Curry-Howard同构），无法使用该类型。ϕ(α→⊥)ϕ(α∨(α→⊥))=int([0,∞))=(0,∞)=(−∞,0)∪(0,∞)=R∖0.ϕ(α→⊥)=int([0,∞))=(0,∞)ϕ(α∨(α→⊥))=(−∞,0)∪(0,∞)=R∖0.\begin{align} \phi(\alpha\rightarrow\bot) &= \mbox{int}( [0, \infty) ) \\ & = (0,\infty) \\ \phi(\alpha\lor(\alpha\rightarrow\bot)) &= (-\infty, 0) \cup (0,\infty) \\ &= \mathbb{R} \setminus {0}. \end{align} 另一种可能性是使用Kriepke框架。 对于依赖类型的系统，是否有任何类似的方法？像Heyting代数或Kripke框架的一般化？ 注意：我不是在要求决策程序，我知道不可能有任何程序。我只是在寻求一种可以证明公式不可证明的机制-说服某人它不可证明。
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来讲
概率证明系统通常被称为的限制，其中Arthur只能使用随机位，并且只能检查 Merlin发送的证明证书的位（请参阅http://en.wikipedia.org/wiki/Interactive_proof_system#PCP）。M A f （n ）g （n ）PCP[ f（Ñ ），克（n ）]PCP[F（ñ），G（ñ）]\mathcal{PCP}[f(n),g(n)]中号一中号一种\mathcal{MA}F（n ）F（ñ）f(n)G（n ）G（ñ）g(n) 然而，1990年鲍鲍伊，Fortnow，和隆德证明，所以它不是准确的限制。的参数（）是什么？PCP[ p Ò 升ÿ（Ñ ），p Ô 升ÿ（n ）] = NËXPPCP[pØ升ÿ（ñ），pØ升ÿ（ñ）]=ñËXP\mathcal{PCP}[poly(n), poly(n)] = \mathcal{NEXP}F（Ñ ），克（n ）F（ñ），G（ñ）f(n),g(n)PCP[ f（Ñ ），克（n ）] = M APCP[F（ñ），G（ñ）]=中号一种\mathcal{PCP}[f(n), g(n)] = \mathcal{MA}
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我们可以用无穷图证明什么，而没有它们就无法证明？
这是一个后续问题这一个大约无限的图表。 该问题的答案和注释列出了自然地由无限图建模的对象和情况。但是关于无穷图的定理也很多（参见Diestel书中的第8章），例如，Koenig的无穷引理是一个非常著名的定理。 现在，我有以下问题：无穷图可以证明什么？更具体地说，在一个示例中，我们将事物建模为无限图，然后调用有关无限图的定理，最后证明了有关原始问题的某些知识，而又不知道如何证明它？
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线性时间原位浅滩混洗算法
是否存在线性时间就地浅滩混洗算法？这是一些特别灵巧的手能够执行的算法：均匀划分偶数大小的输入数组，然后交织两半的元素。 Mathworld上有一个关于浅滩混洗的简短页面。特别是，我对混洗类型感兴趣，该混洗类型将输入数组1 2 3 4 5 6转换为1 4 2 5 3 6。请注意，在其定义中，输入长度为2n2n2n。 如果我们有第二个大小为nnn或更大的数组，则可以在线性时间内直接执行此操作。首先将最后nnn元素复制到数组中。然后，假设为基础的0索引，复制所述第一nnn元件从索引[0,1,2,...,n−1][0,1,2,...,n−1][0,1,2,...,n-1]至[0,2,4,...,2n−2][0,2,4,...,2n−2][0, 2, 4,...,2n-2]。然后复制nnn从第二阵列回输入数组元素，映射索引[0,1,2,...,n−1][0,1,2,...,n−1][0,1,2,...,n-1]到[1,3,5,...,2n−1][1,3,5,...,2n−1][1,3,5,...,2n-1]。（我们可以做的工作比这少一点，因为输入中的第一个和最后一个元素不会移动。） 一种尝试就地执行此操作的方法包括将置换分解为不相交的循环，然后根据每个循环重新排列元素。同样，假设基于0的索引，则6元素情况下涉及的置换为 σ=(001224314355)=(0)(5)(1243).σ=(012345024135)=(0)(5)(1243). \sigma=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 2 & 4 & 1 & 3 & 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 2 & 4 &3 …
