Questions tagged «graph-theory»

关于图的问题，通过边连接的节点的离散结构。流行的口味是具有边缘能力的树木和网络。

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推断优化类型
在工作中，我的任务是推断一些有关动态语言的类型信息。我将语句序列重写为嵌套let表达式，如下所示： return x; Z => x var x; Z => let x = undefined in Z x = y; Z => let x = y in Z if x then T else F; Z => if x then { T; Z } else { F; Z } 由于我从一般类型信息开始，并试图推断出更具体的类型，因此自然的选择是精简类型。例如，条件运算符返回其真假分支类型的并集。在简单的情况下，它效果很好。 但是，在尝试推断以下类型时遇到了障碍： function …
11 programming-languages  logic  type-theory  type-inference  machine-learning  data-mining  clustering  order-theory  reference-request  information-theory  entropy  algorithms  algorithm-analysis  space-complexity  lower-bounds  formal-languages  computability  formal-grammars  context-free  parsing  complexity-theory  time-complexity  terminology  turing-machines  nondeterminism  programming-languages  semantics  operational-semantics  complexity-theory  time-complexity  complexity-theory  reference-request  turing-machines  machine-models  simulation  graphs  probability-theory  data-structures  terminology  distributed-systems  hash-tables  history  terminology  programming-languages  meta-programming  terminology  formal-grammars  compilers  algorithms  search-algorithms  formal-languages  regular-languages  complexity-theory  satisfiability  sat-solvers  factoring  algorithms  randomized-algorithms  streaming-algorithm  in-place  algorithms  numerical-analysis  regular-languages  automata  finite-automata  regular-expressions  algorithms  data-structures  efficiency  coding-theory  algorithms  graph-theory  reference-request  education  books  formal-languages  context-free  proof-techniques  algorithms  graph-theory  greedy-algorithms  matroids  complexity-theory  graph-theory  np-complete  intuition  complexity-theory  np-complete  traveling-salesman  algorithms  graphs  probabilistic-algorithms  weighted-graphs  data-structures  time-complexity  priority-queues  computability  turing-machines  automata  pushdown-automata  algorithms  graphs  binary-trees  algorithms  algorithm-analysis  spanning-trees  terminology  asymptotics  landau-notation  algorithms  graph-theory  network-flow  terminology  computability  undecidability  rice-theorem  algorithms  data-structures  computational-geometry 
