Questions tagged «graph-colouring»

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需要多少种不同的颜色来降低图表的选择能力？
如果对于将顶点映射到种颜色的每个函数有一个颜色分配，从而对于所有顶点，，则图是可选择的（也称为 -list- colorable，这样，对于所有边，。ķ ˚F ķ Ç v Ç （v ）∈ ˚F （v ）v 瓦特Ç （v ）≠ Ç （瓦特）kkkkkkfffkkkcccvvvc(v)∈f(v)c(v)∈f(v)c(v)\in f(v)vwvwvwc(v)≠c(w)c(v)≠c(w)c(v)\ne c(w) 现在假设图不是可选择的。也就是说，存在从顶点到颜色的元组的函数，该函数没有有效的颜色分配。我想知道的是，总共需要多少种颜色？可以有多小？是否存在一个数字（与无关），这样可以保证我们找到仅使用不同颜色的不可着色的？ķ ˚F ķ Ç ∪ v ∈ ģ ˚F （v ）Ñ （ķ ）ģ ˚F Ñ （ķ ）GGGkkkfffkkkccc∪v∈Gf(v)∪v∈Gf(v)\cup_{v\in G}f(v)N(k)N(k)N(k)GGGfffN(k)N(k)N(k) 与CS的相关性是，如果存在，我们可以在单指数时间内测试常数选择性（只需尝试f的所有\ binom {N（k）} {k} ^ n个选择，然后对于每个检查，检查它是否可以在时间k ^ nn ^ {O（1）}中着色），否则可能需要像n ^ {kn}这样更快地生长的东西。k …
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暗示四色定理的猜想
四色定理（4CT）指出每个平面图都是四个可着色的。[Appel，Haken 1976]和[Robertson，Sanders，Seymour，Thomas 1997]给出了两个证明。这两个证明都是计算机辅助的，非常令人生畏。 图论中有几个推测暗示4CT。解决这些猜想可能需要更好地理解4CT的证明。这是一个这样的猜想： 猜想：令为平面图，令C为一组颜色，而f ：C → C为定点自由对合。让大号= （大号v：v ∈ V （G ^ ））是这样的GGGCCCF：C→ Cf:C→Cf : C \rightarrow CL = （Lv：v ∈ V（G ））L=(Lv:v∈V(G))L = (L_v : v \in V(G)) 针对所有 v ∈ V和| 大号v| ≥4|Lv|≥4|L_v| \geq 4v ∈ Vv∈Vv \in V 如果然后˚F （α ）∈ 大号v对于所有v ∈ V，对于所有的α ∈ Ç。α …
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网格无单色矩形的着色
更新：所有无单色矩形4色的障碍物集（即可着色和不可着色网格大小之间的NxM“屏障”）现在是已知的。 任何人都愿意尝试5种颜色吗？;） 拉姆西理论引起以下问题。 考虑 ×网格图的着色。只要将四个具有相同颜色的单元格排列为某个矩形的角，就会存在A。例如，如果和具有相同的颜色，则它们将形成单色矩形。同样，和如果用相同的颜色着色，则会形成单色矩形。Ñ 米（0 ，0 ），（0 ，1 ），（1 ，1 ），（1 ，0 ）（2 ，2 ），（2 ，6 ），（3 ，6 ），（3 ，2 ）ķkkñnn米mmmonochromatic rectangle（0 ，0 ），（0 ，1 ），（1 ，1 ），(0,0),(0,1),(1,1),(0,0), (0,1), (1,1),（1 ，0 ）(1,0)(1,0)（2 ，2 ），（2 ，6 ），（3 ，6 ），(2,2),(2,6),(3,6),(2,2), (2,6), (3,6),（3 ，2 ）(3,2)(3,2) 问题：是否存在不包含单色矩形的 x网格图的色？如果是这样，请提供明确的颜色。17 17444171717171717 一些已知事实： 161616 ×是色的，没有单色矩形，但是已知的着色方案似乎没有扩展到 ×情况。（我省略了已知的 …
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图的着色复杂度
