理论计算机科学

理论计算机科学家和相关领域的研究人员的问答

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随机八卦的复杂性
分布式系统中的闲聊问题如下。我们有一个带有n个顶点的图每个顶点v都有一条消息m v，必须将其发送到所有节点。GGGnnnvvvmvmvm_v 现在，我的问题是在自组织网络模型的背景下（我们假设节点对网络的拓扑结构，其进出度和邻域集没有任何先验知识。只有每个节点的知识是其自己的标识符和节点总数）。 我还假定所有节点都可以访问全局时钟，并在称为回合的离散时间步中同步工作。 在这种情况下，算法的复杂性是完成所需的轮数。 我记得有一种算法可以高概率地解决O(nlog2n)O(nlog2⁡n)O(n \log ^2 n)回合中的闲聊问题。但是我再也找不到参考资料了，我想知道在此问题上是否还有最新的结果。 根据明智的评论进行编辑：在每个回合中，节点可以将消息传输到其所有邻居，并且可以从邻居那里接收消息。当且仅当节点的某个邻居恰好在该回合发送时，该节点才会在给定的回合接收消息。否则，将发生冲突，并且节点不会收到任何消息。
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参考请求：次模最小化和单调布尔函数
背景：在机器学习中，我们经常使用图形模型来表示高维概率密度函数。如果我们放弃密度积分（求和）为1的约束，我们将得到一个未归一化的图结构能量函数。 假设我们有这样的能量函数，，在曲线图上定义的G ^ = （V，ê）。有一个变量X为图中的每个顶点，并且有实值一元和成对的功能，θ 我（X 我）：我∈ V和θ 我Ĵ（X 我，X Ĵ）：我Ĵ ∈ ë，分别。那么，全能量就是EEEG=(V,E)G=(V,E)G = (\mathcal{V}, \mathcal{E})xxxθi(xi):i∈Vθi(xi):i∈V\theta_i(x_i) : i \in \mathcal{V}θij(xi,xj):ij∈Eθij(xi,xj):ij∈E\theta_{ij}(x_i, x_j) : ij \in \mathcal{E} E(x)=∑i∈Vθi(xi)+∑ij∈Eθij(xi,xj)E(x)=∑i∈Vθi(xi)+∑ij∈Eθij(xi,xj)E(\mathbf{x}) = \sum_{i \in \mathcal{V}} \theta_i(x_i) + \sum_{ij \in \mathcal{E}} \theta_{ij}(x_i, x_j) 如果所有的是二进制的，我们能想到的的X作为指示集合成员，并与术语谈论子模的只是一个小的滥用。在这种情况下，能量的功能是当且仅当子模θ 我Ĵ（0 ，0 ）+ θ 我Ĵ（1 ，1 ）≤ θ 我Ĵ（0 ，1 ）+ θ …
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是否已经知道每种NP语言的成员见证人数？
当我让Dana Moshkovitz回答另一个话题时，我想到了这个问题。 令为NP语言，令R L为各自的NP关系。我们知道存在一些多项式p，例如：LLLRLRLR_Lppp ∀x∈L,,∃w∈0,1p(|x|)(x,w)∈RL∀x∈L,,∃w∈0,1p(|x|)(x,w)∈RL\forall x \in L, \\, \exists w \in \\{0,1\\}^{p(|x|)} \quad (x,w) \in R_L 上面的语句只需要存在这样的，但并不强制它被明确地确定。相反，对于我所知道的每种NP语言，p都是已知的：pppppp 对于SAT，见证者的大小等于公式中出现的原子数。 对于汉密尔顿性，见证人的大小为，其中V是顶点集。O(|V|)O(|V|)O(|V|)VVV 对于图3着色，见证人的大小为，其中V是顶点集。O(|V|)O(|V|)O(|V|)VVV 是否存在一种NP语言（甚至是一种人工语言），对于该语言，我们知道存在一些限制证人规模的多项式，但我们无法明确确定p？pppppp
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“设置分区问题”的多方通信复杂性
