理论计算机科学

理论计算机科学家和相关领域的研究人员的问答

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停止检测器的性能如何？
是否有图灵机可以决定几乎所有其他图灵机是否停止？ N→{Mi}N→{Mi}\mathbb{N} \rightarrow \{M_i\}∥⋅∥‖⋅‖\| \cdot \| f(i)=∥{n:Mi can't decide whether Mn halts}∥.f(i)=‖{n:Mi can't decide whether Mn halts}‖.f(i) = \|\{n: M_i \text{ can't decide whether }M_n \text{ halts} \}\|. 对于不同的存在的最小值的哪些特征？？例如，假设是数字的最多的比例的limsup是在。是否有一个为其中？fff∥⋅∥‖⋅‖\| \cdot \|∥S∥‖S‖\| S \|kkkSSSiiif(i)=0f(i)=0f(i) = 0
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是什么使一种语言（及其类型系统）能够证明有关其自身术语的定理？
我最近尝试实现Aaron的Cedille-Core，这是一种极简主义的编程语言，能够证明有关其术语的数学定理。我还证明了其上的λ编码数据类型的归纳法，这使他的扩展为什么必要的原因更加清楚。 几乎没有，我仍然想知道这些扩展来自何处。为什么他们是他们自己？什么使他们合理？我知道，例如，某些扩展（例如递归）破坏了该语言作为证明系统的地位。如果我决定也将CoC与其他原语一起扩展，我将如何辩解？我知道有必要进行标准化的证明，但这并不能证明这些原语“有意义”。 简而言之，什么使语言（及其类型系统）成为能够证明自己的术语定理的系统呢？
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如果
试想一下，我们有两个大小mmm点集X,Y⊂RnX,Y⊂RnX,Y\subset \mathbb{R}^n。如果仅轮换不同，测试的（时间）复杂度是多少？：存在旋转矩阵OOT=OTO=IOOT=OTO=IOO^T=O^TO=I使得X=OYX=OYX=OY？ 这里存在一个表示实数值的问题-为简单起见，假设每个坐标都有一个（简短的）代数公式，这样基本算术运算的成本可以假定为O（1）。 基本问题是这个问题是否在P中？ 乍看之下，这个问题看似简单-通常足以测试点的范数和局部关系（例如角度），但有一些讨厌的示例，例如，它等效于图同构问题。 具体来说，查看强正则图（SRG）邻接矩阵的本征空间，我们可以对其进行几何解释。以下是最简单的示例-两个16个顶点SRG，它们在本地看起来是相同的，但不是同构的： SRGs的邻接矩阵始终只有（已知公式的）三个特征值-观察上面特征值2的特征空间（核），它具有上面写的基数6-。标准正交化它（革兰氏施密特），我们得到的可能的正交基大的空间-由不同Ö （6 ）旋转，其旋转“垂直载体”：长度为6的16定义这样的集合矢量为X ⊂ - [R 6，| X | = 16，在第二张图中Y对应-将图同构问题转换为X和XA−2IA−2IA-2IO(6)O(6)O(6)X⊂R6X⊂R6X\subset \mathbb{R}^6|X|=16|X|=16|X|=16YYYXXX仅旋转不同。YYY 困难在于所有这些点都在一个球体中并重新建立原始关系：所有邻居（此处为6个）的固定角度均小于90度，所有非邻居（此处为9个）的固定角度均大于90度，如示意图中所示上面的图片。 因此，基于范数和局部角度的测试可以回溯到图形同构问题……但是，几何解释允许对诸如旋转不变量之类的全局特性起作用。 n(n−1)/2n(n−1)/2n(n-1)/2 我们通常可以定义旋转不变式 -问题是构造一组完整的旋转入侵：完全确定一组模旋转。 xTAxxTAxx^T A xTr(Ak)Tr(Ak)Tr(A^k)k=1,…,nk=1,…,nk=1,\ldots,nkkk下面的每个图对应于1,2,3,4阶多项式的单个旋转不变量： p(z)=∏x∈X(x⋅(z−x))p(z)=∏x∈X(x⋅(z−x))p(z)=\prod_{x\in X} (x\cdot (z-x)) p(z)=∑x∈X(x⋅z−a)2(x⋅z−b)2(x⋅z−c)2p(z)=∑x∈X(x⋅z−a)2(x⋅z−b)2(x⋅z−c)2p(z)=\sum_{x\in X} (x\cdot z -a)^2 (x\cdot z -b)^2 (x\cdot z -c)^2 a,b,ca,b,ca,b,c 那么，我们能否检验两个6次多项式是否仅因多项式时间的旋转而不同？