理论计算机科学

理论计算机科学家和相关领域的研究人员的问答

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“ P”和“ NP-hard”的舒适邻里
令为算法任务。（它可以是一个决策问题或优化问题或任何其他任务。）让我们把X “的多项式侧”如果假设X是NP难是众所周知的暗示多项式hieararchy崩溃。如果假设X承认多项式算法，即隐含多项式层次结构，则我们称X为 “ NP侧” 。XXXXXXXXXXXXXXX 当然，P中的每个问题都在多项式侧，而NP难的每个问题都在NP侧。同样，例如，因式分解（或NP相交coNP中的任何值）在多项式侧。图同构在多项式侧。QUANTUM-SAMPLING在NP端。 1）我对多项式方面（尤其是在NP方面的更多示例）中的算法示例的更多示例（尽可能自然）感兴趣。 2）天真地看，NP端是NP难题的一种“邻居”，而P端则是“ P的邻居”。与NP方面的问题相比，将NP方面的问题视为“难得多”是否是正确的见解。甚至将NP方面的问题视为“道德上对NP很难”？ 3）（这可能很明显，但我看不到）双方都有还是有理论上的理由认为这样的X不太可能。更新答案为“是”；请参阅下面的Yuval Filmus的答案。XXXXXX （如果这些“方面”与实际的复杂度类相关，并且如果我错过了一些相关的抄送术语或相关结果，请告诉我。） 更新：到目前为止，这个问题有几个很好的答案。正如Yuval Filmus首先指出并再次提到的，这个问题不是形式上的，需要对表明X在P侧/ NP侧的论点进行一些限制。（否则，您可以让X成为提供正反两面0 = 1的证明的任务。）撇开这个问题，可能是NP侧的问题X（通常是问题）以某种方式捕获了硬度在SAT的硬度方面，尽管这可能也是P侧某些问题的情况，其中SAT的硬度以可证明的方式减弱（甚至略微降低）。尤瓦尔·菲利库斯（Yuval Filmus）给出了双方的SAT的弱化版本。安迪·德鲁克（Andy Drucker）给出了两个有趣的例子（有两个答案），其中包括对舍宁（Schöning）的低层次结构和高层次结构的引用，斯科特·亚伦森（Scott Aaronson）给出了进一步有趣的示例，提到了反转单向函数的问题，该函数接近捕获NP硬度，但在P侧，他的答案还讨论了QUANTUMSAMPLING的有趣情况。我提到了Feige和Lund提出的此类旧结果。
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用分类术语解释应用函子-单向函子
我想Applicative从范畴论的角度理解。 该文档的Applicative说，这是一个强烈的宽松monoidal仿函数。 首先，维基百科有关单调子函子的页面说，单调子函子要么松懈要么强大。因此在我看来，其中一个来源是错误的，或者它们使用的术语不同。有人可以解释吗？ 其次，哪些Applicative是单曲面函子的单曲面类别？我假设函子是标准Haskell类别（对象=类型，态射=功能）上的内函子，但我不知道该类别上的单曲面结构是什么。 感谢帮助。
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选择要阅读的论文
免责声明：这是一个开放式问题，Stackexchange清教徒可能会感到非常渴望将其否决。但是，我想不出任何其他论坛更适合并有望获得对此问题的解答。 在研究课程项目的研究问题时，我意识到，如果以特定的方式对问题进行建模，则可以使用专门领域中的技术（对于最近的案例-PASCAL识别文本蕴含挑战）。在获得最初的喜悦之后，我通常对众多论文感到困惑，所有论文都默默喊着“读我，否则您将错过解决问题的最佳方法！”。在截止日期前，如何学习过滤要阅读的论文和要丢弃的论文？除了sort_by_citation计数之外，还有其他什么吗？
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单带图灵机字母
