Questions tagged «cc.complexity-theory»

P与NP以及其他资源受限的计算。

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NC和P之间的问题：此列表中有多少已解决？
在Greenlaw，Hoover和Ruzzo （PS） （PDF）撰写的论文“针对P的完整问题纲要” （PDF）中，列出了P中不存在于NC中且也不具有P完全性的问题列表。（此列表包含了Karp和Ramachandran进行的出色调查中的所有未解决问题。）未解决问题列表从第89页开始。 此列表中有多少个问题已解决（即，显示为P完全或NC）？我猜在过去的19年中没有解决太多问题，因此（希望如此）不应该成为一个大问题。 那是我能找到的最新名单。指向最新列表的指针也将不胜感激！ 编辑：安德拉斯·萨拉蒙（AndrásSalamon）指出，同一作者有一本教科书，其清单稍长。这是这本书的PDF。未解决的问题从第237页开始。
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所有复杂性类都具有叶子语言特征吗？
叶子语言是统一定义许多复杂性类的一种好方法。大多数复杂度类通常由计算模型（例如确定性/随机化TM）和资源限制（对数时间，多边形空间等）指定。但是，在叶子语言的表述中，只有一种计算模型，并且通过指定其叶子语言来指定类。 详细信息尚无法解释，因此，我将引导感兴趣的读者参加以下两项调查之一： H Vollmer对复杂性类的统一表征 KW Wagner的叶子语言课程 两项调查都很好地解释了前几页中的公式。 在瓦格纳（Wagner）的调查中，他说：“事实证明，到目前为止，所考虑的每个复杂性类别实际上都可以用叶子语言来描述。” 我的问题与这一说法有关。我知道有些类不知道叶子语言的特征，所以这意味着这些类不一定具有这种特征，或者我们没有找到。 我们是否期望每个复杂度类（例如P和PSPACE之间）都具有叶子语言特征？（让我们将自己限制为“自然的”复杂性类。）文献中是否有这种结果？ （一个相关的问题，我很高兴知道答案：是否有（启发式）方法针对给定的类提出叶子语言？） 编辑： Suresh指出在Wikipedia文章中有叶子语言的简短定义。我在下面复制它。 通常根据多项式时间不确定的Turing机器定义几个复杂度类，其中每个分支可以接受或拒绝，而整个机器根据分支条件的某些功能接受或拒绝。例如，一台不确定的图灵机至少在一个分支上接受，然后在所有分支都拒绝时才拒绝。另一方面，不确定的图灵机仅在所有分支都接受的情况下才接受，而在任何分支拒绝的情况下都拒绝。可以用这种方式定义许多类。
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范数保持图灵机
量子阅读最近的一些线程运算（在这里，在这里，和这里），让我记住了某种的力量一个有趣的问题范数保持机器。ℓpℓp\ell_p 对于从事复杂性理论研究的人们来说，要实现量子复杂性，Fortnow的论文是一篇很好的介绍性文章，该链接由Joshua Grochow 在此处发布。在那篇论文中，量子图灵机被描述为广义概率图灵机。基本上，机器概率有一个状态下的归一化ℓ 1范数，即∥ 小号∥ 1 = 1。机器的时间演变是通过应用给定的随机矩阵P，使得∥ P 小号∥ 1 = 1，即P保留了sssℓ1个ℓ1\ell_1∥ 小号∥1个= 1∥s∥1=1\parallel s\parallel_1=1PPP∥ P小号∥1个= 1∥Ps∥1=1\parallel Ps\parallel_1=1PPP范数。因此，时间 t处的状态为 P t s（表示法可能不精确，因为 P的左或右乘法取决于 s是行向量还是列向量，或者 P的行或列是保留范数的子空间）。因此，在这个意义上的概率图灵机是一个 ℓ 1范数保持机器表示中号ℓ 1。ℓ1个ℓ1\ell_1ŤttPŤsPtsP^tsPPPsssPPPℓ1个ℓ1\ell_1中号ℓ1个Mℓ1M^{\ell_1} 然后量子图灵机可以被看作是具有状态与∥ 小号∥ 2 = 1和酉矩阵P（即蜜饯ℓ 2个 -norms），使得P 吨小号是在时间的状态吨其中∥ P 吨小号∥ 2 = 1。这是一个ℓ 2范数保持机表示中号ℓ 2。sss∥ 小号∥2= 1∥s∥2=1\parallel s\parallel_2=1PPPℓ2ℓ2\ell_2PŤsPtsP^tsŤtt∥ PŤ小号∥2= 1∥Pts∥2=1\parallel …
