理论计算机科学

理论计算机科学家和相关领域的研究人员的问答

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对均匀一致的满意分配进行抽样
问题：给定通过一个布尔电路表示，产生一个均匀的随机X ∈ { 0 ，1 } Ñ使得φ （X ）= 1（或输出⊥如果没有这样的x存在）。 φ ：{ 0 ，1 }ñ→ { 0 ，1 }ϕ：{0，1个}ñ→{0，1个}\phi : \{0,1\}^n \to \{0,1\}X ∈ { 0 ，1 }ñX∈{0，1个}ñx \in \{0,1\}^nϕ （x ）= 1ϕ（X）=1个\phi(x)=1⊥⊥\perpXXx 显然，这个问题很难解决。我的问题是这个问题是否也是“ NP-easy”： 问题：是否存在一种算法可以解决上述在中的时间多项式和ϕ可以访问SAT oracle 的电路大小的问题？ ññnϕϕ\phi 另外，是否有一个多项式时间算法假设NP = P？ 显然，可以访问#SAT甲骨文就足够了，因此复杂性在NP和#P之间。 我觉得应该早已研究过此方法，但在Google上找不到答案。 我知道如何使用Valiant-Vazirani定理的一个变体和/或近似计数来近似解决该问题（即，生成一个统计上接近统一的令人满意的赋值），但获得完全统一似乎是一个不同的问题。
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检查两个多表位的等效性
考虑的变量的矢量，和一组线性通过指定的约束甲→ X ≤ b。x⃗ x→\vec{x}Ax⃗ ≤bAx→≤bA\vec{x}\leq b 此外，考虑两个多表位 P1P2={(f1(x⃗ ),⋯,fm(x⃗ ))∣Ax⃗ ≤b}={(g1(x⃗ ),⋯,gm(x⃗ ))∣Ax⃗ ≤b}P1={(f1(x→),⋯,fm(x→))∣Ax→≤b}P2={(g1(x→),⋯,gm(x→))∣Ax→≤b}\begin{align*} P_1&=\{(f_1(\vec{x}), \cdots, f_m(\vec{x}))\mid A\vec{x}\leq b\}\\ P_2&=\{(g_1(\vec{x}), \cdots, g_m(\vec{x}))\mid A\vec{x}\leq b\} \end{align*} 其中和g是仿射映射。即，它们的形式为→ Ç＆CenterDot;＆→ X + d。（我们注意到，P 1和P 2是多面体，因为他们是多面体的“仿射映射” 一→ X ≤ b）。fffgggc⃗ ⋅x⃗ +dc→⋅x→+d\vec{c}\cdot \vec{x} +dP1P1P_1P2P2P_2Ax⃗ ≤bAx→≤bA\vec{x}\leq b 问题是，如何确定和P 2是否等于集合？有什么复杂性？P1P1P_1P2P2P_2 该问题的动机来自传感器网络，但这似乎是一个可爱的（可能是基本的）几何问题。可以通过枚举和P 2的所有顶点来解决这个问题，但是有没有更好的方法？P1P1P_1P2P2P_2
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可以在恒定时间内解决的非平凡问题？
恒定时间是时间复杂度的绝对下限。也许有人会想：在恒定时间内可以计算出任何平凡的东西吗？如果我们坚持使用图灵机模型，那么将无能为力，因为答案只能取决于输入的恒定长度的初始部分，因为输入的其他部分甚至无法在恒定时间内到达。 另一方面，如果我们采用功能更强大（更现实）的单位成本RAM模型，其中对位数字的基本运算被计为单个步骤，那么我们也许能够解决非平凡的问题任务，即使是在恒定的时间。这是一个例子：O(logn)O(log⁡n)O(\log n) 实例：整数，每个整数以O （log n ）位的二进制格式给出。n,k,l,dn,k,l,dn, k, l, dO(logn)O(log⁡n)O(\log n) 问题：是否存在一个顶点图，其顶点连通性为k，其边缘连通性为l，其最小度为d？nnnkkklllddd 请注意，从定义来看，问题甚至不在于NP。原因是自然见证人（图形）可能需要位长的描述，而输入仅由O （log n ）位给出。另一方面，以下定理（请参阅B. Bollobas的《极值图论》）得到了拯救。Ω(n2)Ω(n2)\Omega(n^2)O(logn)O(log⁡n)O(\log n) 定理：令为整数。当且仅当满足以下条件之一时，存在一个具有顶点连通性k，边缘连通性l和最小度 d的n顶点图：n,k,l,dn,k,l,dn, k, l, dnnnkkklllddd ， 0≤k≤l≤d&lt;⌊n/2⌋0≤k≤l≤d&lt;⌊n/2⌋0\leq k\leq l \leq d <\lfloor n/2 \rfloor 1≤2d+2−n≤k≤l=d&lt;n−11≤2d+2−n≤k≤l=d&lt;n−11\leq 2d+2-n\leq k\leq l = d< n-1 k=l=d=n−1.k=l=d=n−1.k=l=d=n-1. 由于可以在恒定时间内检查这些条件（在单价RAM模型中），因此在该模型中，定理导致了恒定时间算法。 问：恒定时间算法还有哪些其他重要的例子？