可以每个函数是在时间可计算吨在单个磁带使用尺寸的字母表图灵机ķ = Ö （1 ）在时间上计算Ô （吨）上单带图灵机使用尺寸的字母表3（比方说，0 ，1 ，和空白）？F：{ 0 ，1 }∗→ { 0 ，1 }f:{0,1}∗→{0,1}f : \{0,1\}^* \to \{0,1\}Ťttk = O （1 ）k=O(1)k = O(1)O （吨）O(t)O(t)3330 ，1 ，0,1,0,1, （从由OP下面的注释）注意输入利用被写入，但使用大小字母图灵机ķ可以从较大的字母符号覆盖输入符号。我看不到如何在较小的字母中将符号编码为较大的字母而不必将输入移位，这将花费时间n 2。0 ，10,10,1ķkkñ2n2n^2
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？的固定深度表征。
这是关于电路复杂性的问题。（定义在底部。） Yao和Beigel-垂井表明，每大小的电路族小号具有大小的等效电路族小号p ø 升ý （日志小号）深度的2，其中输出门是对称函数和所述第二级包括的甲ñ d的栅极p ø 升ý （日志小号）ACC0ACC0ACC^0sssspoly(logs)spoly(log⁡s)s^{poly(\log s)}ANDANDANDpoly(logs)poly(log⁡s)poly(\log s)扇入 这是电路系列的一个相当显着的“深度崩溃”：从深度为100的电路，您可以将深度减小到2，而只有一个拟多项式爆炸（并且顶部只有一个奇特但受限制的栅极）。 我的问题：有没有类似的表达电路族的已知方法？更长远的目标，怎么样的ň c ^ 1个电路的家人吗？可能的答案将具有以下形式：“ 大小为s的每个T C 0电路都可以由深度为2的大小为f （s ）的二族来识别，其中输出门是X型的函数，而第二级门的类型是Y ”。TC0TC0TC^0NC1NC1NC^1TC0TC0TC^0sssf(s)f(s)f(s)XXXYYY 不必一定是深度2，任何固定深度的结果都会很有趣。证明每个电路可以由仅由对称功能门组成的电路在深度3中表示，将非常有意思。TC0TC0TC^0 一些小发现： 如果，则对于任何布尔函数来说答案都是微不足道的（我们可以将任何函数表示为2 n A N D s 的O R）。为了具体起见，我们要求f （n ）= 2 n o （1 ）。f(n)=2nf(n)=2nf(n)=2^nOROROR2n2n2^n ANDANDANDf(n)=2no(1)f(n)=2no(1)f(n) = 2^{n^{o(1)}} 如果允许或Y是可在T C 0中计算的任意函数，答案也很简单：:)我显然对“简单”函数感兴趣，无论这意味着什么。由于有些对称函数族是不可计算的，因此定义起来有点麻烦。（有些一元语言是无法计算的。）如果愿意，您可以在语句中简单地用对称函数替换X和Y，但是我对其他各种精巧的Gates 感兴趣。XXXYYYTC0TC0TC^0XXXYYY （现在简要回顾一下符号： 是由家庭的无界扇入深度不变电路与识别的类甲Ñ d， ø …
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寻找矩阵特征分解的复杂性
我的问题很简单： 计算矩阵的本征分解的最著名算法的最坏情况下的运行时间是多少？n×nn×nn \times n 本征分解是减少到矩阵乘法还是在最坏的情况下是最著名的算法（通过SVD）？O(n3)O(n3)O(n^3) 请注意，我要求的是最坏情况的分析（仅就），而不是要求与问题相关的常数（如条件编号）的范围。nnn 编辑：给出以下一些答案，让我调整一下问题：我会对近似感到满意。近似值可以是乘法，加法，逐项输入或任何您想要的合理定义。我感兴趣的是，是否存在一种比对依赖性更好的算法？ϵϵ\epsilonnnnO(poly(1/ϵ)n3)O(poly(1/ϵ)n3)O(\mathrm{poly}(1/\epsilon)n^3) 编辑2：请参见对称矩阵上的相关问题。