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解释Gurvits对Deolalikar论文的张量秩解释
[注意：我认为这个问题绝不取决于Deolalikar论文的正确性。 在Scott Aaronson的博客Shtetl Optimized上，在关于Deolalikar最近在P vs NP上的尝试的讨论中，Leonid Gurvits发表了以下评论： 我试图理解/重新构造该方法，这是我的尝试，可能是非常简单的尝试：可以将本文中的离散概率分布视为张量或非常特殊的多元多项式。假设“ P = NP”以某种方式在张量秩上给出了（多项式？）上限。最后，使用已知的概率结果，他得到了同一排名的不匹配（指数？）下限。如果我是对的，那么从某种意义上说，这种方法是一种非常聪明的方法，可以很好地推广以前的代数几何方法。 尽管Deolalikar的证明存在怀疑/已知的缺陷，但我很好奇： 以何种方式可以将Deolalikar论文中讨论的分布视为张量，并且他的结果陈述（无论其正确性如何）如何转化为关于张量秩的陈述？
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有限的TM和Oracle
通常，oracle的查询磁带计入TM的空间复杂度。但是，允许只写的oracle-tape似乎是合理的（例如在L空间缩减中使用的）。 这样的结构有用吗？它会产生任何特别荒谬的结果吗？
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戈德尔声明的递归形式是否可能？
P / NP问题的自指有时有时会成为解决问题的障碍，例如，参见Scott Aaronson的论文，P vs. NP在形式上是否独立？关于P / NP的许多可能的解决方案之一就是证明该问题在形式上与ZFC无关，或者是真实的但无法证明的。 可以想象，问题的自我指称性在独立性证明中可能会带来更深层次的挑战，例如，如果关于其可证明性的陈述本身无法证明或无法推理。 假设我们将定理T Godel_0称为真定理，但在Godel定理的意义上无法证明。如果语句“ T is Godel_0”是正确的，但无法证明，则调用T Godel_1。如果语句“ T是Godel _ {（i-1）}为真，则调用T Godel_i。 我们知道存在Godel_0语句，并且发现了一些示例，这些示例在“野外”中并未明确地为此目的构建，如本文所述。 我的问题是：是否存在Godel_1或更高版本的语句？这样的陈述是戈德尔定理的自然结果吗？ 关于这样的陈述，我们绝对不能证明什么呢？即，对于每k > 0，T为Godel_k的陈述呢？ 我可以问一个关于形式独立性的类似问题，尽管我怀疑那里的答案是“否”。 回到P vs. NP问题，让我问一下，是否甚至暗示Godel定理与类可分离性问题有关。是否有关于复杂性类别的任何真实但无法证明的陈述-当然，除了停顿问题和Godel定理之间的明显联系之外？
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PPAD和Quantum
今天在纽约及世界各地，克里斯托斯·帕帕迪米特里乌（Christos Papadimitriou）都在庆祝生日。这是一个很好的机会，可以询问Christos的复杂度类PPAD（和他的其他相关类）与量子计算机之间的关系。Papadimitriou 在1994年发表的著名论文中，介绍并系统地研究了一些重要的复杂性类，例如PLS，PPAD等。（Papadimitriou的论文引用了之前的一些论文，特别是正如Aviad所指出的那样，PLS是Johnson-Papadimitriou-Yannakakis在1988年提出的。） 我的主要问题是： 量子计算机是否为PPADPPADPPAD问题提供了某些优势？