理论计算机科学

理论计算机科学家和相关领域的研究人员的问答

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这个游戏的复杂性是什么？
这是我先前问题的概括。 令中号MM为可以对某些甲提出问题的多项式时间确定性机器。最初，是空的，但是可以在下面将要描述的游戏之后进行更改。令为一些字符串。一个AA一个AAXxx 考虑以下爱丽丝和鲍勃的游戏。最初，爱丽丝和鲍勃分别拥有和美元。爱丽丝想要而鲍勃想要。米一个mAm_A米乙mBm_B中号一个（x ）= 1MA(x)=1M^A(x)=1中号一个（x ）= 0MA(x)=0M^A(x)=0 在游戏的每一步，玩家都可以在加上 ; 这花费了美元，其中是多项式时间可计算函数。玩家也可能错过他或她的脚步。ÿyy一个AAF（y）f(y)f(y)F：{ 0 ，1 }∗→ Nf:{0,1}∗→Nf: \{0,1\}^* \to \mathbb{N} 如果两个玩家都花光了所有钱，或者某个玩家在失去位置（由的当前值定义）时错过了一步，则比赛结束。中号一个（x ）MA(x)M^A(x) 问题：对于给定的，定义游戏赢家的问题 是中号，˚F，X ，米一个，米乙M,f,x,mA,mBM, f, x, m_A, m_B EXPSPACE-完成任务？ 请注意，只能要求（属于）具有多项式长度的字符串，因此Alice或Bob不会向添加更多更长的字符串。因此，这个问题在EXPSPACE中。 中号MM一个AA一个AA 在我之前的问题中，将每个字符串添加到都要花费一美元（即）。然后（如Lance Fortnow所示），如果则该游戏属于EXPH甚至属于PSPACE。 一个AAF≡ 1f≡1f \equiv 1米甲 = 米乙米一个= 米乙mA=mBm_A = m_B
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证明依赖类型检查是可判定的证明技术
我处于一种情况下，我需要证明对于我正在研究的依赖类型演算，类型检查是可以决定的。到目前为止，我已经能够证明该系统正在高度规范化，因此定义相等性是可判定的。 在我阅读的许多参考文献中，类型检查的可判定性被列为强规范化的必然结果，我相信在这种情况下会如此，但是我想知道如何才能真正显示出这一点。 特别是，我坚持以下几点： 仅仅因为类型良好的术语会高度归一化，并不意味着该算法不会在非类型良好的输入上永远循环 由于逻辑关系通常用于显示强规范化，因此在进行类型检查术语时，没有方便的递减度量。因此，即使我的类型规则是针对语法的，也无法保证应用规则最终会终止。 我想知道，有没有人能很好地证明依赖类型语言的类型检查可判定性证明？如果是小的核心演算，那很好。任何讨论证明可判定性的证明技术的东西都将是很棒的。
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该游戏的EXPSPACE完成了吗？
令为可以对某些甲提出问题的多项式时间确定性机器。最初，是空的，但是可以在下面将要描述的游戏之后进行更改。令为一些字符串。MMMAAAAAAxxx 考虑以下爱丽丝和鲍勃的游戏。最初，爱丽丝和鲍勃分别拥有和美元。爱丽丝想要而鲍勃想要。mAmAm_AmBmBm_BMA(x)=1MA(x)=1M^A(x)=1MA(x)=0MA(x)=0M^A(x)=0 在游戏的每一步，玩家都可以在加一个弦; 这花费一美元。玩家也可能错过他或她的脚步。AAA 如果两个玩家都花光了所有钱，或者某个玩家在失去位置（由的当前值定义）时错过了一步，则比赛结束。MA(x)MA(x)M^A(x) 问题：在给定的是M,x,mA,mBM,x,mA,mBM, x, m_A, m_B EXPSPACE-完成任务？ 请注意，只能要求（属于）具有多项式长度的字符串，因此Alice或Bob不会向添加更多更长的字符串。因此，这个问题在EXPSPACE中。 MMMAAAAAA
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定期阅读您领域以外的论文是否有益？
您对定期阅读自己领域以外的论文有什么看法，即使那些与其所在领域无关的论文也是如此？我的直觉是，它可以提供完全不同的观点或技术，可以帮助我解决自己的问题。但是与此同时，我对此表示怀疑，因为如果新知识对他的工作没有帮助，那将是浪费时间。 您对此有何想法？还有其他方法可以寻找与自己的工作无关的结果吗？TCS +系列呢？
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按平均