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随机图中的集团数
有一个带有节点的随机图（归因于Gilbert）。每个可能的边均以概率独立地插入。让是尺寸的派系的数目在。nG(n,p)G(n,p)G(n, p)nnnp X k k G （n ，p ）G(n,p)G(n,p)G(n, p)pppXkXkX_kkkkG(n,p)G(n,p)G(n, p) 我知道E(Xk)=(nk)⋅p(k2)E(Xk)=(nk)⋅p(k2)\mathbb{E}(X_k)=\tbinom{n}{k}\cdot p^{\tbinom{k}{2}}，但是如何证明呢？ 如何显示E(Xlog2n)≥1E(Xlog2⁡n)≥1\mathbb{E}(X_{\log_2n})\ge1为n→∞n→∞n\to\infty？以及如何显示E(Xc⋅log2n)→0E(Xc⋅log2⁡n)→0\mathbb{E}(X_{c\cdot\log_2n}) \to 0表示n→∞n→∞n\to\infty和固定的任意常数c>1c>1c>1？
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证明有向图诊断很困难
我有一段时间一直在做作业，我一直在努力，对此我将不胜感激。这是关于选择一个已知问题的，该问题的NP完全性得到证明，然后构造从该问题到下一个问题的归约关系，我将其称为DGD（有向图诊断）。 问题 DGD 一个实例由顶点V = I组成。∪ Ø 。∪乙，向边Ë和一个正整数ķ。共有三种类型的顶点：仅具有输入边I的顶点，仅具有输出边O的顶点和具有输入和输出边B的顶点。此外，令D ＝O × I。（五，E，k ）（V，Ë，ķ）(V,E,k)V= 我∪。Ø ∪。乙V=一世∪。Ø∪。乙V = I \overset{.}{\cup} O \overset{.}{\cup} BËËEķķk一世一世IØØO乙乙BD = O × 我d=Ø×一世D=O\times I 现在的问题是，我们是否可以覆盖最多D个元素的所有节点，即ķķkddD ∃小号⊆ d ，| 小号| ≤ķ。∀ v ∈ V。∃ （v1个，v2）∈ 小号。v 1个→∗v →∗v2∃小号⊆d，|小号|≤ķ。 ∀v∈V。 ∃（v1个，v2）∈小号。 v1个→∗v→∗v2\qquad \displaystyle \exists\,S\subseteq D, |S|\leq k.\ \forall\, v\in V.\ \exists\,(v_1,v_2) …
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社交网络图问题
这是问题所在： 有连接的图，其中的节点代表许多人。每个节点/人都对某个话题有自己的见解，例如王牌与克林顿，纸质书与点燃等 目的是通过按特定顺序选择节点的特定子集，使图形中的每个节点共享相同的观点。 如果大多数人A的朋友支持王牌，但是人A支持克林顿。如果选择了人员A，他/她的意见将变为王牌。 如果某人的朋友意见均分，则可以决定所选人的意见。 关于如何证明这是可以实现的，我的想法不多了。也许有些人可以给我一些指导。
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一群人互相购买礼物的最低购物次数
我们有个人。我们列出了谁必须为组内谁购买礼物的清单。每个人可能需要购买/接收任意数量的礼物，或者根本不需要。在购物旅行中，一部分人会一起前往同一家商店，并为不在商店中的任何人购买礼物。他们可能不会在同一购物之旅中为其他人购买礼物，因为那样就不会感到惊讶。一个人可能会进行多次购物旅行。我们希望最大程度地减少每个人购买所需礼物所需的购物行程总数。ñnn 例如，假设有5个人，每个人都必须为组中的其他每个人购买礼物。让人们从1到5进行编号。这可以在4个购物行程中完成，如下所示： 行程1、1、2、3去购物 行程2：1、4、5去购物 旅程3：2、4去购物 行程4：3、5购物 我将如何解决这个问题？很明显，输入可以用有向图表示，但是我不知道从那里去。有人提出了biclique覆盖问题，但尽管类似，却无法回答这个问题。 我们可以将输入视为个顶点上的有向图，其中边表示人u必须为人v购买礼物。