假设是着色数为d = χ （G ）的图。考虑以下爱丽丝和鲍勃之间的比赛。在每个回合中，爱丽丝选择一个顶点，鲍勃为此顶点用{ 1 ，… ，d − 1 }中的颜色回答。发现单色边缘后游戏结束。设X （G ）是两个玩家在最佳玩法下的最大游戏长度（爱丽丝希望尽可能缩短游戏，鲍勃希望尽可能延迟游戏）。例如，X （K n）= nGGGd= χ （G ）d=χ（G）d = \chi(G){ 1 ，… ，d− 1 }{1个，…，d-1个}\{1,\ldots,d-1\}X（G ）X（G）X(G)X（Kñ）= nX（ķñ）=ñX(K_n) = n和。X（C2 n + 1）= Θ （对数n ）X（C2ñ+1个）=Θ（日志⁡ñ）X(C_{2n+1}) = \Theta(\log n) 这个游戏知名吗？
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什么时候放松辛苦？
假设我们通过按以下方式对加权的着色进行计数来缓解对正确的着色进行计数的问题：每种正确的着色的权重为1，每种不正确的着色的权重为，其中c是一些常数，而v是具有相同颜色的端点的边数。当c变为0时，这减少了对正确着色的计数，这对于许多图形来说都是很难的。当c为1时，每种颜色都具有相同的权重，问题很简单。当图的邻接矩阵乘以− log （c ）/ 2时，光谱半径小于1 − ϵcvcvc^vcccvvvccc−log(c)/2−log⁡(c)/2-\log(c)/21−ϵ1−ϵ1-\epsilon，该和可以通过具有收敛保证的信念传播来近似，因此在实践中很容易。从理论上讲也很容易，因为特定的计算树会表现出相关性的衰减，因此允许采用多项式时间算法来保证近似值-Tetali，（2007年） 我的问题是-图形的其他哪些属性使本地算法难以解决此问题？从某种意义上讲，只能解决一小部分的问题。ccc 编辑09/23：到目前为止，针对此类问题，我遇到了两种确定性多项式逼近算法（Weitz的STOC2006论文和Gamarnik的“腔扩展”方法用于近似计数的派生方法），并且这两种方法都取决于自相关的分支因子。避免在图表上走动。光谱半径出现是因为它是此分支因子的上限。问题是-这是一个不错的估计吗？我们是否可以有一系列图，其中自我规避步行的分支因子是有界的，而常规步行的分支因子却是无界的？ 编辑10/06：艾伦·斯莱（FOCS 2010）的这篇论文似乎很有意义……结果表明，自我规避行走的无限树的分支因子正好抓住了计数变得困难的点。 编辑10/31：Alan Sokal猜想（“多元Tutte多项式”的第42 页），在色多项式的无零区域的半径上存在一个上限，该上限在maxmaxflow上呈线性（最大st流在所有对s，t）。这似乎很重要，因为随着正确着色的数量接近0，就会出现远程关联。
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移位链是两种颜色吗？
为表示由的的最小元素。甲⊂ [ Ñ ]A⊂[n]A\subset [n]一种一世aia_i一世Ť ^ hithi^{th}一种AA 对于两个元素集，我们说如果每个为，则。ķkk甲，乙⊂ [ Ñ ]A,B⊂[n]A,B\subset [n]一≤ 乙A≤BA\le B一种一世≤ b一世ai≤bia_i\le b_i一世ii 甲 -uniform超图被称为移位链如果出于任何超边，，我们有或。（因此，移位链最多具有超边。）ķkk高 ⊂[n]H⊂[n]{\mathcal H}\subset [n]甲，乙∈ ħA,B∈HA, B \in {\mathcal H}一≤ 乙A≤BA\le B乙≤ 一B≤AB\le Ak （n - k ）+ 1k(n−k)+1k(n-k)+1 我们说一个超图 是两色的（或者说它具有属性B），如果我们可以用两种颜色为其顶点着色，从而没有超边是单色的。HH{\mathcal H} 如果足够大，移位链是二色的，这是真的吗？ķkk 备注。我首先在mathoverflow上发布了此问题，但没有人对此发表评论。 在第一届Emlektabla研讨会上对该问题进行了调查，得出了一些部分结果，请参阅手册。 这个问题是由平面的多个覆盖物通过凸形的平移分解而引起的，在该区域中存在许多未解决的问题。（有关更多信息，请参阅我的博士学位论文。） 对于有一个简单的反例：（12），（13），（23）。k = 2k=2k=2 Radoslav Fulek使用计算机程序为给出了一个非常神奇的反例：k = 3k=3k=3 （123），（124），（125），（135），（145），（245），（345），（346），（347），（357）， …
