Questions tagged «circuit-complexity»

电路复杂性是对资源有限的电路及其功能的研究。

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有界树宽电路有哪些优点？
可以说布尔电路的树宽，将其定义为按以下方式获得的导线（顶点）上的“道德化”图的树宽：按以下方式连接导线一种aa和bbb只要bbb是具有一种aa作为输入的门的输出（或反之亦然）; 只要将导线一种aa和bbb用作同一门的输入，就应将它们连接起来。编辑：可以等效地将电路的树宽定义为代表它的图形的树宽；如果我们使用关联性重新组合所有AND和OR门最多具有两个扇入，则根据任一定义的树宽最多相同为333。 至少有一个通常不易解决的问题，但对于有树宽度的布尔电路来说却是易解决的：给定每条输入线设置为0或1（独立于其他输入线）的概率，计算出某个输出门是0或1。这通常是＃P-hard，通过减少例如＃2SAT来实现，但是可以在PTIME中使用结点树算法在树宽假定小于常数的电路上解决。 我的问题是要知道是否存在除概率计算之外的其他问题，这些问题通常很难解决，但对于有边界树宽的电路却是易处理的，或者其复杂度可以描述为电路大小及其树宽的函数。我的问题并非仅针对布尔型情况；我对其他半环上的算术电路也很感兴趣。你有没有看到这样的问题？
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电路评估
是否知道电路评估问题是否在？如何（统一 ）？ ñ Ç 1甲大号ö 克Ť 我中号ë Ñ Ç 1氮碳1个NC1\mathsf{NC^1}氮碳1个NC1\mathsf{NC^1}ALogTimeALogTime\mathsf{ALogTime}NC1NC1\mathsf{NC^1} 我们知道，深度为电路可以用深度为电路求值， 其中是一个通用常数。这意味着深度为的电路可以由深度为的电路评估。但是不包含最终控制所有函数的函数。k + c c k lg n + o （lg n ）O （lg n ）O （lg n ）O （lg n ）kkkk+ck+ck+ccccklgn+o(lgn)klg⁡n+o(lg⁡n)k\lg n + o(\lg n)O(lgn)O(lg⁡n)O(\lg n)O(lgn)O(lg⁡n)O(\lg n)O(lgn)O(lg⁡n)O(\lg n) 我们知道公式评估问题在。每个电路都等效于一个布尔公式。我们不能根据给定的电路的等效布尔公式来计算等效布尔公式的扩展连接表示吗？N C 1 N C 1 A L o g T …
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关于无限半环的阿德曼定理？
阿德勒曼已示于1978年：如果布尔函数˚F的Ñ变量可由大小的概率布尔电路来计算中号，然后˚F也可以通过尺寸的确定性布尔电路计算M和n的多项式; 实际上，大小为O （n M ）。 BPP⊆P/polyBPP⊆P/poly\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}fffnnnMMMfffMMMnnnO(nM)O(nM)O(nM) 一般问题：在什么其他的（不是布尔）半环确实持有？ BPP⊆P/polyBPP⊆P/poly\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly} 要多的位特异性的，一个概率电路 在半环（小号，+ ，⋅ ，0 ，1 ）使用其“增加” （+ ）和“乘法‘’ （⋅ ）操作作为栅极。输入是输入变量X 1，... ，X ñ以及可能的附加随机变量，它采用的数值的一些数量的0和1 独立地以概率1 / 2 ;在这里CC\mathsf{C}(S,+,⋅,0,1)(S,+,⋅,0,1)(S,+,\cdot,0,1)(+)(+)(+)(⋅)(⋅)(\cdot)x1,…,xnx1,…,xnx_1,\ldots,x_n0001111/21/21/2 和 1分别是半环的加法和乘法身份。这样的电路 Ç计算给定功能的 ˚F ：小号Ñ → 小号如果对于每个 X ∈ 小号Ñ， P [R [ Ç（X ）= ˚F （X ）] ≥ 2 / 3。 000111CC\mathsf{C} …