或以 PLSPLSPLS？或在PLS∩ PP一dPLS∩PPADPLS \cap PPAD？等等... 另一个问题是是否存在PLS和PPAD以及Christos其他类别的量子类似物。 我注意到，PPAD的密码学近期显着连接在这些论文中发现：找到一个纳什均衡的加密硬度用N Bitansky，O-潘氏，罗森和灿PPAD硬度是基于标准加密的假设？作者：阿罗森（R Rosen），G·塞杰夫（G Segev），“我·沙哈夫（Shahaf）”和找到纳什均衡比打破菲亚特·沙米尔简直容易得多。我还注意到，我认为Christos的课程非常接近数学和数学证明。 更新： Ron Rothblum评论（在FB上），Choudhuri，Huaacek，Kamath，Pietrzak，Rosen和G. Rothblum的结果暗示PPAD似乎超出了量子计算机的能力。（我很高兴看到详细的解释来解释它。） 还有一个评论：一个相关的不错的问题是，以ñnn立方的唯一单向定位找到汇点是否具有有效的量子算法。（我认为此任务比P大号小号PLSPLS容易，但我不确定它与PP一dPPADPPAD。）这与寻找大号PLPLP量子优势有关，请参阅https://cstheory.stackexchange.com / a / 767/712。 克里斯托斯，生日快乐！
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#P中的两个功能除法
让是一个整数值的函数，使得2 ˚F是在＃P。这是否表示˚F是＃P？是否有理由相信这不太可能永远成立？我应该知道的任何参考吗？FFF2F2F2F#P#P\#PFFF#P#P\#P 出人意料的是，这种情况下想出了（有更大的常数），对于一个功能为其˚F ∈ ？＃P是一个古老的公开问题。 FFFF∈?#PF∈?#PF \in? \#P 注意：我知道论文M. Ogiwara，L. Hemachandra，关于可行的闭合特性的复杂性理论，其中研究了相关的二分法问题（参见Thm 3.13）。但是，他们的问题有所不同，因为他们通过发言权操作员定义了所有功能的划分。这样一来，他们就可以快速减少奇偶校验问题。
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如何证明USTCONN需要对数空间？
USTCONN是需要确定图是否存在从源顶点到目标顶点的路径的问题，所有这些都作为输入的一部分给出。ssstttGGG Omer Reingold显示USTCONN位于L（doi：10.1145 / 1391289.1391291）中。证明通过之字形乘积构造一个恒定度的扩展器。恒定度扩展器具有对数直径，然后可以使用恒定数量的对数大小标记检查所有可能的路径。 Reingold的结果给出了USTCONN的空间复杂度的对数上限，根据该论文，它的空间复杂度“高达恒定因子”。我对相应的下限感到好奇，该下限在本文中其他任何地方均未提及。 在最坏的情况下，如何证明对数空间来决定USTCONN？ 编辑：将输入表示形式固定为基础顶点对称简单有向图的 ×邻接矩阵，并连续列出行以形成位字符串。N×NN×NN \times NNNNN2N2N^2 Lewis和Papadimitriou（doi：10.1016 / 0304-3975（82）90058-5）证明USTCONN是SL完全的，这与Reingold的结果暗示SL = L。Savitch显示（doi：10.1016 / S0022-0000（70）80006-X）。此外对于任何可计算函数由斯登Hartmanis和刘易斯（DOI：10.1109 / FOCS .1965.11），因此USTCONN至少需要空间。最后，通常的类在L之下（例如NSPACE(n)⊆DSPACE(n2)NSPACE(n)⊆DSPACE(n2)\text{NSPACE}(n) \subseteq \text{DSPACE}(n^2)DSPACE(f(n))=DSPACE(1)DSPACE(f(n))=DSPACE(1)\text{DSPACE}(f(n)) = \text{DSPACE}(1)f(n)=o(loglogn)f(n)=o(log⁡log⁡n)f(n) = o(\log\log n)Ω(loglogn)Ω(log⁡log⁡n)\Omega(\log\log n)NC1NC1\text{NC}^1）是根据电路定义的，显然不能与任何根据空间限制定义的类进行比较。 