理论计算机科学

理论计算机科学家和相关领域的研究人员的问答

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集合论，序数论，无限组合论和一般拓扑在计算机科学中的应用？
我是一位对集合论，序数论，无限组合论和一般拓扑感兴趣的数学家。 这些学科在计算机科学中是否有任何应用？我看了一下，发现了（当然）有限图论，有限拓扑，低维拓扑，几何拓扑等许多应用。 但是，我正在寻找这些主题的无限对象的应用，即无限树（例如Aronszajn树），无限拓扑等。 有任何想法吗？ 谢谢！！
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哪种随机算法的错误概率成倍地小？
假设随机算法使用随机位。人们可以期望的最低错误概率（低于确定性算法，错误为0）为2 - Ω （r ）。哪种随机算法可以实现这种最小的错误概率？rrr2−Ω(r)2−Ω(r)2^{-\Omega(r)} 我想到的几个例子是： 采样算法，例如，一个人想要估计可以检查成员资格的集合的大小。如果一个人随机地对要检查的元素进行均匀采样，则切尔诺夫边界将确保错误概率呈指数级降低。 用于计算最小生成树的Karger-Klein-Tarjan算法。该算法以1/2的概率选择每个边缘，然后递归地找到样本中的MST。一个人可以用切尔诺夫（Chernoff）来论证说，有2n + 0.1m的边缘要好于树木，这并不是指数级增长的可能性（即，人们更愿意将它们带到树木的边缘之一上）。 您能想到其他示例吗？ 遵循以下Andras的回答：的确，每个多项式时间算法都可以转换为错误指数概率较小的较慢的多项式时间算法。我的重点是尽可能高效的算法。特别是，对于我给出的两个示例，有确定性的多项式时间算法可以解决这些问题。对随机算法的兴趣是由于它们的效率。
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为什么建构主义者似乎不太在乎通话/抄送
所以不久前，我第一次有人告诉我，通过实现皮尔士定律，call / cc可以允许证明对象成为经典证明。我最近对这个话题做了一些思考，但似乎找不到任何缺陷。但是我似乎看不到其他人在谈论它。似乎没有讨论。是什么赋予了？ 在我看来，如果您在某种情况下具有这样的构造，那么两件事中的一件是正确的。您可以在当前上下文中以某种方式访问实例，在这种情况下，控制流将永远无法到达这里，并且鉴于意味着的唯一途径可以返回是通过构建的一个实例和应用的两项它的参数（实例。在这种情况下，已经有一些构造实例的方法f:¬(¬P)f:¬(¬P)f : \neg(\neg P)⊥⊥\botf:¬(¬P)f:¬(¬P)f : \neg(\neg P)f:(P→⊥)→⊥f:(P→⊥)→⊥f : (P \to \bot) \to \botfff⊥⊥\botPPPP→⊥)P→⊥)P \to \bot)PPP; call / cc为我撤出此构造似乎是合理的。我的推理在我看来有些令人怀疑，但我的困惑仍然存在。如果call / cc不仅仅是凭空创建的实例（我不知道它是怎么回事），那是什么问题？PPP 某些不包含call / cc的类型正确的术语是否没有正常形式？此类表达式是否还有其他属性使它们令人怀疑？有什么明显的理由为什么建构主义者不喜欢call / cc？
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关于自己的源代码的程序推理
这个问题的灵感来自以下（模糊的）问题：拥有可以推理并修改其源代码的AI的编程语言/逻辑基础是什么？ 这一点都不严格，因此这是我尝试从中提取一个具体的问题。我对两件事感兴趣： （A）可以将自己的程序表示和操纵为数据类型程序（例如，AST）的编程语言P。（如果需要，可以将类型为Program的对象转换为String，即该语言的有效程序的文本。这与编译器的操作相反。） （B）一种推理语言P程序的功能的方法。我正在考虑以下两个层次： 另一种语言Q（具有定理证明功能）可对P程序的功能进行建模。它应该能够表达和证明诸如“运行程序p的结果为foo”之类的语句。 