是否存在基于比较的排序算法，该算法平均使用了lg(n!)+o(n)lg(n!)+o(n)\mathrm{lg}(n!)+o(n)比较？ 最坏情况的lg(n!)+o(n)lg(n!)+o(n)\mathrm{lg}(n!)+o(n)比较算法的存在是一个开放问题，但是平均情况足以满足对每个输入具有预期的lg(n!)+o(n)lg(n!)+o(n)\mathrm{lg}(n!)+o(n)比较的随机算法。。的意义lg(n!)+o(n)lg(n!)+o(n)\mathrm{lg}(n!)+o(n)是它是o(n)o(n)o(n)从最佳比较，浪费平均只有o(1)o(1)o(1)每个元素的比较。 由于我已经有了这样的算法，因此我将其作为答案（使用Q / A格式），但是我欢迎其他答案，包括其他算法，无论这种算法是否已知，都可以改善o(n)o(n)o(n)以及情况lg(n!)+o(n)lg(n!)+o(n)\mathrm{lg}(n!)+o(n)。 先前的工作： 合并排序使用比较（即使在最坏的情况下）。 合并插入排序（也称为福特约翰逊排序）也使用比较，但常数要小得多。改进了基于比较的排序的平均复杂度（由岩和一雄和Teruyama Junichi联合提出），他们的（1,2）Insertion算法类似于下面我的部分回答。l g（n ！）+ Θ（n ）Θ（n ）lg(n!)+Θ(n)lg(n!)+Θ(n)\mathrm{lg}(n!)+ Θ(n)lg(n!)+Θ(n)lg(n!)+Θ(n)\mathrm{lg}(n!)+ Θ(n)Θ(n)Θ(n)Θ(n)
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关于图问题的假设复杂性的常见见解
我遇到了两个关于某些图形问题的假设硬度的例子。假设硬度意味着驳斥某些猜想将暗示相应图形问题的NP完整性。例如，巴内特（Barnette）的猜想指出，每个3连通的立方平面二部图都是哈密顿量。费德（Feder）和苏比（Subi）证明，驳斥该猜想将暗示该猜想类别上图上的哈密顿循环问题的NP-完备性。 Tutte的5流猜想指出，每个无桥图都有无处零的5流。Kochol证明，如果猜想是错误的，那么确定三次方图是否允许无零零5流的问题是NP完全的。 对上述猜想是否有共同的见解，可以解释相应图问题的假设NP完整性？在上述意义上还有假设复杂性的其他例子吗？ PS这被发布在MathoverFlow上没有得到答案。
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在稀疏成套和P vs L
马哈尼定理告诉我们，如果在多项式时间多一归约条件下存在稀疏的集，则。（请参阅“ NP的稀疏成套：Berman和Hartmanis猜想的解决方案 ”）ñPNPNPP= NPP=NPP = NP 对于其他复杂性类别，稀疏成套的存在会带来已知的后果吗？特别是，如果在对数空间下有一个稀疏的集，则可以简化为吗？PPPP= LP=LP = L
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暂停游戏中的平衡
考虑以下2人游戏： 大自然随机挑选节目 每个玩家都响应自然移动而玩一个[0，infinity]包括在内的数字 采取最少的玩家人数，然后运行程序（最多）许多步骤（除非两位玩家都选择无穷大） 如果程序停止，则播放最小数字的玩家将获得1分。如果程序没有停止，则该玩家将失去1分。玩过非最小数字的任何玩家将获得0分，如果他们都玩无穷大，则两个玩家都将获得0分。 （可以用最能保留问题实质的任何方式来处理角落案例，例如，上半连续性可能会有所帮助。） 问题：这个博弈是否具有可计算的纳什均衡？ 在没有可计算性要求的情况下，每个播放器仅播放程序停止的确切步数（如果不停止，则为无穷大）。 如果您对停顿问题尝试通常的对角化论点，则会发现混合策略中存在平衡，因此显而易见的方法不会立即起作用。也许有一些方法可以调整它？ 另一方面，实封闭域的等价性意味着具有可计算收益的有限博弈具有可计算均衡性。这个游戏不是有限的，但是策略空间是封闭的，收益是可计算的，所以也许可以用格里克斯伯格定理或类似的方法应用相同的技巧？问题是，在没有可计算性要求的情况下，均衡是在纯策略中进行的，因此，使用可能存在可计算的均衡的存在来证明可计算均衡的存在的任何尝试都必须解释为什么均衡从纯降为混合。 这似乎是一种问题，人们以前可能没有解决过这个确切的问题，但是可能已经看过类似的问题。我的工作量还不够大，但是如果有人对精神有所了解，请告诉我！ 动机：有一个普遍的直觉，即自我参照是可计算性的主要障碍-即，任何无法争论的问题都以某种方式嵌入了自我参照。如果大致像这样的游戏具有可计算的纳什均衡，它将为这种直觉提供证据。 更新：为澄清起见，在可计算的实数意义上，均衡应该是“可计算的”：描述混合策略分布的概率应可以任意精度计算。（请注意，只有有限的几率会超过任何特定的精度极限。）这也意味着我们可以从均衡策略的任意近似近似中进行采样。