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完整二进制基础上一次读取式的表征
背景 一组门（也称为基础）上的一次读取公式是每个输入变量出现一次的公式。通常在De Morgan基础（具有2位门AND和OR，以及1位门NOT）和全二进制基础（具有所有2位门）的基础上研究一次读取公式。 因此，例如，2位的AND可以在任何一个基础上写为一次读取公式，但2位的奇偶校验不能在De Morgan基础上写为一次读取公式。 可以在De Morgan基础上作为一次写入公式编写的所有函数的集合具有组合特征。参见，例如，M.Karchmer，N.Linial，I.Newman，M.Saks，A.Wigderson 的一次式的组合表征。 题 是否可以通过一次读取公式在完整的二进制基础上计算的函数集进行替换表征？ 较简单的问题（在v2中添加） 尽管我仍然对原始问题的答案感兴趣，但是由于没有收到任何答案，我想我会问一个更简单的问题：在整个二进制基础上，哪些下限技术可用于公式？（除了我在下面列出的那些。） 请注意，现在我正在尝试降低公式大小的下限（=叶数）。对于一次读取的公式，我们的公式大小=输入数量。因此，如果您可以证明函数需要大小严格大于n的公式，那么这也意味着该函数不能表示为一次读取的公式。 我知道以下技术（以及Boolean Function Complexity：Stasys Jukna的Advances and Frontiers中的每种技术的参考）： Nechiporuk的通用函数方法（第6.2节）：显示特定函数的大小下限。但是，这无法帮助您找到您可能感兴趣的特定功能的下限。ñ2 − o （1 ）ñ2-Ø（1个）n^{2-o(1)} Nechiporuk定理使用子函数（第6.5节）：从某种意义上说，这是一种适当的下界技术，它将为您感兴趣的任何函数提供一个下界。例如，它表明在表示该函数的完整二进制基础上的任何公式元素唯一性函数的大小为。（这是该技术可以证明的最大下界-对于任何功能。）Ω （n2/日志n ）Ω（ñ2/日志⁡ñ）\Omega(n^2/\log n)
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基于DPLL的SAT求解器在可满足要求的PHP实例上的效率如何？
我们知道，基于DPLL SAT-求解器无法对不可满足的情况下，正确回答上（鸽巢原理），如“有来自射映射ñ + 1至ñ ”：PHPPHP\mathrm{PHP}n+1n+1n+1nnn PHPn+1n:=⎛⎝⋀i∈[n+1] ⋁j∈[n] pi,j⎞⎠∧⎛⎝⋀i≠i′∈[n+1] ⋀j∈[n] (¬pi,j∨¬pi′,j)⎞⎠PHPnn+1:=(⋀i∈[n+1] ⋁j∈[n] pi,j)∧(⋀i≠i′∈[n+1] ⋀j∈[n] (¬pi,j∨¬pi′,j))\mathrm{PHP^{n+1}_{n}} := \left(\bigwedge_{i\in[n+1]} \ \bigvee_{j\in[n]} \ p_{i,j}\right) \wedge \left(\bigwedge_{i\neq i'\in[n+1]} \ \bigwedge_{j\in[n]} \ (\lnot p_{i,j} \vee \lnot p_{i',j})\right) 我正在寻找有关它们如何在可满足实例上执行的结果，例如在“存在从n到n的内射映射”上。PHPPHP\mathrm{PHP}nnnnnn 他们是否能在这种情况下迅速找到满意的任务？
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由置换相关的两个矩阵
以下问题的计算复杂度是多少： 给定两个复杂矩阵甲和乙检查，如果有一个置换矩阵P，使得： 乙= P 甲P Ť。n × nñ×ñn\times n一种一种A乙乙BPPPB = P一个PŤ。乙=P一种PŤ。B = P A P^T. 如果有帮助，可以假设和B是埃尔米特式的（甚至是A和B是实且对称的）。一种一种A乙乙B一种一种A乙乙B 笔记： 问题源于检查两个向量是否通过单一旋转相关，请参见通过旋转相关的向量集-MathOverflow。在这种情况下，和B是它们的Gramian矩阵。一种一种A乙乙B 这个问题至少和图同构问题一样困难-以和B作为邻接矩阵。一种一种A乙乙B