推理程序p：Program 用语言P本身做什么的一种方式。（因此，我们将P = Q视为上述值。） 在何种程度上实施了类似的措施，或者在这个方向上取得了什么进展？实际的障碍是什么？根据问题的初衷，使问题形式化的最佳方法是什么？ * 正如答案所显示的（谢谢！），（A）和（B1）可以分别完成，尽管似乎将它们一起执行更多是研究问题。 这是我对这个问题的一些初步想法（警告：相当模糊）。另请参阅我对Martin Berger答案的评论。 我对编程语言建模相同的编程语言感兴趣，而不是对一种更简单的编程语言（因此上面的P = Q）感兴趣。这将是程序能够“了解其自身源代码”的“概念证明”。相依类型的编程语言可以保证其功能的输出，但这不算是“关心自己的源代码”，而不仅仅是“ Hello world！”。会被视为一种会自动打印出裸露的字符串的语言中的quine-需要某种引用/自引用。这里的类似物具有表示Program的数据类型。 这似乎是一个相当大的项目-语言越简单，表达其中的所有内容就越困难；语言越复杂，就需要进行更多的建模工作。 按照递归定理的精神，程序可以“获取”其自己的源代码并对其进行修改（即，输出其自身的修改版本）。（B2）然后告诉我们该程序应该能够对修改后的程序表示保证（这应该能够递归，即它应该能够对将来的所有修改内容进行表达？）。
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查询算法的信息复杂度？
信息复杂度一直是通信复杂性中非常有用的工具，主要用于降低分布式问题的通信复杂性。 信息复杂度是否与查询复杂度类似？查询复杂度和通信复杂度之间有许多相似之处。经常（但并非总是如此！）将一个模型中的下限转换为另一模型中的下限。有时，这种翻译是很平凡的。 是否有信息复杂性的概念对降低问题的查询复杂性有用？ 第一遍似乎表明信息复杂性不是很有用；例如，对于随机算法，计算位OR的查询复杂度为Ω （N ），而Ω （√ññNΩ （N）Ω（ñ）\Omega(N)用于量子算法，而对信息复杂性概念的最直接适应表明，任何查询算法所获信息最多为O（logN）（因为该算法在输入中看到第一个1时就停止了）。Ω （N--√）Ω（ñ）\Omega(\sqrt{N})O （对数ñ）Ø（日志⁡ñ）O(\log N)1个1个1
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Kruskal算法的密集版本是否众所周知？
大约一年前，我和一个朋友想出了一种方法，可以比通常的Ø （米日志m ）Ø（米日志⁡米）O(m \log m)边界（不假设预先排序的边缘）更好地实现Kruskal算法用于密集图。具体来说，我们在所有情况下都实现，与使用邻接矩阵实现时的Prim相似。Θ （n2）Θ（ñ2）\Theta(n^2) 我已经发布了一些关于该算法在我的博客，包括C ++代码和基准，但这里的总体思路： 为每个连接的组件维护一个代表性节点。最初，所有节点都代表自己。 保持向量dist[i]，以使每个分量的i入射角最轻i。 找到跨分区的最轻的边缘时，只需找到在线性时间内i使的权重最小的方法即可dist[i]。 连接两个组件和，修改邻接矩阵，使所有组件k的并标记i不再代表其连接的组件（现在仅保留j）。C一世C一世c_iCĴCĴc_j一种一种A一种我，ķ= 分钟{ A我，ķ，一Ĵ ，ķ}一种一世，ķ=分{一种一世，ķ，一种Ĵ，ķ}A_{i, k} = \min \{A_{i, k}, A_{j, k}\}ķķk一世一世iĴĴj 因此，最轻的边缘的收缩和所述边缘的发现都可以在线性时间内完成。我们执行n − 1ñ-1个n - 1次以找到MST。需要一点记账才能真正找到我们要添加到MST的哪个边，但不会增加复杂性。因此，运行时为Θ （n2）Θ（ñ2）\Theta(n^2)。该实现只是几个for循环。 此版本的Kruskal在文学中是否广为人知？
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为什么Schönfinkel致力于消除逻辑中的“绑定变量”如此重要？