在我正在考虑的应用程序中，我需要知道以下问题的通信复杂性： 给定，令S为1到n的整数集。爱丽丝（Alice），鲍勃（Bob）和卡罗尔（Carol）分别接收S的子集，分别由A，B和C表示。他们要检查是否一个，乙和Ç形成的分区小号，也就是说，它们是不相交的和他们的工会是小号。ñnn小号SS1个11ñnn小号SS一种AA乙BBCCC一种AABBBCCCSSSSSS 我对三方的情况特别感兴趣，但其他情况也会很有趣。请注意，对于2个参与方而言，该问题等效于EQUALITY问题，因此对于确定性协议，其下限为对于随机协议，其上限为O （log n ）。Ω(n)Ω(n)\Omega(n)O(logn)O(log⁡n)O(\log n) 我的问题是这个问题以前是否已知。如果您知道任何可能相关的问题，我也很想知道。
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Monotone-2CNF公式的计数解
Monotone-2CNF公式是CNF公式，其中每个子句均由2个正文字组成。 现在，我有一个单调，2CNF公式。令为的满意分配的集合。我也有一个oracle，它可以提供以下信息：S F OFFF小号SSFFFØOO 集合的基数（即）。˚F小号SSFFF 给定变量： Xxx 包含正文字中的解决方案数。X小号SSXxx 包含负文字的解决方案的数量。¬ XSSS¬x¬x\lnot x 给定2个变量和： x 2x1x1x_1x2x2x_2 包含的解的数量。X 1 ∧ X 2SSSx1∧x2x1∧x2x_1 \land x_2 包含的解的数目。X 1 ∧ ¬ X 2SSSx1∧¬x2x1∧¬x2x_1 \land \lnot x_2 包含的解的数量。¬ X 1 ∧ X 2SSS¬x1∧x2¬x1∧x2\lnot x_1 \land x_2 包含的解的数目。¬ X 1 ∧ ¬ X 2SSS¬x1∧¬x2¬x1∧¬x2\lnot x_1 \land \lnot x_2 …
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“排列p是我集合中图的自同构吗？” NP完整吗？
假设我们有一组图S（有限的图，但是有无限的图）和作用于S的一组排列P。 实例：P中的置换p。 问题：S中是否存在允许自同构p的图g？ 对于某些集合S，这个问题NP是否完整？ 检查图形是否允许排列p（即证书）将很容易。此外，很容易找到问题不是NP完全的S的示例，例如S是一组完整的图，那么答案总是是肯定的。 注意：我对它们是什么类型并不十分感兴趣；如果您喜欢，它们可以是非简单的，有针对性的，有颜色的等。 附录：我当前正在研究的问题是对哪些同构是拉丁方的自构进行分类（也可以解释为图自同构的一种特殊类型）。 给定拉丁方L（i，j），我们可以通过以下方式构造图： 顶点集是矩阵中的单元格（i，j）的集合， 每当i = i'或j = j'或L（i，j）= L（i'，j'）时，在不同的（i，j）和（i'，j'）之间存在一条边。 这样的图被称为拉丁方图（例如参见Bailey和Cameron的这篇文章，网址为http://designtheory.org/library/encyc/topics/lsee.pdf）。我们可以将拉丁方的自同构性解释为拉丁方图的同构性。因此，令S为由n阶拉丁方形成的拉丁方图的集合。所以我感兴趣的问题是： 给定一个置换p，p是S中一个（或多个）图的自同构吗？ 我的感觉是，总体上来说这是一个很难回答的问题-我目前正在撰写有关此事的30多页论文（有2位合著者）。实际上，大多数情况下这很容易（大多数情况下为“否”），但是有一些困难的情况。 因此，我有兴趣寻找与“对称分类”有关的决策问题。它们实际上并不需要与拉丁方有关，我只是希望使用这些技术来回答拉丁方的问题。
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树旋转基本定理的参考