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对角线的无限图是否具有无限分量？
假设我们使用一组无向边E连接的点，使得（i ，j ）连接到（i + 1 ，j + 1 ）或（i + 1 ，j ）连接到（i ，j + 1 ），对所有i ，j随机独立和均匀地分布。V= Z2V=ž2V = \mathbb{Z}^2ËËE（i ，j ）（一世，Ĵ）(i, j)(i+1,j+1)(i+1,j+1)(i + 1, j + 1)(i+1,j)(i+1,j)(i + 1, j)(i,j+1)(i,j+1)(i, j + 1)i,ji,ji, j （灵感来自本书的标题和封面。） 该图具有无限大的连通分量的概率是多少？类似地，考虑，即图的平面嵌入的补码。补码具有无限个连通分量的概率是多少？R2∖GR2∖G\mathbb{R}^2 \setminus G 显然，如果所有对角线都指向相同的方向，则图及其补码都将具有无限分量。上面的均匀随机图怎么样？
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销毁DAG中的所有长路径可能有多昂贵？
我们考虑具有一个源节点sss和一个目标节点 DAG（有向无环图）ttt；允许连接同一对顶点的平行边。甲kkk - 切口是一组边，其除去的破坏所有sss - ttt路径长于kkk ; 较短的sss - ttt路径以及较长的“内部”路径（不在sss和之间的路径ttt）都可以生存！ 问题： 是否足以从DAG中删除最多约1/k1/k1/k的边缘部分，以破坏所有长于k的sss - ttt路径？ kkk 也就是说，如果e(G)e(G)e(G)表示在边缘的总数GGG，确实然后每DAG GGG具有kkk -馏分用至多约边缘？两个例子：e(G)/ke(G)/ke(G)/k 如果所有 -路径具有长度，则 -馏分用边缘存在。之所以成立，是因为必须有不相交的切口：仅根据节点与源节点的距离对它们进行分层。 吨&gt; ķ ķ ≤ È （ģ ）/ ķ ķ ķ ģ 小号sssttt&gt;k&gt;k> kkkk≤e(G)/k≤e(G)/k\leq e(G)/kkkkkkkGGGsss如果G=TnG=TnG=T_n是一个传递比赛（一个完整的DAG），则也是一个kkk -馏分用 边缘存在：修复一个 拓扑顺序对节点，将节点分成 个长度为连续间隔，并删除连接相同间隔节点的所有边；这将破坏所有的 -路径长于。 ≤k(n/k2)≈e(G)/k≤k(n/k2)≈e(G)/k\leq k\binom{n/k}{2} \approx e(G)/kn / k s t kkkkn/kn/kn/kssstttkkk 备注1：天真的尝试给出一个肯定的答案（我也曾尝试过）将试图表明每个DAG必须具有大约不相交的切口。不幸的是，示例2展示了这种尝试可能会严重失败：通过一个很好的论点，David …
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#P以上并计算搜索问题
我正在阅读有关八皇后问题的维基百科文章。据指出，尚无确切的解决方案公式。经过一番搜索，我找到了一篇名为“关于完整映射计数问题的难度”的论文。在本文中，存在一个问题，该问题最多显示与#queens一样困难，而问题超出#P。瞥见Wikipedia文章中详尽列出的#queen的数量，它们似乎超级指数化。 我想问一下，是否有该类的名称，或者总体上是否存在属于#P以上类的计数问题（当然，决定不属于PSPACE，因为这很明显）。 最后，我想问一下是否存在其他搜索问题的其他已知结果，例如在Sperner引理中找到一个三色点（PPAD完成）。
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缓存算法理论的最新发展水平是什么？