AFAIK，使用高阶函数的第一个证据可以追溯到Schönfinkel在1924年发表的论文：“论数学逻辑的基础” –他允许一个将函数作为参数传递给其他函数。 这似乎很有趣。但是，我一直在阅读的有关他的作品的所有内容（以及扩展的Curry）似乎都暗示着某种形式的另一种事物：[高阶函数] ...这消除了对绑定变量的需要... 我没办法把头缠住-有什么大不了的？为什么当时的逻辑学家和数学家对此很关心？作为理论家，我们今天是否在乎这一点？为什么要摆脱绑定变量是“突破性的”，以及它对我们（我们知道的）理论上（或理论上）产生了什么影响？ PS：我知道他的工作是如何为微积分铺平道路的，以及“它”对总体计算和函数编程的影响。我的问题主要针对的是λ微积分创建之前和Schönfinkel论文发表之后的时间。库里（Curry）独立承担起那项工作的事实（后来被称为“组合逻辑”）也暗示了舍芬克尔工作的重要性。λλ\lambdaλλ\lambda
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假设
如果L=NL大号=ñ大号\mathsf{L = NL}，则存在一种求解2-SAT 决策版本的对数空间算法。 当给定一个可满足的2-SAT实例作为输入时，是否已知L=NL大号=ñ大号\mathsf{L = NL}暗示存在对数空间算法来获得令人满意的分配？ 如果不是，那么使用亚线性空间（在子句数中）的算法又如何呢？
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任何难于计数但易于确定的多项式？
每个单调算术电路，即电路，都会计算一些具有非负整数系数的多元多项式F （x 1，… ，x n）。给定多项式 ，电路{+,×}{+,×}\{+,\times\}F(x1,…,xn)F(x1,…,xn)F(x_1,\ldots,x_n)f(x1,…,xn)f(x1,…,xn)f(x_1,\ldots,x_n) 如果对于所有都成立，则计算； fffF(a)=f(a)F(a)=f(a)F(a)=f(a)a∈Nna∈Nna\in \mathbb{N}^n 如果对于所有成立，则计算； fffF(a)=f(a)F(a)=f(a)F(a)=f(a)a∈{0,1}na∈{0,1}na\in\{0,1\}^n 对于所有当成立 时，确定是否恰好满足。 fffF(a)>0F(a)>0F(a)>0f(a)>0f(a)>0f(a)>0a∈{0,1}na∈{0,1}na\in\{0,1\}^n 我知道显式多项式（甚至是多线性的）表明电路大小的间隙“计算/计数”可以是指数的。我的问题涉及“计数/决定”的差距。fff 问题1：是否有人知道多项式计算比由{ + ，× }-回路决定的指数难计算？ fff{+,×}{+,×}\{+,\times\} 作为一个可能的候选者，人们可以采取的路径多项式其变量对应于完整图的边上{ 1 ，... ，Ñ }，并且每个单项对应于简单的路径从节点1到节点ñ在ķ Ñ。该多项式可以决定通过尺寸的电路ø （Ñ 3）实施，也就是说，贝尔曼-福特动态规划算法，它是相对容易证明，每{ + ，× } -电路计算KnKnK_n{1,…,n}{1,…,n}\{1,\ldots,n\}111nnnKnKnK_nO(n3)O(n3)O(n^3){+,×}{+,×}\{+,\times\}PATH必须有大小。 2Ω(n)2Ω(n)2^{\Omega(n)} 在另一方面，每个电路计数 PATH解决 PATH问题，即，计数的数目1 -到- ñ路径在由对应的指定的0 - 1的输入子图ķ Ñ。这就是所谓的＃ P -完全问题。因此，我们所有人都“相信” PATH不能具有多项式大小的任何计数{ + ，× }-电路。“唯一”的问题是证明这一点... ##\#111nnn000111KnKnK_n##\#{+,×}{+,×}\{+,\times\} 我可以证明，计算相关汉密尔顿路径多项式HP的每个电路都需要指数大小。该多项式对应的单项式1 -到- …
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具有解的拟多项式约束的