当两个二叉搜索树在有序遍历中达成一致时，它们被认为是线性等效的。以下定理解释了为什么树旋转如此重要： 令A和B为二叉搜索树。当且仅当它们通过一系列树旋转连接时，A和B才是线性等价的。 很久以前，当我第一次学习数据结构时，我注意到了这个结果，并且想更深入地了解树旋转的特殊状态。 证明简单直观：将最小元素沿左脊旋转到根位置。通过顺序不变，该重新排列的树不能具有左子树。现在，在右边的子树上递归。结果是测试线性等效性的标准形式。 尽管这是一个基本定理，但我在文献中从未见过。对于下次需要使用此结果的参考，我将不胜感激。 （奖金脑筋急转弯：寻找连接两个线性等效二叉搜索树的最短树轮换序列的最佳算法是什么？）
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-tree 的正确定义是什么？
如标题所示， -tree 的正确定义是什么？有几篇论文讨论了树和部分树作为具有有限树宽的图的替代定义的方法，我见过许多看似不正确的定义。例如，至少一个位置将 -tree 定义如下：ķ ķ ķķkkķkkķkkķkk 当且仅当是具有个顶点的完整图，或者具有度为的顶点使得是树时，才将图称为树。的部分 -tree是任子图 -tree。G k G v k − 1 G ∖ v k k kķkkGGGkkkGGGvvvk−1k−1k − 1G∖vG∖vG \setminus vkkkkkkkkk 根据此定义，可以创建以下图形： 开始具有边缘，一个 -树。2(v1,v2)(v1,v2)(v_1, v_2)222 对于，创建一个顶点并将其与和相邻。v i v i − 1 v i − 2i=1…ni=1…ni=1\ldots nviviv_ivi−1vi−1v_{i-1}vi−2vi−2v_{i-2} 这样做会创建一条带对角线的平方的带。同样，我们可以从第一个正方形开始在与上面的条带正交的方向上创建一个带。然后，我们将拥有网格的第一行和第一列。通过创建顶点并将其连接到其上方和左侧的顶点，可以轻松地填充网格。n × nnnnn×nn×nn \times n 最终结果是一个包含网格的图，该网格实际上已知为树宽。nn×nn×nn\times nnnn 树的正确定义必须如下：kkk 的图形称为一个 …
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定向st-connectivity的并行算法
Chong，Han和Lam表明，使用O （m + n ）处理器可以在时间内在EREW PRAM上解决无方向性st-connectivity 。什么是定向st-连通性的最著名并行算法？请说明运行时间，确定性/随机算法以及所使用的PRAM模型（假设处理器数量是多项式）。是否有针对定向st-connectivity的任何特殊情况的o （log 2 n）时间并行算法？O （log n ）O(logn)O({\log}n)O （m + n ）O(m+n)O(m+n)o （日志2n）o(log2n)o({\log}^2{n})
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随机Oracle模型中零知识协议的穷举模拟器
在一篇名为“关于公共参考字符串和随机Oracle模型中的可否认性”的论文中，Rafael Pass写道： 我们注意到，根据RO [Random Oracle]模型中的标准零知识定义证明安全性时，该模拟器比普通模型模拟器具有两个优势，即： 模拟器可以查看各方查询oracle的值。 只要答案“看起来”确定，模拟器就可以用它选择的任何方式回答这些查询。 第一种技术，即“监视” RO的查询的能力，在所有涉及RO模型中的零知识概念的论文中都非常普遍。 现在，考虑黑盒零知识的定义（PPT代表概率的多项式时间图灵机）： 小号∀ V * ∀ X ∈ 大号∀ ř∃∃\exists一个PPT模拟器，使得（可能作弊）PPT验证程序，公用输入和随机性，以下内容是无法区分的：小号SS∀∀\forallV∗V∗V^*∀∀\forallX ∈ 大号x∈Lx\in L∀∀\forall[Rrr 在输入上与证明者交互并使用随机性的视图 P x rV∗V∗V^*PPPXxx[Rrr； 当给黑盒访问时，输入和上的输出。 