的目标是找到一组bicliques的（小号1，Ť 1），... ，（小号ķ，Ť ķ）使得ķ是最小的，并且边集Ë图的的一个子集∪ 我（š 我 × Ť 我）G GGn nn（u ，v ）(u,v)(u,v)uuvv(S1,T1),…,(Sk,Tk)(S_1,T_1),\dots,(S_k,T_k)kkEE∪i(Si×Ti)\cup_i (S_i \times T_i)。同样，在将双斜线的定义扩展到有向图时，双斜线（S i，T i）(Si,Ti)(S_i,T_i)仅包含将S i映射SiS_i到T i的边TiT_i。这不同于biclique覆盖问题中，我们不要求每个biclique是的一个子图G ^GG（我们不要求小号我 × Ť 我 ⊆ ËSi×Ti⊆ES_i \times T_i \subseteq E每个我ii）。 具体来说，我会接受以下任一答案： 证明此问题是NP难题或 提出了多项式时间算法，可以准确回答此问题（无近似值或上限） 记录下来，我在任何地方都没有看到这个问题，我只是出于好奇而想知道。
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从边按点距离加权的图形中恢复点嵌入
假设我给您一个带有加权边的无向图，并告诉您每个节点都对应于3d空间中的一个点。每当两个节点之间有一条边时，该边的权重即为点之间的距离。 您的目标是在仅提供可用距离（以边权重表示）的情况下重建点的相对位置。例如，如果我给您，那么您知道这些点是四面体的顶点。您不知道它相对于原点的位置，位置或方向，或者是否已被镜像，但是您可以知道它是四面体。d0 ，1=d0,2=d0,3=d1,2=d1,3=d2,3= 1d0，1个=d0，2=d0，3=d1个，2=d1个，3=d2，3=1个d_{0,1} = d_{0,2} = d_{0,3} = d_{1,2} = d_{1,3} = d_{2,3} = 1 通常，如果我给您所有的边长，问题很容易解决。只需任意选择一个点在，然后选择一个相邻点并将其放置在，然后将一个公共邻居三角剖分到XY上平面，然后将最终的公共邻居三角剖分到半空间并打破了其余的对称性（假设您没有选择退化点）。您可以使用这四个点对所有其余的点进行三角剖分。（0 ，0 ，0 ）p 1（d 0 ，1，0 ，0 ）p 2 p 3 ž > 0p0p0p_0(0,0,0)（0，0，0）(0,0,0)p1p1个p_1(d0,1,0,0)（d0，1个，0，0）(d_{0,1},0,0)p2p2p_2p3p3p_3ž> 0ž>0z > 0 另一方面，当缺少一些边缘长度时，可能无法恢复嵌入。例如，如果有一个顶点在切割时使图形断开连接，那么如果移除了该顶点，它将分离的两个组件可能会相对摆动。 这就提出了问题： 找到解决方案的价格是多少？ 您如何确定解决方案是否唯一，直到平移/旋转/镜像？3连通性足够吗？必要？ 什么样的条件使问题变得微不足道？ 如果我不保证边缘权重实际上对应于点距sin 3d，那么确定是否完全可以嵌入的代价是多少？
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等价关系覆盖问题（在图论中）
有限顶点集上的等价关系可以由无向图表示，该无向图是团体的不相交的并集。顶点集表示元素，边表示两个元素是等效的。 如果我有一个图形和图表g ^ 1，... ，g ^ ķ，我们说摹被覆盖摹1，... ，g ^ ķ如果设定的边缘摹等于套边的工会摹1，… ，G k。G 1，... ，G k的边集不需要是不相交的。请注意，任何无向图GGGGG1个，… ，GķG1个，…，GķG_1,\dots,G_kGGGG1个，… ，GķG1个，…，GķG_1,\dots,G_kGGGG1个，… ，GķG1个，…，GķG_1,\dots,G_kG1个，… ，GķG1个，…，GķG_1,\dots,G_kGGG 可以由有限数量的等价关系覆盖（即，团簇图的不交集并集）。 我有几个问题： 关于覆盖图所需的最小等价关系数，该怎么说呢？GGG 我们如何计算这个最小数字？ 我们如何计算G的明确最小覆盖率GGG，即一组大小最小且覆盖的等价关系？GGG 除了分区逻辑（子集逻辑的对偶）之外，这个问题是否还有其他应用？ 这个问题的名称是否成立？ 鉴于评论中指出的各种误解，以下是一些图片来说明这些概念。如果您有一个更易于理解的术语的想法（而不是“覆盖”，“等价关系”，“团体的不相交并集”和“不一定相交”边集并集），请随时告诉我。 这是一张图的图片及其一个等价关系： 这是一张图形的图片以及覆盖它的两个等价关系： 很明显，至少需要两个等价关系。 这是一张图形的图片以及覆盖其中的三个等价关系： 不太明显至少需要三个等价关系。子集逻辑对偶的引理1.9 可用于证明这是正确的。将这个引理推广到具有两个以上输入的nand运算是此问题的动机。
