理论计算机科学

理论计算机科学家和相关领域的研究人员的问答

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仅具有一个阈值门的算术电路
当受限于 -输入，每 -电路计算一些函数。要获得布尔函数，我们只需添加一个fanin-1阈值门作为输出门即可。在输入，结果阈值 - 电路在输出，在输出 ; 阈值可以是任何正整数，可能取决于1 { + ，× } ˚F （X 1，... ，X Ñ）˚F ：{ 0 ，1 } Ñ → Ñ一个∈ { 0 ，1 } Ñ { + ，× } 1 ˚F （一）≥ 吨0 ˚F （一）≤ 吨- 1 吨= 吨ñ ñ0001个11{ + ，× }{+,×}\{+,\times\}F（x1个，… ，xñ）F(x1,…,xn)F(x_1,\ldots,x_n)F：{ 0 ，1 }ñ→ …
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您如何从Lambda多维数据集的其他方面获得构造微积分？
据说CoC是Lambda Cube的所有三个维度的顶点。这一点对我来说一点都不明显。我想我了解各个方面，并且任何两个方面的结合似乎都导致相对简单的结合（也许我缺少了什么？）。但是，当我看CoC时，与其看起来像是这三者的结合，不如说是完全不同的事情。类型，属性和小型/大型字体来自哪个维度？依赖产品消失在哪里？为何为什么只关注命题和证明而不是类型和程序呢？是否有一些针对类型和程序的等效项？ 编辑：如果不清楚，我要求解释CoC如何等效于Lambda Cube尺寸的直接结合。在我可以研究的某个地方是否存在所有这三个方面的实际结合（就程序和类型而言，而不是证明和命题）？这是对问题的评论，而不是当前的答案。
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浓度范围流程图
当我教尾巴界限时，我使用通常的进度： 如果rv为正，则可以应用马尔可夫不等式 如果您具有独立性并且也有有限方差，则可以应用切比雪夫不等式 如果每个独立的rv 也具有所有矩的边界，则可以使用Chernoff边界。 在此之后，事情变得不那么干净了。例如 如果您的变量均值为零，那么伯恩斯坦不等式会更方便 如果您只知道合并函数是Lipschitz，则存在广义的McDiarmid风格的不等式 如果您的依赖性较弱，则存在Siegel风格的界限（如果您的依赖性为负，那么Jansson不等式可能是您的朋友） 在方便的流程图或决策树的任何地方都存在参考，描述了如何选择“正确的”尾部约束（或者甚至当您不得不潜入塔拉格朗的大海时）？ 我在问的一部分是为了给我一个参考，一部分是为了让我可以指向我的学生，部分原因是如果我足够烦恼并且没有人，我可能会尝试自己做一个。
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计算奇偶校验的电路的最小尺寸是多少？
一个经典的结果是，每个从输入变量计算奇偶校验的扇入2 AND-OR-NOT电路的大小至少为3(n−1)3(n−1)3(n-1)，这很明显。（我们将大小定义为“与”门或“或”门的数量。）证明是通过消除门来进行的，并且如果允许任意扇入，它似乎会失败。这种情况已知什么？ 具体来说，有人知道更大扇入有助于提高门扇数量的例子吗，即，我们需要少于3(n−1)3(n−1)3(n-1)门？ 更新10月18日。马齐奥（Marzio）表明，对于CN =奇偶校验形式的n=3n=3n=3甚至555门就足够了。这意味着一个必然的一般ñ。你能做得更好吗？⌊52n⌋−2⌊52n⌋−2\lfloor \frac 52 n \rfloor-2nnn
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P是否等于所有超多项式时间类的交集？
f(n)f(n)f(n) limn→∞nc/f(n)=0limn→∞nc/f(n)=0\lim_{n\rightarrow\infty} n^c/f(n)=0c>0c>0c>0 显然，对于{\ mathsf P}中的任何语言L \，在每个超多项式时间限制f（n）中L∈PL∈PL\in {\mathsf P}，L∈DTIME(f(n))L∈DTIME(f(n))L\in {\mathsf {DTIME}}(f(n))都成立。我想知道，这种说法是否相反？也就是说，如果我们对于每个超多项式时间限制f（n）都知道{\ mathsf {DTIME}}（f（n））中的L \，是否暗含{\ mathsf P}中的L \？换句话说，确实是 {\ mathsf P} = \ cap_f {\ mathsf {DTIME}}（f（n）） ，其中交集接管了每个超多项式f（n）。f(n)f(n)f(n)L∈DTIME(f(n))L∈DTIME(f(n))L\in {\mathsf {DTIME}}(f(n))f(n)f(n)f(n)L∈PL∈PL\in {\mathsf P}P=∩fDTIME(f(n))P=∩fDTIME(f(n)){\mathsf P} = \cap_f {\mathsf {DTIME}}(f(n))f(n)f(n)f(n)