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计算几何学研究人员偏爱BSS / real-RAM模型的原因是什么？
背景 由于实数是无限的对象并且存在无数的实数，因此实数的计算比自然数的计算更为复杂，因此实数不能由有限字母在有限字母上忠实地表示。 不同于经典的关于有限字符串的可计算性，在这里，不同的计算模型，例如：lambda演算，图灵机，递归函数，……证明是等效的（至少对于字符串上的函数具有可计算性），有多种提议的模型可用于不兼容的实数。例如，在最接近经典Turing机器模型的TTE模型（另请参见[Wei00]）中，实数使用无限输入带（如Turing的预言片）表示，因此无法确定比较和两个给定实数之间的相等关系（在有限的时间内）。另一方面，在BBS / real-RAM模型中，类似于RAM机器模型，我们有可以存储任意实数的变量，并且比较和相等性属于模型的原子操作。由于类似的原因，许多专家表示BSS / real-RAM模型不切实际（无法实现，至少在当前的数字计算机上无法实现），并且他们更喜欢TTE或其他等效模型，而不是TTE，例如有效域理论模型，柯·弗里德曼模型等 如果我理解正确，则“ 计算几何”中使用的默认计算模型是BSS（又称real-RAM，请参见[BCSS98]）模型。 另一方面，在我看来，在计算几何中的算法（例如LEDA）的实现中，我们仅处理代数数，并且不涉及更高类型的无限对象或计算（这对吗？）。因此，在我看来（可能是幼稚的）人们也可以使用有限字符串上的经典计算模型来处理这些数字，并使用通常的计算模型（也用于算法的实现）来讨论正确性和复杂性算法。 问题： 计算几何研究人员偏爱使用BSS / real-RAM模型的原因是什么？（使用BSS / real-RAM模型的特定计算几何） 我在上一段中提到的（可能是幼稚的）想法有什么问题？（使用经典的计算模型并将输入限制为“计算几何”中的代数数） 附录： 算法问题也很复杂，在BSS / real-RAM模型中很容易确定以下问题： 由于两套和牛逼正整数， 是Σ 小号∈ 小号√SSSTTT？∑小号∈ 小号s√> ∑吨∈ ŤŤ√∑s∈Ss>∑t∈Tt\sum_{s\in S} \sqrt{s} > \sum_{t\in T}\sqrt{t} 虽然尚无有效的整数RAM算法可解决该问题。感谢JeffE的示例。 参考文献： Lenore Blum，Felipe Cucker，Michael Shub和Stephen Smale，“复杂性与真实计算”，1998年 Klaus Weihrauch，“ 可计算分析，简介 ”，2000年
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任意一组门的电路下限
在1980年代，Razborov著名地证明了存在显式单调布尔函数（例如CLIQUE函数），它们需要按指数方式计算许多AND和OR门。但是，布尔域{0,1}上的基数{AND，OR}只是一个有趣的门集的一个例子，它没有通用。这导致了我的问题： 是否还有其他一组与单调门不同的有趣的门，其电路尺寸的指数下限是已知的（电路没有深度或其他限制）？如果不是这样，是否还有其他门框可以作为此类下限的合理候选者？这些边界不一定需要突破自然证明的障碍，而Razborov的单调电路结果却没有？ 如果存在这样的门集，那么对于k≥3，肯定会超过k元字母。原因是，在二进制字母上， （1）个单调门（{AND，OR}）， （2）个线性门（{NOT，XOR}），和 （3）个通用门（{AND，OR，NOT}） 基本上用尽了有趣的可能性，如下Post的分类定理所示。（请注意，我假设常量-在二进制情况下为-0和1-始终是免费提供的。）使用线性门时，每个布尔函数f：{0,1} n →{0,1}完全可以通过线性电路计算。有了通用集，我们当然会遇到自然证明和其他可怕的障碍。 另一方面，例如，如果我们考虑以3或4个符号字母表示的门集，则可能会出现更多的可能性-至少就我所知，这些可能性从未被完全描绘出来从复杂性理论的角度来看（如果我错了，请纠正我）。我知道在通用代数中以“克隆”为名对可能的门集进行了广泛的研究。我希望我能更熟悉该文献，以便知道该领域的结果对电路复杂性意味着什么。 在任何情况下，如果我们简单地将门集合的类别扩展到我们愿意考虑的有限字母上，似乎还有其他戏剧性的电路下界需要证明。如果我错了，请告诉我原因！