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的假设下合拢
已知的是，如果则多项式层级合拢为Σ P 2和中号甲= 阿中号。ñP⊆ P/ PÒ 升ÿNP⊆P/PolyNP\subseteq P/PolyΣP2Σ2P\Sigma_2^{P}中号A = A MMA=AMMA = AM 什么是已知的发生，如果最强坍塌？ñËXP⊆ P/ PÒ 升ÿNEXP⊆P/PolyNEXP\subseteq P/Poly
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图灵机对mP / poly的等效定义是什么？
P / poly是一类可由多项式大小的布尔电路解决的决策问题。它也可以定义为一个多项式时间图灵机，该机器接收一个建议字符串，该建议字符串的大小为n的多项式，并且仅基于n的大小。 mP / poly是可以由多项式大小的单调布尔电路解决的一类决策问题，但是就多项式时间图灵机而言，是否存在mP / poly的自然替代定义？
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我们有任何重要的统一电路吗？
给定一个在时间运行的算法，对于相同的大小最大问题，我们可以将其转换为“平凡的”统一电路系列。≈ 吨（Ñ ）日志吨（Ñ ）t （n ）t(n)t(n)≈ 吨（Ñ ）日志t （n ）≈t(n)log⁡t(n)\approx t(n)\log t(n) 另一方面，即使是最佳运行时间，也可能是针对该问题的统一电路小得多。产生电路所需的时间可能比长，但它们很小。t （n ）t （n ）t(n)t(n)t （n ）t(n)t(n) 但是，我们实际上知道如何构建这种东西吗？我认为最初要问的是 （1）我们是否有非平凡的均匀电路的建设性例子，即，均匀电路的大小小于相同问题的任何算法的最著名运行时间？ 现在，我相信如果，那么我们就有一个指数时间算法，可以通过穷举搜索找到最优电路：给定，我们写下所有答案输入（花费时间）; 然后我们以递增的方式枚举输入上的所有电路，直到找到一个给出所有正确答案的电路。搜索以平凡转换的大小或函数的真值表终止，如果输出为则以终止。（编辑：托马斯指出，由于香农/卢帕诺夫，界限为。） ñ 2 Ñ（2 Ñ）吨（Ñ ）ñ 吨（Ñ ）日志吨（Ñ ）2 Ñ { 0 ，1 } Ô （2 Ñ / Ñ ）D T I M E （t （n ））DTIME(t(n))\mathsf{DTIME(t(n))}ñnn2ñ2n2^n(2n)t(n)(2n)t(n)(2^n)t(n)nnnt(n)logt(n)t(n)log⁡t(n)t(n) \log …
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多数功能的电路复杂度
让是大多数功能，即˚F （X ）= 1当且仅当Σ Ñ 我= 1 X 我 > ñ / 2。我想知道是否存在以下事实的简单证明（通过“简单”，我的意思是不依赖于Valiant 84这样的概率方法或排序网络；最好不提供电路的明确，直接的构造）：F：{ 0 ，1 }ñ→ { 0 ，1 }f:{0,1}n→{0,1}f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}F（x ）= 1f(x)=1f(x) = 1∑ñ我= 1X一世> n / 2∑i=1nxi>n/2\sum_{i = 1}^n x_i > n/2 可以通过深度为 O （log （n ）），poly（n）大小的一系列电路来计算，其中门由非门，2输入或门和2输入与门组成。FffO （对数（n ））O(log⁡(n))O(\log(n))
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嘈杂的布尔函数的硬度