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为什么Kolmogorov发布Karatsuba的算法？
Karatsuba的快速乘法算法首次在A.Karatsuba和Yu中发表。Ofman（1962），“用自动计算机对多数字进行乘法运算”，苏联科学院院刊 145：293-294。 根据Karatsuba（1995年，“计算的复杂性”，Proc。Steklov 数学学院 211：169-183），该论文实际上是由Kolmogorov（可能还有Ofman）在Karatsuba不了解的情况下撰写的。按照现代标准，这似乎是对道德的一种奇怪而严重的违反。 为什么科尔摩哥罗夫会这样做？他获得了什么？
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低阶随机函数为实多项式
是否有（合理）的方式进行采样均匀随机布尔函数f:{0,1}n→{0,1}f:{0,1}n→{0,1}f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}，其程度作为一个真正的多项式是至多ddd？ 编辑：尼森和Szegedy表明程度的函数ddd最多取决于d2dd2dd2^d坐标，所以我们可以假设n≤d2dn≤d2dn \leq d2^d。我看到的问题如下：1）一方面，如果我们在d2dd2dd2^d坐标上选择一个随机布尔函数，则其度将接近d2dd2dd2^d，远高于ddd。2）另一方面，如果我们最多随机选择每个度系数ddd，则该函数将不是布尔值。 所以问题是：有没有一种方法可以对避免这两个问题的低阶布尔函数进行采样？
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每个最小分隔符都是一个独立集合的图
背景： 令为无向图G = （V ，E ）的两个顶点。一个顶点组小号⊆ V是一个ü ，v -separator如果ù和v 属于不同的连接的部件ģ - 小号。如果没有u的适当子集，则v分隔符S是u ，v分隔符，则S是最小u ，vu,vu,vu, vG=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)S⊆VS⊆VS\subseteq Vu,vu,vu,vuuuvvvG−SG−SG-Su,vu,vu,vSSSu,vu,vu,vSSSu,vu,vu,v-分隔器。一个顶点组是一个（最小的）分离器，如果存在顶点ü ，v使得小号是一个（最小的） Ü ，v -separator。S⊆VS⊆VS\subseteq Vu,vu,vu, vSSSu,vu,vu,v G. Dirac的一个众所周知的定理指出，当且仅当其最小分隔符中的每一个都是集团时，图才具有至少四个长度的诱导周期（称为三角图或弦图）。众所周知，三角图可以在多项式时间内识别。 我的问题：每个最小分隔符都是一个独立集合的图是什么？这些图被研究了吗？这些图的识别复杂度是多少？此类图的示例包括树和循环。
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最大不相交集：贪心算法的实际近似因子是多少？
考虑从给定的候选集合中找到最大不相交集（最大不重叠几何形状集）的问题。这是一个NP完全问题，但是在许多情况下，以下贪婪算法会得出一个恒定因子近似值： 对于每个候选形状x，计算其不相交的交点数 =与x相交的最大不相交形状数。DIN(x)DIN(x)DIN(x) 选择具有最小DIN（）的候选形状。删除它及其相交的所有形状。argminxDIN(x)arg⁡minxDIN(x)\arg \min_{x} DIN(x) 继续，直到没有更多候选人为止。 例如，考虑来自Wikipedia页面的下图： 绿色磁盘与其他5个磁盘相交，但其DIN为3（3个红色磁盘不相交）。最上面和最下面的红色磁盘与其他2个磁盘相交，但它们本身相交，因此它们的DIN为1。黄色磁盘的DIN为2。因此，贪心算法选择了最上面或最下面的红色磁盘。 如果最小DIN可以被常数限制，则贪心算法是多项式常数因子近似。 例如，如果所有候选形状都是单位圆盘，则Marathe等人（1995年）表明，始终存在DIN最多为3的圆盘：最左边的圆盘（x坐标最小的圆盘）与其他3个不相交的圆盘相交。 。因此，贪心算法会产生3个近似值，因为在最佳解决方案中，它为每个（最多）3个磁盘获得1个磁盘。 类似地，如果所有候选形状都是任意大小的磁盘，则贪心算法会得出5近似值，因为最小的磁盘最多与其他5个不相交的磁盘相交，即最小DIN最多为5。 