如果是这样，则SRG的图同构在P中。 是否有比SRG更严格的示例（用于测试两组是否仅在旋转方面有所不同）？我对此表示怀疑，这要归功于Babai（？）允许拟多项式上限 更新：我被指出与（已解决）正交Procrustes问题相似： minO:OTO=I∥OA−B∥Fachieved forO=UVT, whereBAT=UDVTminO:OTO=I‖OA−B‖Fachieved forO=UVT, whereBAT=UDVT\min_{O:O^TO=I} …
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是否可以在时间和线性空间中排序
在最近的预印本https://arxiv.org/abs/1801.00776中，声称可以按时间 和线性空间实数进行排序 。尽管我不是排序算法方面的专家，但本文似乎很合理。ø （Ñ √ñnnØ （ñ 日志ñ----√），O(nlog⁡n),O(n \sqrt{\log n}), 我认为，至少从理论上讲，如果正确，那将是重要的。 然而，主要论点的表达有些非正式和非传统。 有人注意到/评论过本文吗？似乎同一位作者韩一杰（Yijie Han）发表了有关整数排序的相关结果，如Han's时间，线性空间，整数排序算法中所述Ø （ñ 日志日志n ）O(nlog⁡log⁡n)O(n \log\log n)
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区分两个确定性CFG的常规语言
假设您获得了两个确定性下推自动机，它们可以识别语言和，并希望确定是否存在规则语言，使得和。基本上，挑战在于确定DFA是否可以识别给定字符串来自两种语言中的哪一种，因为它来自这些语言之一。AAABBBRRRA⊆RA⊆RA \subseteq RR∩B=∅R∩B=∅R \cap B = \emptyset 这可以决定吗？如果是这样，那么复杂度是多少？可以明确构造DFA吗？
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对于任何两个非同构图
我想很具体。有谁知道以下论点的反驳或证明： ∃p∈Z[x],n,k,C∈N,∃p∈Z[x],n,k,C∈N,\exists p \in \mathbb{Z}[x], n, k, C \in \mathbb{N}, ∀G,H∈STRUC[Σgraph](min(|G|,|H|)=n,G≄H),∀G,H∈STRUC[Σgraph](min(|G|,|H|)=n,G≄H),\forall G, H \in STRUC[\Sigma_{graph}] (min(|G|, |H|) = n, G \not\simeq H), ∃φ∈L(Σgraph),∃φ∈L(Σgraph),\exists \varphi \in \mathcal{L}(\Sigma_{graph}), |φ|≤p(n)∧qd(φ)≤Clog(n)k∧G⊨φ∧H⊭φ.|φ|≤p(n)∧qd(φ)≤Clog(n)k∧G⊨φ∧H⊭φ.|\varphi| \leq p(n) \wedge qd(\varphi) \leq Clog(n)^k \wedge G \vDash \varphi \wedge H \nvDash \varphi. 直观地讲，如果可以使用“ local”语句来区分所有非同构图，那么这应该是正确的，并且我想这是错误的。当然，可以使用多项式量词深度来区分任何图，因为您只需指定图的模同构即可：Clog(n)kClog(n)kClog(n)^k φ=∃x1∃x2∃x3...∃xn(∀x(⋁i∈VGx=xi)∧(⋀(i,j)∈EGE(xi,xj)))∧(⋀(i,j)∉EG¬E(xi,xj)))∧(⋀(i,j)∈V2G∣i≠jxi≠xj).φ=∃x1∃x2∃x3...∃xn(∀x(⋁i∈VGx=xi)∧(⋀(i,j)∈EGE(xi,xj)))∧(⋀(i,j)∉EG¬E(xi,xj)))∧(⋀(i,j)∈VG2∣i≠jxi≠xj).\varphi = \exists x_1 \exists x_2 \exists …