令为n个布尔变量的布尔函数。让克（X ）= Ť ε（˚F ）（X ）是期望值˚F （Ý ）时ý从获得X通过翻转以概率每个坐标ε / 2。fffnnng(x)=Tϵ(f)(x)g(x)=Tϵ(f)(x)g(x)=T_\epsilon (f) (x)f(y)f(y)f(y)yyyxxxϵ/2ϵ/2\epsilon/2 我对很难计算情况感兴趣。让我固定的“近似”一个概念（但可能有其它）：布尔函数ħ近似于克如果ħ （X ）= 1时克（X ）≥ 0.9和ħ （X ）= 0当克（X ）≤ 0.1ggghhhgggh(x)=1h(x)=1h(x)=1g（X ）≥ 0.9g(x)≥0.9g(x)\ge 0.9h （x ）= 0h(x)=0h(x)=0 G（X ）≤ 0.1g(x)≤0.1g(x)\le 0.1一个计数参数（基于正率纠错码的存在）似乎表明存在布尔函数，对此任何此类近似都需要指数大小的电路。但是问题是，当起始于NP或其附近时会发生什么。Fff Q1：是否有一个用NP电路（或P空间）描述的的例子，所以每个h都是NP硬的，或在某种程度上较弱。FffHhh 要查看可能并不容易（我感谢约翰·哈斯特德关于它的有用的讨论），我们可以考虑其大小的集团的图形的属性ñ 1 / 4，随机输入，可以想象，这是很难检测是否存在较大的集团，但是这要通过在嘈杂的图中具有超过预期的大小log n的集团来体现。在这种情况下，任何h都可能是困难的（但无法证明，并且不会像准多项式电路所说明的那样困难）。Hhhñ1 / 4n1/4n^{1/4}Hhh 问题2：如果开头的复杂度较低，那会是什么情况？（甲Ç 0，单调Ť Ç 0，甲Ç Ç等）fffAC0AC0AC^0TC0TC0TC^0ACCACCACC Q3：布尔函数的一些基本示例的情况如何。（该问题也可以扩展到实值函数。） 问题4：是否可以对统一（Turning Machine）计算模型正式提出上述问题？ 更新：鉴于Andy的回答（嗨，Andy），我认为最有趣的问题是了解各种特定功能的情况。 …
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是否可以使用随机限制来获得
基于随机限制和开关引理，有几种众所周知的电路尺寸下限结果。AC0AC0\mathsf{AC^0} 我们可以开发一个开关引数结果来证明电路的下界大小（类似于的下界证明）吗？ A C 0TC0TC0\mathsf{TC^0}AC0AC0\mathsf{AC^0} 还是使用这种方法来证明的下界是否存在固有的障碍？TC0TC0\mathsf{TC^0} 像自然证明这样的障碍结果是否说明了使用类似开关引理的技术来证明的下限？TC0TC0\mathsf{TC^0}
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DLogTime和NLogTime的电路复杂度特性
N L o g T i m e L H A C 0 L Hd 大号ø 克Ť 我米ëDLogTime\mathsf{DLogTime}和是我们拥有的最小的复杂度类中的两个。（请注意，对数时间层次等于并且这是的前两个级别）。Ñ 大号ø 克Ť 我米ëNLogTime\mathsf{NLogTime}大号^ hLH\mathsf{LH}AC0AC0\mathsf{AC}^0LHLH\mathsf{LH} 读完这个问题之后，我开始感兴趣，看看这两个类之间的分隔是否已知，并且实际上很容易分隔它们，因为（多亏罗宾科塔参见已知）。现在，我很想知道它们相应的电路复杂度表征。我进行了搜索，并询问了一些人，但找不到答案。OR(x1,...,xn)∈NLogTime−DLogTimeOR(x1,...,xn)∈NLogTime−DLogTimeOR(x_1,...,x_n) \in \mathsf{NLogTime}-\mathsf{DLogTime} 对于复杂度类和我们是否具有很好的电路复杂度表征？N L o g T i m ed 大号ø 克Ť 我米ëDLogTime\mathsf{DLogTime}Ñ 大号ø 克Ť 我米ëNLogTime\mathsf{NLogTime} 注意：在为小型复杂度类定义统一性方面显示了很多内容。请注意，较短的时间限制不允许这些机器读取整个输入，它们只能从输入中读取位，并且使用可以写入位地址然后直接读取该位的机器定义类（即，无需遍历所有先前的位即可到达那里）。 LG Ñd 大号ø 克Ť 我米ëDLogTime\mathsf{DLogTime}lgñlg⁡n\lg n
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L在电路方面是否有定义？