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原因，其的曲线图可以被不
在对这个问题进行一点推理的同时，我试图找出所有不同的原因，使得图可能无法着色。到目前为止，我只能确定以下两个原因：kG=(VG,EG)G=(VG,EG)G = (V_G,E_G)kkk ķ + 1GGG包含大小为的集团。这是显而易见的原因。k+1k+1k+1 存在一个的子图，使得以下两个陈述均成立：GH=(VH,EH)H=(VH,EH)H = (V_H, E_H)GGG HHH不是可着色的。k−1k−1k-1 ∃x∈VG−VH ∀y∈VH {x,y}∈EG∃x∈VG−VH ∀y∈VH {x,y}∈EG\exists x \in V_G - V_H\ \forall y \in V_H\ \{x,y\} \in E_G。换句话说，在存在一个节点，但在不存在，因此连接到每个节点。ģ ħ X ħxxxGGGHHHxxxHHH 我们可以将上述两个原因视为规则。通过递归应用它们，构建不包含集团的非可着色图的仅有2种方法是：ķ + 1kkkk+1k+1k+1 从一个偶数长度（可着色）的循环开始，然后将规则2应用于次。请注意，边缘不视为长度为的循环（否则此过程将具有建立团的效果）。ķ - 1 2 ķ + 1222k−1k−1k-1222k+1k+1k+1 从奇数长度的循环开始（这是可着色的），然后将规则2应用于次。起始周期的长度必须大于（否则此过程将产生建立集团的效果）。333k−2k−2k-2333k+1k+1k+1 题 除了上述2之外，还有其他原因使图形不可着色吗？kkk \ 更新30/11/2012 更准确地说，我需要的是形式的一些定理： 当且仅当...时，图色数为。GGGχ(G)=k+1χ(G)=k+1\chi(G) = k …
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着色平面图
考虑一组平面图，其中所有内表面均为三角形。如果存在奇数度的内部点，则该图不能为三种颜色。如果每个内部点都具有偶数度，那么它是否可以始终是三种颜色？理想情况下，我想举个小例子。
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此边缘着色问题的复杂性是什么？
最近，我遇到了以下边缘着色变体。 给定一个连通的无向图，找到使用最大颜色数的边缘的着色，同时还满足对于每个顶点，入射到v的边缘最多使用两种颜色的约束。vvvvvv 我的第一个猜测是问题很棘手。用于图着色问题的经典NP硬证明主要是通过减少3SAT来实现的。但是我认为，这些证明对这个问题没有用，因为入射到顶点的边可以用相同的颜色着色，因此我们不能在图中构造逻辑组件。 这个问题难道是NP难题？如果是，那是什么证明？如果我们不能罚款证明，是否有任何方法可以确定这个问题的复杂性？ 谢谢！
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有二维矩形着色问题的常数因子近似算法吗？
我们在这里考虑的问题是众所周知的间隔着色问题的扩展。代替间隔，我们考虑具有与轴平行的边的矩形。目的是使用最少数量的颜色为矩形着色，以便为任意两个重叠的矩形分配不同的颜色。 已知此问题是NP难题。Xin Han，Iwama Kazuo，Rolf Klein和Andrezej Lingas（在箱图上逼近最大独立集和最小顶点着色）给出了O（log n）逼近。有更好的近似算法吗？ 我们知道，间隔着色问题是在多项式时间内通过首先拟合算法根据其左端点考虑间隔而解决的。但是，当间隔以任意顺序出现时，首次拟合在线算法具有8竞争性。 矩形着色问题的首选算法的性能如何？当矩形根据其左（垂直）边出现时，首次拟合算法会怎样？ 在此先感谢您的任何帮助。
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平面图中边缘着色的复杂性