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高阶程序的程序反转算法
程序反转一词 具有多种含义，但可能始于麦卡锡（J. McCarthy）1956年的著作《图灵机在AI中定义的功能反转》。到目前为止，已经发现了程序反转和其他领域之间的许多联系，例如可逆编程（物理和逻辑），部分评估，验证，双向编程，逻辑编程和机器学习。 什么是程序反转？在第一个近似中，它是这样的：给定程序接受类型参数 并返回类型结果，产生一个程序，它“某种程度上”是的逆。我故意在这里含糊不清，因为可以用多种方式（和已经）阐明这个概念：例如，必须是内射的？是否应 返回所有或部分，使得？P：A → BP：一个→乙P : A \rightarrow BB P − 1 P P P − 1（b ）a P （a ）= b一个一个A乙乙BP− 1P-1个P^{-1}PPPPPPP− 1（b ）P-1个（b）P^{-1}(b)一个一个aP（a ）= bP（一个）=bP(a) = b 有一些通用的方法可以使程序求逆，例如使用麦卡锡已经指出的对角化或使用部分评估，但它们往往效率不高。同样，我熟悉的大多数程序反转工作似乎都无法处理完整的高阶编程语言（即 -calculi）。λλ\lambda 参考要求。用于 -calculi的程序求逆的显式算法的最新技术是什么（不限制高阶）？λλ\lambda
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确定二进制乘法的最高有效位
我有兴趣确定以下决策问题的复杂性：给定两个整数和（每个整数最多具有m位），请确定乘法的最高有效位是否为1（结果打印在2m位，可能以0开头）？升2 升1 ⋅ 升2升1个l1l_1升2l2l_2升1个⋅ 升2l1⋅l2l_1 \cdot l_2 问题的一些背景：显然，此问题是二进制乘法的一种特殊情况，它询问乘法第位是否为1。在他们的论文中，用于除法和迭代乘法的统一恒定深度阈值电路，Hesse，Allender和Barrington证明了 - 统一存在迭代（因此是二进制）乘法。此外，众所周知，二进制乘法已经是 - 统一升1 ⋅ 升2一世ii升1个⋅ 升2l1⋅l2l_1 \cdot l_2d 大号ø 克Ť 我米ëDLogTime\mathsf{DLogTime} D L o g T i m eŤ ç0TC0\mathsf{TC}^0d 大号ø 克Ť 我米ëDLogTime\mathsf{DLogTime} Ť ç0TC0\mathsf{TC}^0-硬。但是，我找不到能证明这种硬度结果的特定来源。作为电路复杂性的非专家，我也希望能得到指向这种一般硬度结果的指针。最后，假设二进制乘法是 - 统一难的，我的问题也可以被理解为：它保持 - 统一 -如果我们只想决定二进制乘法的最高有效位，那很难吗？d 大号ø 克Ť 我米ëDLogTime\mathsf{DLogTime} D L o g T i m e …
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除自然数外，集合上是否有可计算性的概念？
除自然数外，集合上是否有可计算性的概念？为了讨论的方便，我们假设上套与biject。ñ小号SSñN\mathbb{N} 诱人地说“是的，它们是形式为那些函数，其中是任何双射而是任何可计算的函数 “。我对这个定义持谨慎态度，原因有两个。克Ñ → 小号˚F Ñ → ÑG∘ ˚F∘ 克− 1g∘f∘g−1g \circ f \circ g^{-1}GggN →SN→S\mathbb{N} \to SFffN → NN→N\mathbb{N} \to \mathbb{N} 它赋予高于其他可数集的特权。为什么在定义可计算性方面很特殊？我想要一种可计算性的“无坐标”定义，而无需引用任何特权集，就像我喜欢一种线性代数概念的“无坐标”定义而无需参考任何特权基础一样。NñN\mathbb{N}ñN\mathbb{N} 提出了有关的选择的问题。我怀疑通过特殊的和病理选择可能会发现矛盾。例如，如果我选择并且一些不可计算的双射，那么是否真的可以对所有可计算计算呢？小号克小号= Ñ克克∘ ˚F ∘ 克- 1个 ˚FGgg小号SSGgg小号= NS=NS = \mathbb{N}GggG∘ ˚F∘ 克− 1g∘f∘g−1g \circ f \circ g^{-1}Fff 在定义中要求是可计算的，这很诱人，但不幸的是，这是个难题。Ggg 除了之外，是否有一些通用的方法来描述可数集上的可计算性？ñN\mathbb{N}