用图灵机定义的许多复杂度类别都有统一电路的定义。例如，也可以使用统一的多项式大小的电路来定义P，并且类似地，可以使用统一的电路来定义BPP，NP，BQP等。 那么是否有基于电路的L定义？ 一个明显的想法是允许具有一定深度限制的多项式大小电路，但是事实证明是定义NC层次结构。 我很久以前就在考虑这个问题，但没有找到答案。如果我没记错的话，我的动机是了解L的量子类似物的外观。
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神经网络的计算能力？
假设我们有一个具有k个输入和一个输出的单层前馈神经网络。它计算从函数 ，这也很容易地看到，这具有至少相同的计算能力如甲Ç 0。只是为了好玩，我们将由单层神经网络可计算的函数集称为“ N e u r a l ”。{ 0 ，1 }ñ→ { 0 ，1 }{0,1}n→{0,1}\lbrace 0,1\rbrace ^{n}\rightarrow\lbrace 0,1\rbrace 一ç0AC0AC^0ñË ú [R 一升NeuralNeural 但是，似乎它可能比单独的具有更多的计算能力。一ç0AC0AC^0 因此...是或ñ é ù ř 一升= 甲Ç 0？以前也研究过这种复杂性类吗？一ç0⊆ ñË ú [R 一升AC0⊆NeuralAC^0 \subseteq Neuralñè ù ř 一升= 甲Ç0Neural=AC0Neural = AC^0
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具有电路复杂度的函数的分层布尔电路可以有多小？
考虑由布尔电路计算的函数，其中输入的大小为，基于（门的indegree 2 ）。fffCCCnnns(n)=poly(n)s(n)=poly(n)s(n) = \mathsf{poly}(n){XOR,AND,NOT}{XOR,AND,NOT}\{\mathsf{XOR},\mathsf{AND},\mathsf{NOT}\}XOR,ANDXOR,AND\mathsf{XOR},\mathsf{AND} 如果布尔电路可以布置成层（是电路的深度），则该布尔电路是分层的，这样两个门之间的任何边缘都将相邻的层连接起来。dddddd 假设具有大小为的布尔电路，那么对于计算的分层电路的大小我们能说什么？有一个微不足道的上限：通过在每个与边相交的层上将虚设节点添加到中，我们得到大小最大为的分层电路。但是我们是否可以总体上变得更好（例如或），或者对于有趣的电路类别呢？fffsssfffCCCO(s2)O(s2)O(s^2)O(s⋅logs)O(s⋅log⁡s)O(s\cdot \log s)O(s)O(s)O(s) 背景。这个问题源于最近的密码学研究结果，该结果表明如何利用通信（例如或安全地计算大小为分层布尔电路；我试图了解这种对分层布尔电路的限制在实践中有多严格，无论是对于通用电路还是“自然”电路。但是，我在文献中对分层电路的了解不多；适当的指针也将受到欢迎。ssso(s)o(s)o(s)s/logss/log⁡ss/\log ss/loglogs)s/log⁡log⁡s)s/\log\log s)
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SAT是上下文无关的语言吗？
我正在考虑所有可满足的命题逻辑公式SAT的语言（为确保它具有有限的字母，我们将以某种合适的方式对命题字母进行编码[编辑：答复指出，在各种编码，因此需要更具体-参见下面的结论]）。我的简单问题是 是SAT上下文无关的语言？ 我的第一个猜测是，今天（2017年初）的答案应该是“没人知道，因为这与复杂性理论中尚未解决的问题有关”。但是，这也不是真的（请参阅下面的答案），尽管也不是完全错误的。这是我们所知道的事情的简短摘要（从一些显而易见的事情开始）。 SAT不是常规的（由于命中括号，甚至命题逻辑的语法也不常规） SAT是上下文相关的（不难为其提供LBA） SAT是NP完全的（Cook / Levin），尤其是由多项式时间内的不确定TM决定。 