到目前为止，一切都很好，但是3和5的这些因素是否严格？我不确定。 考虑上图。选择最左边的磁盘（绿色）会发现大小为1的不相交集，这实际上是大小为3（红色）的最大不相交集的3近似值，但是，贪婪算法不会选择绿色的磁盘-它将选择顶部/底部的红色磁盘，其DIN为1。在这种情况下，贪心算法将找到最佳解决方案。 我找不到通用的反例，其中贪心算法找到具有单位磁盘的不相交集，而最大不相交集为。实际上，我什至无法构建一个最小DIN确实为3的通用反例。我能想到的最好的方法是，每个单元盘最多与2个其他不相交的盘相交（即最小DIN）。是2）。但是即使在这里，贪婪算法也会找到最佳解而不是2近似值：nnnnnn3n3n3n 我的问题是： 单位磁盘集合中的实际最大最小DIN是多少？任意大小的磁盘？ 贪婪算法对于单位磁盘集合的实际近似因子是多少？对于任意大小的磁盘？（该因数最多与最大最小DIN一样大，但可能更小）。 更新：对于每个k元形，定义 =由其并集相交的不连续形状的最大数量。将定义为所有不相交形状的k元组中的最小DIN。x1,...,xkx1,...,xkx_1,...,x_kDIN(x1,...,xk)DIN(x1,...,xk)DIN(x_1,...,x_k)x1∪...∪xkx1∪...∪xkx_1\cup...\cup x_kminDINkminDINkminDIN_k 例如，在下面的Yury的答案中，，因为每个圆都与其他3个圆相交。，因为可以选择2个不相交的圆，一个不相交的圆，一个是外圆，一个是内圆，它们仅相交于其他4个圆。对于每个，。minDIN1=3minDIN1=3minDIN_1=3minDIN2=4minDIN2=4minDIN_2=4kkkminDINk≤k+2minDINk≤k+2minDIN_k\leq k+2 我认为，贪婪算法的近似比率可以受，因为对于最优解中的每个形状，算法输出中至少有形状。它是否正确？minDINkkminDINkk\frac{minDIN_k}{k}minDINkminDINkminDIN_kkkk 编辑：我现在正在阅读出色的书《离散几何中的研究问题》。虽然我没有发现这个确切的问题，但是我发现了一个看起来很相关的问题。在“ 2.5个带有多个邻居的细包装”部分中，有一些圆形包装的示例，其中每个圆与其他5个圆接触。我想知道这样的填料是否可以产生DIN = 5的圆形结构。
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Max-Cut算法不起作用，不清楚原因
好的，从某种意义上讲，这似乎是一个作业问题。作为本科算法课的一项家庭作业，我讲了以下经典著作： 给定一个无向图，给出一种算法，该算法可以找到一个切口使得，其中是穿过切口的边数。时间复杂度必须为。G=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)(S,S¯)(S,S¯)(S,\bar{S})δ(S,S¯)≥|E|/2δ(S,S¯)≥|E|/2\delta(S,\bar{S})\geq |E|/2δ(S,S¯)δ(S,S¯)\delta(S,\bar{S})O(V+E)O(V+E)O(V+E) 由于某种原因，我得到了很多以下解决方案。现在，它确实花费了太多时间，所以这不是分级的问题，但是我感到很好奇。它“似乎”不正确，但是我所有的反例尝试都失败了。这里是： 设置S←∅S←∅S\leftarrow \emptyset 设为图中的最大度顶点vvv 将加到vvvSSS 删除与相邻的所有边vvv 如果返回2δ(S,S¯)&lt;|E|/2δ(S,S¯)&lt;|E|/2\delta(S,\bar{S}) < |E|/2 请注意，步骤5 中的是指原始图形。还要注意，如果我们跳过了步骤4，这显然是错误的（例如，一个三角形的两个独立边的并集）。EEE 现在，任何简单的证明都有以下​​问题-可能是，当我们添加新的顶点，实际上删除了在添加新边（其中指删除边的图形同时，从切割中切入边。问题是，如果这不利于我们的原因，则意味着“用于” 该顶点程度更高，因此“应该”被更早地选择。vvv|S||S||S|d(v)d(v)d(v)d(v)d(v)d(v)vvv 这是众所周知的算法吗？是否有一些简单的反例？
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可以