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Rabin / Yao是否存在（至少以可以引用的形式）？
在姚安智智（1979）的经典论文中，他提到“正在准备中的莫拉宾（MO Rabin）和姚明（AC Yao）”。这是其结果是平等功能EQ的有界错误通信复杂Ñ（是否在范围内的两个整数0至ñ - 1是相等的）是Ô （日志的日志Ñ ）。NN_N000N−1N−1N-1O(loglogN)O(log⁡log⁡N)O(\log\log N) 姚德智（ Andrew Chi-Chih Yao），与分布式计算有关的一些复杂性问题（初步报告），STOC 1979，第209-213页。doi：10.1145 / 800135.804414 亚历山大·拉兹伯洛夫（Alexander Razborov）对通信复杂性的介绍性调查证明了这一结果，并指出“以下出色的构造通常归因于拉宾和姚明”。想法是将位串视为预定多项式系数；然后，Alice选取一个随机整数q从0到p - 1为一些预定的素数p ∈ [ 3 Ñ ，6 Ñ ]，其中Ñ = ⌈ 登录Ñ ⌉，并发送到Bob 。P(x)P(x)P(x)qqqp−1p−1p-1p∈[3n,6n]p∈[3n,6n]p \in [3n,6n]n=⌈logN⌉n=⌈log⁡N⌉n = \lceil \log N\rceil(q,P(q)modp)(q,P(q)modp)(q, P(q) \mod p) 亚历山大· 拉兹伯罗夫（Alexander Razborov），《沟通的复杂性》，“数学的邀请”第8章，第97–117页，施普林格，2011年。（预印本） Rabin / Yao的论文是否曾经成为至少别人的论文中的个人交流/草稿/素描的手笔，还是这是“黄金时代”的迹象之一，因此，巨人在地球上漫游，而并不总是在地面接触从突破到突破？
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是否有任何证据证明不依赖于自引用或对角化的停止问题的不确定性？
这是与此有关的一个问题。经过大量讨论之后，再次以一种更为简单的形式提出来，这似乎是一个完全不同的问题。 停止问题的不确定性的经典证明取决于在尝试将假设的HALT决策程序应用于自身时出现的矛盾。我认为，这仅表示不可能由HALT决策者来决定自己是否将停止，但除了停止其他任何案例的可判定性之外，没有提供任何其他信息。 所以问题是 有没有证据表明停顿问题是不确定的，既不依赖于表明HALT不能自行决定，也不依赖于对角化论证？ 小编辑：我将致力于该问题的原始措辞，即要求提供一个完全不依赖于对角化的证明（而不是仅仅要求它不依赖于依赖HALT的对角化）。
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矩阵乘法不在
通常认为，对于所有ϵ > 0ϵ>0\epsilon > 0，可以在O （n 2 + ϵ）时间内将两个n × nn×nn \times n矩阵相乘。一些讨论在这里。Ø （ñ2 + ϵ）O(n2+ϵ)O(n^{2 + \epsilon}) 我问过一些对研究更熟悉的人，他们是否认为存在独立于n的k > 0k>0k>0，以至于存在用于矩阵乘法的O （n 2 log k n ）算法，并且他们绝大多数都具有直觉答案是“否”，但无法解释原因。也就是说，他们认为我们可以在O （n 2.001）时间内完成此操作，但不能在O （n 2 log 100 n ）时间内完成。ñnnØ （ñ2日志ķn ）O(n2logk⁡n)O(n^2 \log^k n)Ø （ñ2.001）O(n2.001)O(n^{2.001})Ø （ñ2日志100n ）O(n2log100⁡n)O(n^2 \log^{100} n) 有什么理由相信在固定k > 0时没有Ø （ñ2日志ķn ）O(n2logk⁡n)O(n^2 \log^k …