FewP是NPNPNP问题的一类，在解决方案数上（输入大小），多项式有界。没有已知的NPNPNP在-complete问题fewPfewPfewP。我对我们可以扩大这一观察范围感兴趣。 在解决方案（见证人）数量上具有拟多项式上限的自然NPNPNP问题吗？是否有一个被广泛接受的猜想可以排除这种可能性？ 自然意味着该问题不是回答该问题（或类似问题）的人为制造的问题，并且人们独立地对该问题感兴趣（由Kaveh定义）。 编辑：悬赏将授予此类自然NPNPNP问题或排除此类问题的存在的合理论证（使用广泛接受的复杂性理论猜想）。 动机：我的直觉是NPNPNP完备性将超多项式（甚至指数级）的下限强加于证人人数。
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确实
如果我们定义P P A DPPAD{\bf PPAD}，从而用对数图灵机或A C 0AC0{\bf AC^0}电路代替多时图灵机/多尺寸电路对问题进行编码，会发生什么？ 最近给予更快的算法电路可满足对小型电路竟然是重要的，所以我不知道会发生什么的rectricted版本P P 一dPPAD{\bf PPAD}。
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可计算性和逻辑上的固定点
这个问题也已经发布在Math.SE上， /math/1002540/fixed-points-in-computability-nd-logic 我希望也可以在此处发布它。如果不是这样，或者对于CS.SE来说太基础了，请告诉我，我将其删除。 我想更好地理解逻辑中的定点定理与 -calculus 之间的关系。λλ\lambda 背景 1）定点在真理的不完整和不确定性中的作用 据我了解，除了内部化逻辑的基本思想外，Tarski的真不可定性证明和Goedel的不完全性定理的证明的关键是以下逻辑不动点定理，它们生活在一个构造性的，有限的元论中（我希望公式化可以，如果有误或不正确，请纠正我）： 逻辑中不动点的存在 假设 是语言L上具有足够表现力，可递归枚举的理论，并且令C为T中L公式的编码，即将任意格式正确的L公式φ转换为L公式的算法一个自由变量ç（φ ）（v ），使得对任意大号 -式φ我们有牛逼 ⊢ ∃ ！v ：C（φ ）（v ）TT{\mathscr T}LL{\mathcal L}CC{\mathbf C}LL{\mathcal L}TT{\mathscr T}LL{\mathcal L}φφ\varphiLL{\mathcal L}C(φ)(v)C(φ)(v){\mathbf C}(\varphi)(v)LL{\mathcal L}φφ\varphiT⊢∃!v:C(φ)(v)T⊢∃!v:C(φ)(v){\mathscr T}\vdash \exists! v: {\mathbf C}(\varphi)(v)。 然后存在一个算法YY{\mathbf Y}转动合式LL{\mathcal L} -formulas在一个自由变量成封闭结构良好的LL{\mathcal L} -formulas，使得对于任何LL{\mathcal L}在一个自由变量-式ϕϕ\phi我们有T⊢Y(ϕ)⇔∃v:C(Y(ϕ))(v)∧ϕ(v),T⊢Y(ϕ)⇔∃v:C(Y(ϕ))(v)∧ϕ(v),{\mathscr T}\vdash {\mathbf Y}(\phi)\Leftrightarrow \exists v: {\mathbf C}({\mathbf Y}(\phi))(v)\wedge …
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使用随机DFA分隔单词
有关DFA的有趣的开放问题之一，关于DFA 是否还有任何未解决的问题？是DFA的大小所需的分开长度的两个字符串。我很好奇，是否有关于随机DFA分离两个给定（非随机）字符串的功能的结果。nnn 显然，状态足够多的随机DFA很有可能会分隔字符串。具体地，如果，随机DFA与ø （Ñ ）状态永远也不可能重新访问相同的状态，一旦达到所述第一位置ù和v不同，并因此分离ü和v。u,v∈Σnu,v∈Σnu,v \in \Sigma^nO(n)O(n)O(n)uuuvvvuuuvvv 我们可以做得更好吗？理想情况下，什么是最小 ST，一个随机DFA与˚F （Ñ ）状态中隔离长度的字符串Ñ阳性概率（或概率也许≥ 1 / 2）？简短的搜索并没有得出很多有关随机DFA属性的结果；我只能找到http://arxiv.org/abs/1311.6830。f(n)f(n)f(n)f(n)f(n)f(n)nnn≥1/2≥1/2\ge 1/2