最近，我对以下问题感到最感兴趣：在存在不止一种类型的可用内存的情况下，优化内存使用的一般问题，并且在给定内存段的容量和访问它的速度之间要进行权衡。 熟悉的示例是一个程序，该程序决定何时从处理器高速缓存，RAM和硬盘驱动器（通过虚拟内存）进行读取 / 写入。 我对特殊情况特别感兴趣，在这种特殊情况下，需要加载的数据量（包括程序本身）大大超过了可用最快存储的容量（即，“仅加载所有内容”的简单解决方案不适用）。 我发现一个Wikipedia页面描述了一些常见的缓存算法，这几乎是我想要的。不幸的是，这些有点底层： 仅当您具有多次访问的子例程时，许多（例如LRU或MRU）才有意义。如果我有一个包含大量子例程的程序，其中某些子例程在给定的运行中从未访问过，而其中一些子例程则被访问过一两次，则此策略将永远无法工作，因为它无法在任何内容上建立足够的数据是常用的，不是。 其他的，例如CLOCK，似乎处理实现的特殊性，而不是真正地攻击问题的根源。 我知道有一种策略，其中一个方法是在测试运行期间首先配置程序，然后为操作系统提供配置文件以进行相应的优化。但是，我们仍然必须解决在构建概要文件时提供真正具有代表性的“示例用法”的问题。 我真正想了解的是：当我们抽象出硬件和软件的所有技术，并在纯理论上讲时，是否有可能以某种方式分析算法的结构，从而制定出一种有效的缓存策略来解决以下问题：它基于对算法正在执行的高级理解？
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纳什均衡的计算有界形式？
我想知道纳什均衡概念是否有计算上的局限性，类似于以下内容。 想象一下一种在板上玩的两人完美信息游戏，在最佳玩法很难EXPEX的意义上，它是复杂的。为了简单起见，也假设不可能绘制。想象一下一对（A ，B ）随机多项式时间Turing机器彼此对战。对于每个n，令p A ，B（n ）为A在n次博弈中击败B的概率。（具体来说，假设An×nn×nn\times n(A,B)(A,B)(A, B)nnnpA,B(n)pA,B(n)p_{A,B}(n)AAABBBnnnAAA首先以概率0.5进行比赛。）我认为很酷的是，如果可以证明一对具有以下特性：没有随机多项式时间图灵机A '支配A（其中“ A '占主导地位甲 “是指p 甲'，乙（ñ ）&gt; p 甲，乙（ñ ）对于所有足够大ñ），并且类似地没有随机多项式时间图灵机乙'(A,B)(A,B)(A,B)A′A′A' AAAA′A′A'AAApA′,B(n)&gt;pA,B(n)pA′,B(n)&gt;pA,B(n)p_{A',B}(n) > p_{A,B}(n)nnnB′B′B'占主导地位（其中，“ 乙“支配乙 ”的意思p 甲，乙'（Ñ ）&lt; p 甲，乙（Ñ ）对于所有足够大Ñ）。BBBB′B′B'BBBpA,B′(n)&lt;pA,B(n)pA,B′(n)&lt;pA,B(n)p_{A,B'}(n) < p_{A,B}(n)nnn 不知何故，我怀疑这实在是太希望了，但是对于像这样的受限游戏来说，这样的事情真的有希望吗？ 这个问题的动机是，我正在寻找一种方式来规范给定棋位置“对怀特有利”的观念。传统上，一个职位对怀特来说是胜利，或者不是。但是，无论是人还是计算机的国际象棋选手都对怀特拥有优势的含义有直观的了解。鉴于玩家在计算上受限制并且必须猜测最佳移动，这似乎与怀特获胜的可能性有关。对于特定对随机算法当然谈论白赢，但我想知道是，如果有可能，在一定意义上，一个概率的一个CAN 规范 一对具有计算边界的玩家，其获胜概率产生的位置值仅取决于游戏本身，而不取决于玩家的特质。
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仁义熵的效用？
我们大多数人都熟悉（或至少听说过）随机变量的香农熵H(X)=−E[logp(X)]H(X)=−E[log⁡p(X)]H(X) = -\mathbb{E} \bigl[ \log p(X)\bigr]，以及所有相关的信息理论量度，例如相对熵，相互信息，等等。在理论计算机科学和信息理论中，还有一些其他的熵度量，例如随机变量的最小熵。 当我浏览文献时，我开始越来越频繁地看到这些所谓的仁义熵。他们概括了香农熵和最小熵，并且实际上提供了随机变量的整个熵度量。我主要从事量子信息领域的研究，在该领域中，人们也经常考虑Renyi熵的量子形式。 我真正不明白的是它们为什么有用。我听说，通常说来，与Shannon / von Neumann熵或min-entropy相比，使用它们进行分析更容易。但是它们也可以与香农熵/最小熵相关。 任何人都可以提供使用Renyi熵何时“正确”的例子（经典或量子）？我正在寻找的是一些“心理挂钩”或“模板”，以了解何时需要使用人一熵。 谢谢！