据我所知，这（不太可能）留下了一种可能性，那就是存在更好的确定性算法，该算法仅使用但使用空间，对于某些，或者甚至是使用空间的USTCONN的不确定算法。O((logn)δ)O((log⁡n)δ)O((\log n)^\delta)Ω(loglogn)Ω(log⁡log⁡n)\Omega(\log \log n)δ&lt;1δ&lt;1\delta < 1o((logn)1/2)o((log⁡n)1/2)o((\log n)^{1/2}) 根据空间层次定理，只要f（n）是可空间构造的，。这似乎表明USTCONN不能位于\ text {DSPACE}（o（\ log n））中，但是，在对数空间减少的情况下，L的USTCONN是完整的，这似乎并不意味着此。USTCONN仍然有足够的结构来编码L中的任何问题通过减少对数空间，而USTCONN本身仅需要亚对数空间。DSPACE(o(f(n))⊊DSPACE(f(n))DSPACE(o(f(n))⊊DSPACE(f(n))\text{DSPACE}(o(f(n)) \subsetneq \text{DSPACE}(f(n))f(n)f(n)f(n)DSPACE(o(logn))DSPACE(o(log⁡n))\text{DSPACE}(o(\log n)) 只要L中有某种语言需要对数空间，则表明在严格“较弱”的情况下L的USTCONN是完整的，而不是对数空间的减少将产生所需的下界。 L在减少了空间的情况下，USTCONN是否对L完整？o(logn)o(log⁡n)o(\log n) Immerman（doi：10.1137 / 0216051）指出，对于一阶约简下的L，可以通过AC电路计算得到的定向可达性版本（其中所需路径（而非图形本身）是确定的）是完整的。然后，可能会将其修改为显示USTCONN在FO减少下对L是完整的。但是，尽管AC严格包含在L中，但AC仍然是电路类，我不知道有任何方法可以在亚对数空间中执行FO折减。00^000^000^0 …
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实数计算：浮点对TTE对域理论对等
当前，大多数流行语言中的实数计算仍通过浮点运算来完成。另一方面，诸如第二类型有效性（TTE）和领域理论之类的理论早已承诺对实数进行精确计算。显然，浮点精度问题并没有因此而减少，那么为什么这些理论没有成为主流，为什么没有更加明显的实现呢？ 例如，是否存在我们不太关心浮点错误的应用程序领域？是否存在重大的复杂性问题？
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关于/反对P的电路复杂度的Kolmogorov猜想的争论
根据（未经验证的）历史记录，Kolmogorov认为中的每种语言都具有线性电路复杂性。（请参见前面的问题Kolmogorov的猜想，即具有线性大小的电路。）请注意，这意味着。P P ≠ N PPP\mathsf{P}PPPP≠NPP≠NP\mathsf{P}\neq \mathsf{NP} 然而，人们认为柯尔莫哥洛夫的猜想可能会失败。例如，赖安·威廉姆斯（Ryan Williams）在最近的一篇论文中写道： “这个猜想如果是真的，将是令人惊讶的。对于语言，需要 时间，这种问题的复杂性似乎不太可能会神奇地缩小到大小，只是因为可以为每个输入长度设计不同的电路。”Ñ 100 100 ø （Ñ ）PP\mathsf{P}n100100n100100n^{100^{100}}O(n)O(n)O(n) 另一方面，安德烈·科莫哥洛夫（Andrey Kolmogorov，1903-1987年）被公认为20世纪最主要的数学家之一。很难想象他会提出一个完全荒谬的猜想。因此，为了更好地理解它，我试图找到一些可能实际上支持他令人惊讶的猜测的论点。这是我能想到的： 假设。然后我们可以在\ mathsf {P}中选择一种语言L \，使得L在均匀模型和非均匀模型中都具有超线性复杂度。