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接线长度最小化
我的问题是这样的： 我有一个物理布局，以图形表示。节点表示导线可以锚固的钩子/管道，而“边缘”是导线可以通过的两个节点之间的可能连接。 有一些特殊的节点，称为分离器，从中可以将单根导线拆分为2根或更多至k根。目前可以将k取为常数，但是每个节点的k都不同。并非所有节点都是拆分器。 有一种电源可以从中伸出电线。它是源。电线必须连接到n个接收器。 一条边可以沿任意方向穿过任意数量的导线。 总导线长度必须最小化。 图形，平面或欧几里得的性质未知。 示例：下面是一个示例网络。节点以数字命名，并且边的权重等于1。源是Node1，接收器是Node5，Node9和Node13。在情况1中，Node6是Splitter节点。在情况2中，Node6和Node4是拆分器节点。分离器节点的k = 3，即，它可以接一根线并将其分成三根线。 案例1。仅一个拆分器节点。在Node6上拆分很有意义。 情况2。两个分离器节点。在Node4而不是Node6上拆分很有意义。 我正在寻找不同的策略来找到针对此问题的通用解决方案。与手头的问题相比，此处呈现的图的比例较小。该图是静态的，不能更改（我的意思是解决方案不应建议任何新的边缘或建议新的拆分器位置）。也欢迎任何引用有关此类问题的研究论文的参考。 案例3。两个分离器节点。在Node4和Node14处拆分很有意义。请注意，这种情况下边缘8-12、6-10和10-11的边缘权重已更改。在这种情况下，重要的是从Node14分离后重新布线。
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令人烦恼的问题
Pebbling是在无向图上玩的纸牌游戏，其中每个顶点都有零个或多个小卵石。一个简单的磨合动作包括从顶点移除两个小卵石并将一个小卵石添加到的任意邻居。（显然，顶点v在移动之前必须至少有两个卵石。）PebbleDestruction问题询问，给定图形和每个顶点的卵石计数，是否存在序列除去除了一个小卵石以外的所有卵石运动。证明PebbleDestruction是NP完整的。GGGvvvvvvG=(V;E)G=(V;E)G = ( V; E )p(v)p(v)p ( v )vvv 首先，我证明它在NP中，因为我可以在多项式时间内验证解，从一个卵石中追溯卵石计数。 接下来，关于将哪些问题用作多项式时间约简的基础，有哪些想法？ 顶点覆盖之类的东西会起作用吗？还是不同大小的顶点覆盖？ 如果是这样，它如何处理每次移动中变化数量的卵石？ 谢谢。 来自：http : //courses.engr.illinois.edu/cs473/sp2011/hw/disc/disc_14.pdf
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给定一个弦图
如果图没有诱导出长度为4或更大的循环，则它是弦的。甲集团树Ť的ģ是一个树，其中该树的顶点的最大小集团ģ。T中的边对应于最小分隔符。在弦图中，不同的集团树的数量可以是顶点数量的指数。GGG444ŤŤTGGGGGGŤŤT 的降低派系图表 是所有集团树的并集ģ。也就是说，它具有所有相同的顶点和所有可能的边。给定G的计算C r（G ）的复杂度是多少？C[R（G ）C[R（G）C_r(G)GGGC[R（G ）C[R（G）C_r(G)GGG 我想我曾经看过一个演示文稿，声称可以在O （m + n ）时间内计算而无需证明。这意味着它与计算G的集团树一样容易。是否有参考文献可以证实这一点，或者给出了较慢的算法来计算？C[R（G ）C[R（G）C_r(G)O （m + n ）Ø（米+ñ）O(m+n)GGG
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几天的分配问题
我有一个可以简化为分配问题的问题。（在上一个问题中，我发现了该怎么做的。） 这意味着我们有一组代理和一套的任务以及成本函数。我们需要找到一个任务，以使总成本最小。一个一个AŤŤTc （i ，j ）C（一世，Ĵ）c(i,j) 在匈牙利算法可以找到至少一个最优解。对我来说听起来不错。Ø （ñ4）Ø（ñ4）O(n^4) 我的新问题是：有给定的天数。我必须每天解决分配问题，以便每个任务每天都完成，并且没有座席两次执行同​​一任务。 我尝试过的操作：我们可以每天分别运行匈牙利算法，并根据前一天的结果限制可能的组合数量。但这会使我们在以后的某些日子陷入困境，在最有可能找不到可行的解决方案的地方。 另一个想法是以某种方式集成本地搜索以更改前一天做出的决定。但是我认为我们不能依靠这一点。 我要面对的问题实例将在附近。成本矩阵将具有许多相同的值（例如，大多数为1或无穷大，只有大约2或3）。因此，在匈牙利算法期间，有很大的空间可以在一天内创建不同的最佳解决方案。| A | = | Ť| =500|一个|=|Ť|=500|A| = |T| = 500C（i ，j ）C（一世，Ĵ）C(i,j) 我很高兴听到一些想法或建议如何为该问题找到一个好的解决方案。提前致谢。