考虑语言EQUALITY={anbn∣n≥0}EQUALITY={anbn∣n≥0} \mathtt{EQUALITY} = \{ a^nb^n \mid n \geq 0 \} 。 众所周知，任何对数空间交替图灵机（ATM）都无法识别（Szepietowski，1994）。（有一个自动取款机使用亚对数空间供成员使用，但不为所有非成员使用！）EQUALITYEQUALITY \mathtt{EQUALITY} 另一方面， 弗里瓦尔兹（Freivalds，1981）表明，有界误差的恒定空间概率图灵机（PTM）可以识别EQUALITYEQUALITY \mathtt{EQUALITY} 但是只能在指数预期时间内识别（Greenberg and Weiss，1986）。后来证明，没有任何有界错误o(loglogn)o(log⁡log⁡n) o(\log\log n) -空间PTM可以在多项式期望时间内识别非正规语言（Dwork and Stockmeyer，1990）。我的问题是 多时间次对数空间PTM是否识别EQUALITYEQUALITY \mathtt{EQUALITY} 带有有限误差。
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识别两个排列差异的完整性
索尔在对匿名麋对这个问题的回答的评论中说，您能确定多项式时间内两个置换的总和吗？，表示两个排列的差异是完全的。不幸的是，我看不到置换和问题的直接减少，对于置换差异问题，使完整性降低非常有用。ñ PNPNPNPNPNP 排列差异： 实例：正整数数组。A[1...n]A[1...n]A[1...n] 问题：是否存在正整数两个置换和，使得等于吗？ππ\piσσ\sigma1,2,...,n1,2,...,n1,2, ... , n|π(i)−σ(i)|=A[i]|π(i)−σ(i)|=A[i]|\pi(i) - \sigma(i)| = A[i]1≤i≤n1≤i≤n1 \le i \le n 证明两个排列差异的完整性证明的减少是什么？ñ PNPNP 编辑10-9-2014：当序列的元素是有符号的差异时，Shor的评论进行了简化，证明了完整性。但是，对于所有元素都是差的绝对值的问题，我看不出有什么容易解决的。N P A ANPNPAAAA 更新： 置换差异问题似乎是即使两个置换之一始终是身份置换。非常欢迎这种特殊情况的硬度证明。因此，我对此受限制版本的完整性感兴趣：ñ P ñ PNPNPNPNP 限制排列差异： 实例：正整数数组。A [ 1 ... n ]A[1...n]A[1...n] 问题：是否存在正整数的置换 使得等于吗？π 1 ，2 ，。。。，n | π （i ）− i | = 阿[ 我] 1 ≤ …
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O（n）时间中的元素区分度？
我们都知道，基于比较的模型中的元素唯一性不能在时间内完成。但是，在word-RAM上，可以达到更好的效果。o （n 日志n ）o(nlog⁡n)o(n\log n) 当然，如果假设存在可以在线性时间中计算出的完美哈希函数，我们将获得一种线性时间算法来区分元素：仅将数字逐个哈希一次，如果发生冲突则返回1。 但是，有两个问题：1）我可以找到使用随机性的大多数完美哈希函数构造，以及2）在任何地方都找不到关于预处理时间的讨论，即确定哪个哈希函数要运行所需的时间根据输入的数字集使用。 Fredman等人的“ 用最坏情况访问时间存储稀疏表O （1 ）O(1)O(1) O （1 ） ”通过在最坏情况下为访问时间提供哈希函数，确实解决了第一个问题，但第二个问题却一言不发。O （1 ）O(1)O(1) 综上所述，这就是我想要的： 设计了一种算法，给定一组的数（每个数字是位长）上的字-RAM与字长，找到散列函数在时间，其中。功能应具有任何属性，的元素的数量映射到是一个常数和计算应采取Ñ 瓦特瓦特ħ ：小号→ { 1 ，... ，米} ø （Ñ ）米= Ô （Ñ ）ħ Ĵ ∈ { 1 ，... ，米} š Ĵ ħ （我）Ô （1 ）ø （1 ）小号SSñnnwwwwww^ h ：小号→ { 1 ，… …
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算法和结构复杂性理论
计算复杂性理论，特别是“结构”复杂性理论中的许多重要结果，都具有有趣的性质，可以理解为它们从算法结果中基本遵循（如我所见...），从而为某些算法提供了有效的算法或通信协议问题。其中包括： IP = PSPACE源自模拟交互协议的节省空间的递归算法，以及用于评估完全量化的布尔公式的有效交互协议。实际上，可以从两种有效的算法（一种针对A中的问题的算法，相对于B而言是有效的，反之亦然）来看，任何复杂性类相等性A = B都可以看作是遵循的。 证明某个问题的NP完全性只是在寻找一种有效的算法来减少NP完全性问题。 时间层次定理中的（可以说！）关键要素是图灵机的高效通用仿真。 ⊅⊅\not \supset该PCP定理是有效率的差距扩大是可能的约束满足问题。 等等等 我的问题（这可能是毫无希望的模糊！）如下：结构复杂性理论（与相对论障碍等“元结果”不同）是否有任何重要的结果，这些结果在效率方面没有自然的解释算法（或通信协议）？
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