然后有两种可能性：P⊈SIZE(lin)P⊈SIZE(lin)\mathsf{P}\not\subseteq \mathsf{SIZE}(lin)大号L∈PL∈PL\in \mathsf{P}LLL 有一个已知的 接受L的显式算法（Turing machine）。据此，我们可以构造一个必须具有超线性电路复杂性的显式函数族。但是，这可能被认为是不太可能的，因为在60多年来对电路的深入研究中，没有人能找到这样的例子。LLL L没有已知的显式算法。例如，它的存在是通过非建设性手段，例如“选择公理”来证明的。或者，即使存在显式算法，也没有人能够找到它。但是，假设存在无限多种语言可以扮演L的角色，那么它们也不大可能都以这种不友好的方式表现。LLLLLL 但是，如果我们认为这两种选择都不大可能，唯一剩下的可能性就是这样的LLL不存在。这意味着 P⊆SIZE(lin)P⊆SIZE(lin)\mathsf{P}\subseteq \mathsf{SIZE}(lin)，恰恰是Kolmogorov的猜想。 问题：您能想到关于/反对科尔莫哥罗夫猜想的其他论点吗？
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判断矩阵是否完全规则的复杂性
如果矩阵的所有平方子矩阵都具有完整秩，则称该矩阵为完全规则。此类矩阵用于构造超浓缩器。确定给定矩阵是否在理性上完全规则的复杂性是什么？在有限的领域？ 更一般而言，如果其大小最大为k的所有平方子矩阵都具有完整秩，则称该矩阵为全正则。给定一个矩阵和一个参数k，确定矩阵是否完全为k正则的复杂度是多少？kkkkkkkkkkkk
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我们可以
我们能否通过深度为lg n的多项式大小（无界扇入）电路计算ññn位阈值门lgñlglgñlg⁡ñlg⁡lg⁡ñ\frac{\lg n}{\lg \lg n}吗？或者，我们可以使用这些电路来计算输入位中的1的数目吗？ 是？Ť ç0⊆ 甲升吨Ť 我中号È（ø （LGñlglgñ），O （lgn ））ŤC0⊆一种升ŤŤ一世米Ë（Ø（lg⁡ñlg⁡lg⁡ñ），Ø（lg⁡ñ））\mathsf{TC^0} \subseteq \mathsf{AltTime}(O(\frac{\lg n}{\lg \lg n}), O(\lg n)) 请注意，。因此，问题本质上是在计算阈值门时是否可以在电路深度中节省因子。lg lg nŤ ç0⊆ Ñ Ç1个=ALogTime=AltTime(O(lgn),O(lgn))TC0⊆NC1=ALogTime=AltTime(O(lg⁡n),O(lg⁡n))\mathsf{TC^0} \subseteq \mathsf{NC^1} = \mathsf{ALogTime} = \mathsf{AltTime}(O(\lg n), O(\lg n))lglgnlg⁡lg⁡n\lg \lg n 编辑： 正如Kristoffer在他的回答中所写，我们可以保存因子。但是，我们可以节省更多吗？我们可以用替换吗？O （lg nlglgnlg⁡lg⁡n\lg \lg no（lgnO(lgnlglgn)O(lg⁡nlg⁡lg⁡n)O(\frac{\lg n}{\lg \lg n})o(lgnlglgn)o(lg⁡nlg⁡lg⁡n)o(\frac{\lg n}{\lg \lg n}) 在我看来，分层的蛮力技巧甚至无法保存（更普遍的是任何函数）都无效。lg lg …
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对于3度有界图，反馈顶点集问题可以在多项式时间内解决吗？
一般图形的反馈顶点集是NP完全的。由于顶点覆盖范围的减少，对于度数为8的有界图，它是NP完全的。在维基百科的文章说，这是多时间内可解的程度，3界图，是NP-完成度4界图。但是，我无法在任何地方找到任何证明。是真的吗 FVS在d阶有界图中是NP完全的最小d是多少？
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