SAT也可以通过单向非确定性堆栈自动机（1-NSA）进行识别（请参阅WC Rounds，中级语言的识别复杂性，《交换与自动机理论》，1973，145-158 http://dx.doi.org/ 10.1109 / SWAT.1973.5） 与上下文无关的语言的单词问题具有其自己的复杂度类CFLCFL\textbf{CFL}（请参阅https://complexityzoo.uwaterloo.ca/Complexity_Zoo:C#cfl） ，其中 LOGCFL是类的问题LOGSPACE还原为 CFL（见https://complexityzoo.uwaterloo.ca/Complexity_Zoo:L#logcfl）。据了解， NL ⊆ LOGCFL。CFL⊆LOGCFL⊆AC1CFL⊆LOGCFL⊆AC1\textbf{CFL}\subseteq\textbf{LOGCFL}\subseteq\textbf{AC}^{\textbf{1}}LOGCFLLOGCFL\textbf{LOGCFL}节能灯CFL\textbf{CFL}NL ⊆ LOGCFLNL⊆LOGCFL\textbf{NL}\subseteq\textbf{LOGCFL} NL⊊NPNL⊊NP\textbf{NL}\subsetneq\textbf{NP}NC 1 ⊊ PH NP LOGCFL LOGCFLNL=NPNL=NP\textbf{NL}=\textbf{NP}NC1⊊PHNC1⊊PH\textbf{NC}^{\textbf{1}}\subsetneq\textbf{PH}NPNP\textbf{NP}LOGCFLLOGCFL\textbf{LOGCFL}LOGCFLLOGCFL\textbf{LOGCFL} 但是，最后一点仍然可能使SAT不在。通常，我对与层次结构之间的关系了解不多，这可能有助于阐明我的问题的认知状态。灯节能灯NCCFLCFL\textbf{CFL}CFLCFL\textbf{CFL}NCNC\textbf{NC} 备注（在看到一些初始答案之后）：我并不期望该公式为合取范式（这不会对答案的本质造成影响，并且由于CNF也是一个公式，因此通常仍然适用论点。但是声称问题的常量数版本是常规的失败，因为语法需要括号。） 结论：与我的复杂性理论启发的猜测相反，我们可以直接证明SAT不是上下文无关的。因此，情况是： 众所周知，SAT是不是上下文无关的（换句话说：SAT不在），这种假设是假设人们使用公式的“直接”编码，其中命题变量由二进制数字标识（还有一些进一步的符号用于运算符和分隔符）。CFLCFL\textbf{CFL} 尚不知道SAT是否位于，但“大多数专家认为”并非如此，因为这意味着。这也意味着未知SAT的其他“合理”编码是否与上下文无关（假设对于NP难题，我们认为logspace是可接受的编码工作）。P = NPLOGCFLLOGCFL\textbf{LOGCFL}P=NPP=NP\textbf{P}=\textbf{NP} 请注意，这两点并不意味着。这可以通过显示中的语言（因此在）不是上下文无关的语言（例如）直接显示出来。大号LOGCFL 一个Ñ b Ñ Ç ÑCFL⊊LOGCFLCFL⊊LOGCFL\textbf{CFL}\subsetneq\textbf{LOGCFL}LL\textbf{L}LOGCFLLOGCFL\textbf{LOGCFL}anbncnanbncna^nb^nc^n
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算术电路比布尔弱吗？
设表示计算给定的多项式多项式的（非单调）算术电路 的最小大小 并且表示计算布尔版本的（非单调）布尔电路的最小大小的由下式定义： （+ ，× ，- ）˚F （X 1，... ，X Ñ）= Σ Ë ∈ Ê Ç Ë Ñ Π我= 1 X Ë 我我A(f)A(f)A(f)(+,×,−)(+,×,−)(+,\times,-)乙（˚F ）（∨ ，∧ ，¬ ）˚F b ˚F ˚F b（X 1，... ，X Ñ）= ⋁ Ë ∈ Ê ⋀ 我：ë 我 ≠ 0 X 我F（x1个，… ，xñ）= ∑Ë ∈ ËCË∏我= 1ñXË一世一世，f(x1,…,xn)=∑e∈Ece∏i=1nxiei, …
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