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比较Kolmogorov理论的复杂性
蔡廷不完备定理说的算术没有足够强大的理论可以证明K(s)&gt;LK(s)&gt;LK(s) > L其中K(s)K(s)K(s)是字符串的柯尔莫哥洛夫复杂sss和LLL是一个足够大的常数。LLL是足够大的，如果它比在一个证明检查机（PCM）的比特大小。理论的PCM TTT将编码为整数的字符串作为输入，如果该字符串是语言的有效证明，则输出1 TTT。 假设L(T)&gt;|PCMT|L(T)&gt;|PCMT|L(T) > |PCM_T|从理论上讲，TTT是复杂度的上限TTT。考虑以下理论层次：让基础理论是鲁宾逊算法（QQQ）。用多项式有界归纳法公理越来越强来增强QQQ设Q∗Q∗Q^*是由QQQ以及任何这些有界感应公理证明的定理的理论。假设我们可以定义L(Q)L(Q)L(Q)和，为每种理论定义PCM。L(Q∗)L(Q∗)L({Q^*}) 我想考虑的增强型证明检查机（EPCM）。该EPCM与ECM一样，将字符串作为输入，并具有第二个输入，该输入定义了Q *子理论的等级和水平。如果输入字符串是Q ∗中的有效证明，则EPCM会通过证明的步骤来确定所使用的最高归纳和等级。然后，如果输入的句子在Q ∗的指定子理论中是有效的证明，则此EPCM将写入1 。Q∗Q∗Q^*Q∗Q∗Q^*Q∗Q∗Q^*Q∗Q∗Q^* 我描述的增强型证明检查器可行吗？如果是这样，那么该EPCM的大小不仅是复杂度的上限，还是任何Q ∗子理论的复杂度的上限？Q∗Q∗Q^*Q∗Q∗Q^* 说及其所有子理论的复杂度有一个恒定的上限是否合理？Q∗Q∗Q^* 这个问题是纳尔逊关于算术不一致的失败证明。我之所以没有指出这一点，是因为有人发现该证明令人不安。我的动机是要提出一个有趣的问题。CSTheory似乎是这个问题的合适论坛。及其所有子理论的复杂性要么受常数限制，要么不受限制。任一个答案都会引发更多问题。Q∗Q∗Q^* 如果子理论的复杂性是无界的，我们可以问喜欢什么是最弱的子理论问题比更复杂的Q *？还是比PA和ZFC更复杂？对这个问题的思考已经向我展示了一个理论可以证明多少关于弦的Kolmogorov复杂性的严格限制。如果Q ∗是一致的，那么任何子串的子理论都不能证明K （s ）&gt; L （Q ∗）。这意味着即使是真正强大的子理论也无法证明比一些更弱的子理论（其中，较弱的理论比Q更复杂）所包含的字符串更为复杂。Q∗Q∗Q^*Q∗Q∗Q^*Q∗Q∗Q^*K(s)&gt;L(Q∗)K(s)&gt;L(Q∗)K(s) > L(Q^*)。Q∗Q∗Q^*
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有限语言的XOR自动机（NXA）是否从循环中受益？
非确定性Xor自动机（NXA）在语法上是NFA，但如果一个单词的接受路径数为奇数（而不是NFA情况下的至少一个接受路径），则该单词被NXA接受。 很容易看到，对于有限的规则语言LLL，存在一个最小的NFA，其中不包含任何循环（如果一个循环既可以从初始状态到达，又可以从初始状态到达接受状态，则您的语言就不会有限）。 对于NXA，情况不一定如此。 用表示语言Lxsc(L)xsc(L)xsc(L)的异或状态复杂度，LLL 并通过axsc(L)axsc(L)axsc(L)所述的无环的异或状态复杂LLL（即，它接受一个最小的无环NXA的大小LLL）。 对于每种有限语言LLL：axsc(L)=xsc(L) ?axsc(L)=xsc(L) ?axsc(L)=xsc(L)\ ?
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我们可以严格区分编程语言中的句法和语义方法吗？
虽然讨论了强有力的规范化证明，但该评论将“规范形式模型”与“纯粹的句法方法”进行了对比。 这使我回到一个更基本的问题：面对基于语法的模型，我们仍然可以严格地区分句法和语义结构吗？代数的术语模型，一阶逻辑的Henkin模型呢？那么结构操作语义呢？由于术语模型可以与语法同构，因此很难进行明确区分。 在研究逻辑上的证明论与模型论之间的区别之前，我甚至对“静态类型系统是一种句法方法”的想法感到困惑。归根结底，类型系统会考虑类型，这是程序行为的抽象（对于依赖类型，则是任意精确的类型）。
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