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如果中止统一性，精确的“量子”计算的功能有多强大？
简短的问题。 如果我们允许非单一（但仍然可逆）门，并要求输出确定性地给出正确答案，那么“量子”电路的计算能力是多少？ 这个问题在某种意义上是当您允许电路使用的不仅仅是单一门时，类会发生什么EQPEQP\mathsf{EQP}。（如果我们希望能够拥有一个定义良好的计算模型，我们仍然被迫将自己限制在上的可逆门上CC\mathbb C。） （鉴于我对单一情况下此类电路的已知结果有些困惑，因此对该问题进行了一些修改。） 关于“精确”量子计算 为了这个问题，我将定义EQPEQP\mathsf{EQP}为可以由一个统一的量子电路族准确解决的一类问题，其中每个unit的系数可以由有时间限制的多项式图灵机（从输入字符串中计算出）每个输入大小n为1n1n1^n），并且作为有向网络的电路布局也可以在多项式时间内生成。通过“完全”解决，我的意思是测量输出位的产量| 0 ⟩肯定对NO的情况下，和| 1 ⟩肯定为YES实例。nnn|0⟩|0⟩|0\rangle|1⟩|1⟩|1\rangle 注意事项： 即使限制为单一门，概念EQPEQP\mathsf{EQP}也不同于Bernstein和Vazirani使用量子图灵机描述的概念。上面的定义允许电路族{Cn}{Cn}\{ C_n \}原则上具有无限的门集-当然，每个电路CnCnC_n仅使用有限的子集-因为门实际上是根据输入计算得出的。（量子图灵机可以模拟您喜欢的任何有限门集，但是只能模拟有限门集，因为它只有有限数量的过渡。） 这种计算模型使任何问题变得无关紧要PP\mathsf P，因为the可能包含一个门，该门对任何问题的解决方案进行硬编码PP\mathsf P（毕竟，其系数由多次计算确定）。因此，问题的特定时间或空间复杂性对于此类电路而言不一定是有趣的。 我们可以添加一些警告，即量子计算机的实际实现总会产生噪音。这种计算模型之所以有趣，主要是因为理论上的原因，它是与构成unit变换而不是可行的计算有关的一个模型，也是的精确版本。特别是，尽管上述的警告，我们有P ⊆ Ë Q P ⊆ 乙Q P。BQPBQP\mathsf{BQP}P⊆EQP⊆BQPP⊆EQP⊆BQP\mathsf{P} \subseteq \mathsf{EQP} \subseteq \mathsf{BQP} 以我的方式定义的原因是可以将DISCRETE-LOG放入E Q P中。在[ Mosca + Zalka 2003 ]中，有一个多项式时间算法来构造一个circuit回路，该回路通过根据输入模量生成精确的QFT版本来精确求解DISCRETE-LOG实例。我相信，通过将电路构造的元素嵌入门系数的计算方式，我们可以将DISCRETE-LOG放入E Q P中，如上定义。（所以结果离散Log ∈ Ë Q P基本上是由菲亚特持有，但依靠莫斯卡+扎尔卡的建设。）EQPEQP\mathsf{EQP}EQPEQP\mathsf{EQP}EQPEQP\mathsf{EQP}∈EQP∈EQP\in \mathsf{EQP} 暂停统一 令为我们中止门为s的限制并允许它们在可逆变换范围内得到的计算类。我们可以根据其他传统的非确定性类C来放置（或表征）该类吗？EQPGLEQPGL\mathsf{EQP_{\mathrm{GL}}}CC\mathbf C 我要问的原因之一：是否是可通过统一的“非unit量子”电路族有效地解决且有界误差的一类问题，其中YES实例给出|的输出。1 ⟩的概率至少2/3，和NO实例的概率至多1/3（归一化状态矢量后） …
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