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PRIMES和FACTORING的问题是否已知为P-hard？
让PRIMES（又称素数测试）成为问题： 给定自然数，n是素数吗？ñnnñnn 让FACTORING成为问题： 给定的自然数，米与1 ≤ 米≤ Ñ，并Ñ具有因子d与1 &lt; d &lt; 米？ñnn米mm1≤m≤n1≤m≤n1 \leq m \leq nnnnddd1&lt;d&lt;m1&lt;d&lt;m1 < d < m 是否知道PRIMES是否为P-hard？FACTORING呢？这些问题最著名的下限是什么？
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排序算法，可以将每个元素进行
是否存在不减少到分类网络的已知比较分类算法，使得每个元素被比较次？O （对数n ）O(log⁡n)O(\log n) 据我所知，在每个元素上使用比较进行排序的唯一方法是为n个输入构建一个AKS分类网络，然后在分类网络上运行输入。O （对数n ）O(log⁡n)O(\log n)nnn AKS不容易实现，并且具有不切实际的常数，因此有寻找其他算法的动机。 用一种算法每件比较，其似乎不意味着排序网络呈现在这里。（iirc，这是由Rob Johnson在Stony Brook的算法研讨会上首次提出的）。O(log2n)O(log2⁡n)O(\log^2 n)
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随机化何时可以加速算法，但“不应该”？
Adleman证明包含的证明表明，如果存在一个针对大小为输入在时间上运行的问题的随机算法，那么对于在时间上运行的问题也存在确定性算法输入大小为 [算法在独立的随机字符串上运行随机算法。重复算法必须具有随机性，这对所有都有利P / p ö 升ý 吨（Ñ ）ñ Θ （吨（Ñ ）⋅ Ñ ）ñ Θ （Ñ ）2 Ñ乙PPBPPBPPP/ pø升ÿP/polyP/polyt （n ）t(n)t(n)ñnnΘ （吨（Ñ ）⋅ Ñ ）Θ(t(n)⋅n)\Theta(t(n)\cdot n)ñnnΘ （n ）Θ(n)\Theta(n)2ñ2n2^n可能的输入]。确定性算法不统一-对于不同的输入大小，其行为可能有所不同。因此，阿德勒曼（Adleman）的论点表明-如果不关心均匀性-随机化只能以输入大小呈线性的因数加速算法。 据我们所知，随机化可以加速计算的一些具体示例是什么？ 一个例子是多项式身份测试。这里的输入是一个n大小的算术电路，用于计算一个字段上的m变量多项式，任务是找出该多项式是否相等为零。随机算法可以在随机点上评估多项式，而我们所知的最佳确定性算法（可能是现有的最好的）可以在许多点上评估多项式。 另一个例子是最小生成树，其中Karger-Klein-Tarjan的最佳随机算法是线性时间（错误概率呈指数小！），而Chazelle的最佳确定性算法在时间（是Ackermann逆函数，因此随机化加速确实很小）。有趣的是，Pettie和Ramachandran证明，如果最小生成树存在非统一的确定性线性时间算法，那么也存在统一的确定性线性时间算法。αø （米α （米，Ñ ））O(mα(m,n))O(m\alpha(m,n))αα\alpha 还有哪些其他示例？您知道哪些示例的随机化加速率较高，但这可能仅仅是因为我们尚未找到足够有效的确定性算法？
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