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这个非标准的Azuma不等式的证据是什么？
在Dwork等人的“ 促进和区别性隐私的附录B”中，作者陈述了以下结果，但没有证据，并将其称为Azuma不等式： 让C1,…,CkC1,…,CkC_1, \dots, C_k来实值随机变量，使得对于每一个i∈[k]i∈[k]i \in [k]， Pr[|Ci|≤α]=1Pr[|Ci|≤α]=1\Pr[|C_i| \leq \alpha] = 1 对于每个，我们有。(c1,…,ci−1)∈Supp(C1,…,Ci−1)(c1,…,ci−1)∈Supp(C1,…,Ci−1)(c_1, \dots, c_{i - 1}) \in \text{Supp}(C_1, \dots, C_{i - 1})E[Ci∣C1=c1,…,Ci−1=ci−1]≤βE[Ci∣C1=c1,…,Ci−1=ci−1]≤β\text{E}[C_i \mid C_1 = c_1, \dots, C_{i - 1} = c_{i - 1}] \leq \beta 那么对于每个，我们有。z>0z>0z > 0Pr[∑ki=1Ci>kβ+zk−−√⋅α]≤e−z2/2Pr[∑i=1kCi>kβ+zk⋅α]≤e−z2/2\Pr[\sum_{i = 1}^k C_i > k\beta + z \sqrt{k} \cdot \alpha] …
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模式lambda演算中的eta展开
克洛普（Klop），范·奥斯特罗姆（van Oostrom）和德弗里耶（de Vrijer）撰写了一篇有关带模式的λ演算的论文。 http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0304397508000571 从某种意义上说，模式是一棵变量树-尽管我只是将其视为变量的嵌套元组，例如（（x，y），z），（t，s））。 在论文中，他们表明，如果模式是线性的，则从某种意义上说，模式中没有重复变量，则规则 (\p . m) n = m [n/p] 其中p是可变模式，n是与p形状完全相同的项的元组是合流的。 我很好奇文学中关于lambda演算的相似发展，包括模式和附加的eta规则（扩展，约简或仅相等）。 尤其是eta，我的意思是 m = \lambda p . m p 更直接地，我很好奇这样的lambda演算将具有什么性质。例如，它会合吗？ 它强制关闭分类类别，因为它强制 m p = n p implies m = n 通过在两者之间使用\ xi-rule。但是也许可能出问题了？
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压缩有关Oracle Turing机器暂停问题的信息
众所周知，停止问题是无法解决的。但是，可以按指数方式“压缩”有关暂停问题的信息，以便对它进行解压缩是可计算的。 更确切地说，它是可能从的描述来计算图灵机和ñ位建议国家答案的停机问题对所有2 ñ - 1图灵机，假定建议国家是值得信赖的-我们让我们的顾问选择一些位来描述有多少图灵机以二进制形式停止，等到那么多停止后，再输出其余部分不停止。2ñ− 12n−12^{n}-1ñnn2ñ− 12n−12^{n}-1 该论证是证明Chaitin常数可用于解决停止问题的简单证明。令我惊讶的是它的锋利。从图灵机的描述和n位建议状态到2 n位暂停输出，对于图灵机的每个元组，对于某些元组，没有一个可计算的映射，从而获得正确的答案。如果有的话，我们可以通过对角化来产生一个反例，使用2 n个图灵机中的每一个，模拟程序对n位的2 n种可能排列之一进行的操作，然后选择自己的停止状态以违反预测。2ñ2n2^nñnn2ñ2n2^n2n2n2^n2n2n2^nnnn 根本无法使用暂停Oracle来压缩有关图灵机暂停问题的信息（您自己无法访问某种Oracle）。这些机器可以模拟您在所有可能的输入上预测的内容，而忽略那些您不会停止的输入，并选择它们的停止时间以按字典顺序给出您未对任何输入进行预测的第一个答案。 这激发了我思考其他神谕会发生什么： 是否有一个预言例，可以用线性和指数之间的中间增长率压缩具有该预言器的图灵机的停机问题？ f(n)f(n)f(n)mmmmmmnnnmmmmmmnnnmmm111000 n&lt;f(n)&lt;2n−1n&lt;f(n)&lt;2n−1n<f(n)<2^{n}-1ω(n)=f(n)=o(2n)ω(n)=f(n)=o(2n)\omega(n)=f(n)=o(2^n)