三次图的三边着色为。四色定理等同于“每个立方平面无桥图都是3边可着色的”。NPNPNP 立方平面图的3边着色的复杂性是什么？ 另外，据推测， _edge时着色Ñ P -hard以最大程度平面图Δ ＆Element; {4,5}。ΔΔ\DeltaNPNPNPΔ∈Δ∈\Delta \in 解决这一猜想是否取得了进展？ Marek Chrobak和Takao Nishizeki。改进的平面图边缘着色算法。算法学报，1990年11：102-116
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这些着色游戏解决了吗？
在“关于某些着色游戏的复杂性”一文中，Bodlaender提出了一些开放性问题，这些问题涉及确定玩家1或2在某些图形着色游戏中是否具有获胜策略的复杂性。有谁知道他们是否已经解决？ 1）在一场游戏中，两名玩家轮流选择图形中的一个顶点，并使用固定的有限集中的颜色对其进行正确着色。失败者是第一个无法着色顶点的玩家。在Schaefer的论文中，它显示为具有1种颜色的pspace完全，而Bodlaender显示为具有2种颜色的pspace完全，但没有给出更多颜色的答案。它还开放吗？ 2）在另一个变体中，顶点的编号为1..n。在玩家回合中，他必须使用尚未着色的最低编号正确着色顶点。同样，他们使用固定设置的颜色，失败者是第一个无法为顶点着色的玩家。Bodlaender显示它对于一般图形是pspace完全的。他问谁在树上赢了，知道吗？ 谢谢
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在色数和矢量色数之间有间隙的小图？
我正在寻找一个小图其矢量色数比色数，更小的χ v（ģ ）&lt; χ （G ^ ）。GGGχv(G)&lt;χ(G)χv(G)&lt;χ(G)\chi_v(G)<\chi(G) （具有向量色数q是否有一个赋值X ：V → [R d，其中直观地与邻近的顶点相关联的矢量相距很远的要求是。⟨ X （v ），X （瓦特）⟩ ≤ - 1 /（q − 1 ）。例如，对于q = 3，三角形的顶点就足够了。GGGqqqx:V→Rdx:V→Rdx\colon V \rightarrow \mathbf R^d⟨x(v),x(w)⟩≤−1/(q−1)⟨x(v),x(w)⟩≤−1/(q−1)\langle x(v), x(w)\rangle \leq -1/(q-1)q=3q=3q=3 的曲线图的矢量色数不大于色数较大：。例子是已知的与图的χ v（g ^ ）= 3 χ （G ^ ）= Ñ δ。（由Karger，Motwani，Sudan撰写的原始论文[JACM，45：246-265]（手稿）提出了广义的Kneser图，最近的论文使用了基于随机单位向量的构造。）χv(G)≤χ(G)χv(G)≤χ(G)\chi_v(G)\leq \chi(G)χv(G)=3χv(G)=3\chi_v(G)=3 χ(G)=nδχ(G)=nδ\chi(G)=n^\delta 我认为有示例图与χ v（ķ ）= 4和χ …
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用有界度逼近图中色数的硬度
我正在寻找有界度的图的顶点着色的硬度结果。 给定一个图，我们知道对于任何ϵ &gt; 0，都很难在| |的系数内近似χ （G ）。V | 1 - ε除非NP = ZPP [ 1 ]。但是，如果G的最大程度受d约束，该怎么办？在这种情况下，是否存在形式为d 1 − ϵ（对于某些ϵ）的硬度比？ģ （V，E）G(V,E)G(V,E)ϵ &gt; 0ϵ&gt;0\epsilon>0χ （G ）χ(G)\chi(G)| V|1 − ϵ|V|1−ϵ|V|^{1-\epsilon}NP = ZPPNP=ZPP\textit{NP}=\textit{ZPP}GGGdddd1 − ϵd1−ϵd^{1-\epsilon}ϵϵ\epsilon 一个更简单的问题是：当超图的边缘尺寸以为边界时，逼近超图的边缘色数的难度。在这种情况下，我们可以希望获得d 1 − ϵ硬度比吗？（例如，对于任何ϵ &gt; 0）dddd1 − ϵd1−ϵd^{1-\epsilon}ϵ &gt; 0ϵ&gt;0\epsilon >0 感谢您的关注！
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