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以下问题NP难吗？
考虑在基本集上集合的集合其中和，令为正整数。F={F1,F2,…,Fn}F={F1,F2,…,Fn}F=\{F_1,F_2,\dotsc,F_n\}U={e1,e2,…,en}U={e1,e2,…,en}U=\{e_1,e_2,\dotsc,e_n\}|Fi||Fi||F_i| ≪≪\ll nnnei∈Fiei∈Fie_i \in F_ikkk 的目标是找到组另一集合超过使得每个最多可被写为一个联盟相互不相交集在，我们也希望最小化（即，所有集中元素的总数应尽可能小）。C={C1,C2,…,Cm}C={C1,C2,…,Cm}C=\{C_1,C_2,\dotsc,C_m\}UUUFiFiF_ikkk (k&lt;&lt;|C|)(k&lt;&lt;|C|)(k<<|C|) CCC∑m1|Cj|∑m1|Cj|\sum_1^m |C_j|CCC 请注意，与具有相同的大小，但的大小不确定。FFFUUUCCC 谁能说出上述问题是否对NP不利？（设置覆盖物？包装？完美覆盖物） 谢谢你的时间。
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如何创建关键任务软件？
我正在自我学习形式方法。我听说使用（通常仅使用）正式方法来创建任务关键型软件（例如核反应堆控制器，飞机飞行控制器，空间探测器控制器）。这就是为什么我有兴趣学习它的原因：p 但是，在学习了形式化方法（尤其是LTL，CTL及其同级方法）之后，我觉得它们只能用于验证规范的正确性（安全性，活跃性，公平性等）。 但是，然后如何验证软件（不仅是规范）确实正确？ 免责声明：在理论计算机科学方面，我是90％的白痴。因此，请在回答时保持仁慈。
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TCS中的修脚示例
拉里·瓦瑟曼（Larry Wasserman）在最近的帖子中谈到“ p值警察”。他提出了一个有趣的观点（全部强调我的观点）（我添加的斜体字前提及其下的回应）： 最常见的抱怨是物理学家和新闻工作者错误地解释了p值的含义。例如，如果p值为0.000001，则我们将看到诸如“信号真实存在99.9999％的置信度”之类的陈述。然后，我们被迫纠正这一陈述：如果没有影响，那么就有机会或更高的是0.000001。 很公平。但这真的重要吗？总体情况是：影响的证据是压倒性的。措辞是否有误导性真的重要吗？如果我们对此抱怨，我认为我们会强化我们作为学徒的形象。 这让我开始思考- 在TCS中，有没有很好的例子？这样的例子包括 大众媒体普遍提出的主张 人们坚持要进行的标准更正 索赔即使不精确也可以捕获正确的“大图景”。 索赔在数学上是错误的，但在道德上是“正确的”，并且更正在技术上是正确的，但不会改变直觉上的理解。 为了使事情顺利进行，我的例子是： 索赔-NP完全问题需要花费大量时间才能解决 校正-实际上，我们只是不知道它们是否可以在多项式时间内求解 大图-NP完全问题很困难 警告：我知道这个论坛上有很多人会为错误但“道德上正确”的主张的想法所震惊：)。请记住，这些是针对公众的声明（可以允许一定程度的许可），而不是研究论文中的声明。
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不完善的子图同构
考虑以下问题：给定一个查询图G=(V,E)G=(V,E)G = (V, E)和参考图，我们要找到内射映射，它使边使得。这是子图同构问题的一般化，其中我们允许子图同构直到几个缺失边，并希望找到最小化缺失边数的方法。˚F ：V → V '（v 1，v 2）∈ È （˚F （v 1），˚F （v 2））∉ È 'G′=(V′,E′)G′=(V′,E′)G' = (V', E')f:V→V′f:V→V′f : V \rightarrow V'(v1,v2)∈E(v1,v2)∈E(v_1, v_2) \in E(f(v1),f(v2))∉E′(f(v1),f(v2))∉E′(f(v_1), f(v_2)) \notin E' 瓦特（v 1，v 2）（v 1，v 2）∉ ë ）ģ ' Σ v 1，v 2（最大（0 ，瓦特（v 1，v 2）- w （f （v 1），f …
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