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DSPACE（O（s（n）））中的时间层次结构
时间层次定理指出，图灵机有（足够）更多的时间可以解决更多的问题。如果空间渐近受限，它是否以某种方式成立？如何DTISP(g(n),O(s(n)))DTISP(g(n),O(s(n)))\textrm{DTISP}(g(n), O(s(n)))涉及DTISP(f(n),O(s(n)))DTISP(f(n),O(s(n)))\textrm{DTISP}(f(n), O(s(n)))如果fgfg\frac{f}{g}增长足够快？ 我对s(n)=ns(n)=ns(n) = n，g(n)=n3g(n)=n3g(n) = n^3和的情况特别感兴趣f(n)=2nf(n)=2nf(n) = 2^n。 具体地讲，我考虑的以下语言： Lk:={(⟨M⟩,w):M rejects (⟨M⟩,w) using at most |⟨M⟩,w|3 time steps,Lk:={(⟨M⟩,w):M rejects (⟨M⟩,w) using at most |⟨M⟩,w|3 time steps, L_k := \{ (\langle M \rangle, w) \; : \; \text{M rejects } (\langle M \rangle, w) \text{ using at most } …
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减少不同密度的语言之间的距离？
语言X的密度是一个函数d X：N → N定义为d X（n ）= | { X ∈ X | | x | ≤ ñ } | 。 假设A和B是某种有限字母上的语言，一个多对数的空间缩小为B，并且B不在L = DSPACE （log n ）中XXXdX:N→NdX:N→Nd_X \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}dX(n)=|{x∈X∣|x|≤n}|.dX(n)=|{x∈X∣|x|≤n}|.d_X(n) = |\{x\in X \mid |x| \le n\}|.AAABBBAAABBBBBBL=DSPACE(logn)L=DSPACE(log⁡n)\textsf{L} = \text{DSPACE}(\log n)。功能被多项式相关的，如果有多项式p和q使得对于所有Ñ ∈ Ñ，˚F （Ñ ）≤ p （克（Ñ ））和克（Ñ ）≤ q （˚F …
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为什么计算机科学家在整个过程中都假设P≠NP？
从数学的背景来看，对我而言似乎很有趣的是，在整个计算机上，科学家倾向于在的假设下工作P≠NPP≠NPP \neq NP。虽然没有任何一种方法可以证明，但是通常来说，除非在数学和科学方面都没有特别证明的东西，否则要有相当多的力量。我认为，多年来人们花了很多时间试图反证P=NPP=NPP = NP，但尚未发现证据的事实至少会导致一些计算机科学家在查看P = N P的参数范围内工作。P=NPP=NPP = NP可能是真的。但是，我经常看到人们在不正确的框架内工作，我想知道为什么？在许多领域中假设似乎更为保守P=NPP=NPP = NP。我已经读过无数的文章，关于如果证明P=NPP=NPP = NP是正确的，那么多少计算机科学和CS相邻领域将不得不改变其当前方法，那么为什么不假设呢？尽管不太可能在短期内证明这两种方法，但是如此严重地依赖这样的推测似乎有些奇怪。似乎几乎没有必要假设戈德巴赫的猜想是无效的，因为这也没有证据。
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SAT是上下文无关的语言吗？