x r S V *小号SSXxxrrrSSSV∗V∗V^* 在这里，我想展示一个作弊验证者，其工作是用尽所有试图监视RO查询的模拟器：V′V′V' 令为黑盒子零知识定义中由存在量词保证的模拟器，令为多项式，其使在输入上的运行时间上限为上限。假设尝试监视对RO 的查询。q （| x |）S x S V *SSSq(|x|)q(|x|)q(|x|)SSSxxxSSSV∗V∗V^* 现在，考虑作弊，它首先向RO查询V′V′V'q(|x|)+1q(|x|)+1q(|x|)+1次（在其选择的任意输入上），然后任意恶意地行动。 显然，排出模拟器。一种简单方法是拒绝这种恶意行为，但是通过这种方式，区分者可以轻松地将真实交互与模拟交互区分开。（由于在实际交互中，证明方无法监视的查询，因此不会基于查询过多的事实而拒绝。）小号小号P V ' V 'V′V′V'SSSSSSPPPV′V′V'V′V′V' 以上问题的解决方法是什么？ 编辑： 在RO模型中研究ZK的一个很好的资料是： …
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一次量子命中时间
在论文《量子随机行走以指数方式更快地命中（arXiv：quant-ph / 0205083）》中，肯普给出了量子行走（在超立方体中）的命中时间这一概念，在量子行走文学中并不十分流行。定义如下： 单次量子击中时：离散时间量子游走有(T,p)(T,p)(T,p)一次性(|Ψ0⟩,|Ψf⟩)(|Ψ0⟩,|Ψf⟩)(|\Psi_0\rangle,|\Psi^f\rangle) -hitting如果时间|⟨Ψf|UT|Ψ0⟩|2≥p|⟨Ψf|UT|Ψ0⟩|2≥p|\langle\Psi^f|U^T|\Psi_0\rangle|^2 \geq p其中|Ψ0⟩|Ψ0⟩|\Psi_0\rangle是初始状态，|Ψf⟩|Ψf⟩|\Psi^f\rangle是目标状态，并且p>0p>0p>0 是命中率。 通常，您想知道最小TTT使得p>0p>0p>0。不可能（如果我错了，请纠正我）定义平均击球时间的概念，因为您将需要在步行过程中进行测量，并将其折叠成经典的步行方式。这就是为什么我们只有一个想法。在同一工作中，有一个应用到量子路由（请参阅第5节）。 为了知道步行到达了目标顶点，您只需要在该节点进行测量。例如，在具有2 个n节点的nnn维超立方体中，如果您从node | Ψ 0 ⟩ = | 00 ... 00 ⟩和有作为目标节点| Ψ ˚F ⟩ = | 11 ... 11 ⟩，本文显示，Ť = Ö （Ñ ）具有有界错误概率，即p → 1作为Ñ2n2n2^n|Ψ0⟩=|00…00⟩|Ψ0⟩=|00…00⟩|\Psi_0\rangle=|00\dots00\rangle|Ψf⟩=|11…11⟩|Ψf⟩=|11…11⟩|\Psi^f\rangle=|11\dots11\rangleT=O(n)T=O(n)T=O(n)p→1p→1p\to 1nnn变得非常大。因此为了检测步行到达|11…11⟩|11…11⟩|11\dots11\rangle你做出之后进行测量Ω(n)Ω(n)\Omega(n)步骤。这是指数级的加速。 问题： 要使用击中时间这一概念进行搜索，您至少需要知道目标顶点与原点的距离，因为这是您知道何时应用度量的方式。假设您有一个图形，并将其设置为初始顶点v 0并希望达到v f。还假定Ť = Ö （d 我小号吨（v 0，v ˚F））和p ≥ 1 / …
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快速稀疏布尔矩阵链乘积
因此，我有大约100-200个非常稀疏的方布尔矩阵，边长约为几十个，我需要计算它们的乘积。我知道，如果我连续乘以它们，乘积通常在每一步都保持稀疏状态。 在这种情况下，是否有任何矩阵链乘积算法工作得特别快？ 从更高的角度讲，问题是要在一个相当小的图（NFA的转换函数）上计算一系列一对多映射的组成，其中大多数元素映射到不超过0-3。 （请注意，这不是通常的“矩阵链乘积”问题，因为所有矩阵的大小相同，我不必选择最佳括号）
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