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仅使用近似最大查询来找到近似argmax
考虑以下问题。 有未知值。任务是仅使用以下形式的查询来找到最大的索引。查询由集合，对应的答案是。目标是使用尽可能少的查询。nnnv1,⋯,vn∈Rv1,⋯,vn∈Rv_1, \cdots, v_n \in \mathbb{R}S⊆{1,⋯,n}S⊆{1,⋯,n}S \subseteq \{1,\cdots,n\}maxi∈Svimaxi∈Svi\max_{i \in S} v_i 这个问题很容易：我们可以使用二进制搜索通过O(logn)O(log⁡n)O(\log n)查询来找到argmax 。即用nnn叶子对应索引建立一个完整的二叉树。从根开始，然后按以下步骤走到一片叶子。在每个节点上，查询左右子树中的最大值，然后移到答案较大的一侧的子级。到达叶子后，输出其索引。 我的研究提出了以下该问题的嘈杂版本。 有nnn未知值v1,⋯,vnv1,⋯,vnv_1, \cdots, v_n。这些可以通过查询来访问，其中指定了一个S⊆{1,⋯,n}S⊆{1,⋯,n}S \subseteq \{1, \cdots, n\}，并从N(maxi∈Svi,1)N(maxi∈Svi,1)\mathcal{N}(\max_{i \in S} v_i,1)中返回了一个样本。目标是在\ {1，\ cdots，n \}中标识i_ * \，以i∗∈{1,⋯,n}i∗∈{1,⋯,n}i_* \in \{1, \cdots, n\}使E[vi∗]≥maxivi−1E[vi∗]≥maxivi−1\mathbb{E}[v_{i_*}] \geq \max_i v_i - 1使用尽可能少的查询。（期望超过了i_ *的选择i∗i∗i_*，这取决于算法的代币和嘈杂的查询答案。） 假设我们尝试使用与以前相同的二进制搜索策略（但带有嘈杂的答案）解决此问题。可以很容易地证明它达到E[vi∗]≥maxivi−O(logn)E[vi∗]≥maxivi−O(log⁡n)\mathbb{E}[v_{i_*}] \geq \max_i v_i - O(\log n)并且在最坏的情况下这很严格。我们可以通过将每个查询重复O（\ log ^ 2 …
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均质字符串的复杂性
动机：在开发用于数据版本控制的工具时，我们最终提出了“区分”两组整数的算法，方法是提出一系列将一组整数转换为另一组的转换。我们能够将这个问题简化为以下非常自然的问题，该问题似乎具有编辑距离，通过交换分组和最小公共字符串分区的连接。 问题：我们给了一个字符串，即一个字母序列，我们的目标是以最小的成本将其 均匀化。也就是说，我们需要重新排列序列，以使所有相似的字母彼此相邻。 唯一允许的操作是拾取一个相似的字母子序列，然后将该子序列移动到任何位置，这将花费我1个单位。 表征此问题的复杂性的任何帮助将不胜感激！ 范例： aabcdab：输入 bcd aa ab：将第一个aa移到“ d”之后的位置之后 b bcdaaa：将结尾的b移动到第一个位置后 由于生成的字符串是同质的，因此成本为2。 请注意，我们对输出没有任何限制：只要它是同质的，我们就不需要确保任何特定的顺序。
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这个“亚群包装”多表位是整体的吗？
令为一个有限的阿贝尔群，并令为的多面体，定义为满足以下不等式的点：P - [R Γ XΓΓ\GammaPPP[RΓRΓ\mathbb{R}^\GammaXxx ∑G∈ g ^XG≤ | G |XG≥ 0∀ ģ ≤ Γ∀ 克＆Element; Γ∑g∈Gxg≤|G|∀G≤Γxg≥0∀g∈Γ\begin{array}{cl} \sum_{g\in G} x_g \le |G| & \forall G \le \Gamma \\ x_g \ge 0 & \forall g \in \Gamma \end{array} 其中表示是的子组。是整数吗？如果是这样，我们可以表征其顶点吗？ģ Γ P摹≤ ΓG≤ΓG \le \GammaGGGΓΓ\GammaPPP 我的问题最初是由，其中一些小例子（）提示答案是“是”和“也许，但这并不简单”。我还尝试了9个和10个元素上的循环基团，以及，其中多面体也是不可或缺的。当是，和任何一个时，多面体不是整数，因此，阿拉伯语显然是必不可少的。 Ñ = 2 ，3 ˚F 2 …
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