我正在考虑所有可满足的命题逻辑公式SAT的语言（为确保它具有有限的字母，我们将以某种合适的方式对命题字母进行编码[编辑：答复指出，在各种编码，因此需要更具体-参见下面的结论]）。我的简单问题是 是SAT上下文无关的语言？ 我的第一个猜测是，今天（2017年初）的答案应该是“没人知道，因为这与复杂性理论中尚未解决的问题有关”。但是，这也不是真的（请参阅下面的答案），尽管也不是完全错误的。这是我们所知道的事情的简短摘要（从一些显而易见的事情开始）。 SAT不是常规的（由于命中括号，甚至命题逻辑的语法也不常规） SAT是上下文相关的（不难为其提供LBA） SAT是NP完全的（Cook / Levin），尤其是由多项式时间内的不确定TM决定。 SAT也可以通过单向非确定性堆栈自动机（1-NSA）进行识别（请参阅WC Rounds，中级语言的识别复杂性，《交换与自动机理论》，1973，145-158 http://dx.doi.org/ 10.1109 / SWAT.1973.5） 与上下文无关的语言的单词问题具有其自己的复杂度类CFLCFL\textbf{CFL}（请参阅https://complexityzoo.uwaterloo.ca/Complexity_Zoo:C#cfl） ，其中 LOGCFL是类的问题LOGSPACE还原为 CFL（见https://complexityzoo.uwaterloo.ca/Complexity_Zoo:L#logcfl）。据了解， NL ⊆ LOGCFL。CFL⊆LOGCFL⊆AC1CFL⊆LOGCFL⊆AC1\textbf{CFL}\subseteq\textbf{LOGCFL}\subseteq\textbf{AC}^{\textbf{1}}LOGCFLLOGCFL\textbf{LOGCFL}节能灯CFL\textbf{CFL}NL ⊆ LOGCFLNL⊆LOGCFL\textbf{NL}\subseteq\textbf{LOGCFL} NL⊊NPNL⊊NP\textbf{NL}\subsetneq\textbf{NP}NC 1 ⊊ PH NP LOGCFL LOGCFLNL=NPNL=NP\textbf{NL}=\textbf{NP}NC1⊊PHNC1⊊PH\textbf{NC}^{\textbf{1}}\subsetneq\textbf{PH}NPNP\textbf{NP}LOGCFLLOGCFL\textbf{LOGCFL}LOGCFLLOGCFL\textbf{LOGCFL} 但是，最后一点仍然可能使SAT不在。通常，我对与层次结构之间的关系了解不多，这可能有助于阐明我的问题的认知状态。灯节能灯NCCFLCFL\textbf{CFL}CFLCFL\textbf{CFL}NCNC\textbf{NC} 备注（在看到一些初始答案之后）：我并不期望该公式为合取范式（这不会对答案的本质造成影响，并且由于CNF也是一个公式，因此通常仍然适用论点。但是声称问题的常量数版本是常规的失败，因为语法需要括号。） 结论：与我的复杂性理论启发的猜测相反，我们可以直接证明SAT不是上下文无关的。因此，情况是： 众所周知，SAT是不是上下文无关的（换句话说：SAT不在），这种假设是假设人们使用公式的“直接”编码，其中命题变量由二进制数字标识（还有一些进一步的符号用于运算符和分隔符）。CFLCFL\textbf{CFL} 尚不知道SAT是否位于，但“大多数专家认为”并非如此，因为这意味着。这也意味着未知SAT的其他“合理”编码是否与上下文无关（假设对于NP难题，我们认为logspace是可接受的编码工作）。P = NPLOGCFLLOGCFL\textbf{LOGCFL}P=NPP=NP\textbf{P}=\textbf{NP} 请注意，这两点并不意味着。这可以通过显示中的语言（因此在）不是上下文无关的语言（例如）直接显示出来。大号LOGCFL 一个Ñ b Ñ Ç ÑCFL⊊LOGCFLCFL⊊LOGCFL\textbf{CFL}\subsetneq\textbf{LOGCFL}LL\textbf{L}LOGCFLLOGCFL\textbf{LOGCFL}anbncnanbncna^nb^nc^n
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