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二叉树的平均高度是多少？
关于二叉树的平均高度是否有正式定义？ 我有一个有关使用以下两种方法查找二叉树的平均高度的教程问题： 自然的解决方案可能是取从根到叶的所有可能路径的平均长度，即 Avh1个（T）= 1＃叶 ŧ＆CenterDot;＆＆Sigma;T的v 叶 深度（v ）Avh1个⁡（Ť）=1个＃留在 Ť⋅∑v 的叶 Ť深度⁡（v）\qquad \displaystyle \operatorname{avh}_1(T) = \frac{1}{\text{# leaves in } T} \cdot \sum_{v \text{ leaf of } T} \operatorname{depth}(v)。 另一种选择是递归定义它，即节点的平均高度是子树的平均高度加一的平均值，即 Avh2（N（l ，r ））= avh2（l ）+ avh2（r ）2+ 1Avh2⁡（ñ（升，[R））=Avh2⁡（升）+Avh2⁡（[R）2+1个\qquad \displaystyle \operatorname{avh}_2(N(l,r)) = \frac{\operatorname{avh}_2(l) + \operatorname{avh}_2(r)}{2} + 1 与对于叶子和为空时隙。l avh 2（_ ）= 0Avh2（l …
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图着色问题的NP完全性
替代配方 我想出了以下问题的替代方案。替代公式实际上是问题的一种特殊情况，它使用二部图描述问题。但是，我相信替代性的表达方式仍然对NP不利。替代方法使用不相交的传入和传出节点集，从而简化了问题定义。 给定传出和n个传入节点（分别为图中的红色和蓝色节点），以及传出和传入顶点之间的边权重大小为n × n的集合w i j。该问题的目的是为图中的粗边着色，以便对每个传入节点都满足条件。nnnnnnwijwijw_{ij}n×nn×nn \times n 给定一组输出顶点，一组 { I i{Oi|i=1…n}{Oi|i=1…n}\{ O_i \; | \; i=1 \dots n \}输入顶点， Ñ × Ñ权重 瓦特我Ĵ ≥ 0之间 ö 我的和我Ĵ的用于我，Ĵ = 1 ... Ñ，和一个正的常数 β，找到的颜色的最小数目对于边缘 e i i（上图中的厚边缘），使得对于所有 j = 1 … n，{Ii|i=1…n}{Ii|i=1…n}\{ I_i\; | \; i=1 \dots n \}n×nn×nn \times …
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邻接矩阵特征值的直觉
我目前正在努力了解Cheeger界和Cheeger不等式的使用，以及它们在频谱划分，电导，扩展等方面的使用，但是我仍然很难对邻接矩阵的第二个特征值有一个直观的认识。 通常，在图论中，我们遇到的大多数概念都非常容易理解，但是在这种情况下，我什至无法提出什么样的图的第二特征值会非常低或非常高。 我一直在阅读SE网络上四处询问的类似问题，但它们通常是指不同领域中的特征值（多元分析，欧几里得距离矩阵，相关矩阵 ...）。 但是关于频谱划分和图论的事情却一无所获。 在图和邻接矩阵的情况下，有人可以分享他对第二特征值的直觉/经验吗？
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以可逆方式将有向图转换为无向图
我正在寻找一种算法，以可逆的方式将有向图（有向图）转换为无向图，即，如果我们得到无向图，则该有向图应该是可重构的。我知道这将以无向图具有更多顶点为代价，但是我不介意。 有谁知道该怎么做或可以提出任何建议？提前致谢。 更新：关于下面的AdrianN的答案。这可能是一个很好的起点，但我认为它不能以当前形式运行。这是为什么我不这样认为的图像： DW发表评论后进行更新：我认为图的顶点是未标记的。如果一个解决方案涉及到标注顶点（就像AdrianN一样），那么无论标注如何完成，它都应该给出相同的（同构）无向图。我对带有标记顶点的图的“同构”定义是，存在与这两个图相关的标记的排列，但是我不确定未标记图的确切定义。
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