Questions tagged «circuit-complexity»

电路复杂性是对资源有限的电路及其功能的研究。

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多对数深度电路的电路下限状态
AC0AC0AC^{0}pppAC0[q]AC0[q]AC^{0}[q]AC0[q]AC0[q]AC^0[q]qqqgcd(p,q)=1gcd(p,q)=1\gcd(p,q)=1。但是，通过使用经典方法（如限制输入并在有限域上逼近多项式）来获得对数深度电路的具体下限结果似乎是遥不可及的。 我知道STOC'96论文引出了几何复杂性理论，并且表明使用没有逐位运算的有效的并行计算不能计算最小成本流问题。 这意味着在某些有限的设置中，我们可以证明某些问题的下界。PNCNCNCPPP 首先，还有其他方法或技术可能是证明多对数深度电路下限的合理方法吗？ 其次，以下陈述对理论界有多大用处？ 计算布尔函数的电路的大小至少为，其中是取决于其硬度的一些数学量目标函数。的值例如可以是组合量（如差异），线性代数（如字段上某种类型的矩阵的秩）或某些全新的量，以前从未在复杂度理论中使用过。˚F ：{ 0 ，1 } Ñ → { 0 ，1 } 升升˚F 升NCNCNCf:{0,1}n→{0,1}f:{0,1}n→{0,1}f\colon\{0,1\}^{n}\rightarrow \{0,1\}llllllffflll
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灵敏度等于块灵敏度的布尔函数
关于敏感度与块敏感度的一些工作旨在检查s(f)s(f)s(f)与bs(f)bs(f)bs(f)之间的间隙尽可能大的功能，以便解决bs(f)bs(f)bs(f)仅是多项式更大的猜想。比s(f)s(f)s(f)。相反的方向呢？关于s(f)=bs(f)s(f)=bs(f)s(f) = bs(f)函数，人们知道什么？ 琐碎地讲，常数函数具有0=s(f)=bs(f)0=s(f)=bs(f)0=s(f)=bs(f)。同样，s(f)=ns(f)=ns(f) = n任何函数也具有s(f)=bs(f)s(f)=bs(f)s(f) = bs(f)。证明任何单调函数也满足该等式是不平凡的，但并不是太困难。是否还有其他具有s （f ）= b s （f ）的漂亮函数类s(f)=bs(f)s(f)=bs(f)s(f) = bs(f)？完整的表征将是理想的。如果我们进一步加强对s0(f)=bs0(f)s0(f)=bs0(f)s^0(f) = bs^0(f)和s1(f)=bs1(f)s1(f)=bs1(f)s^1(f) = bs^1(f)怎么办？ 这个问题的动机仅仅是让人们对灵敏度与块灵敏度的关系有一些直觉。 定义 让f:{0,1}n→{0,1}f:{0,1}n→{0,1}f:\{0,1\}^n\rightarrow \{0,1\}是对一个布尔函数nnn比特字。对于x∈{0,1}nx∈{0,1}nx \in \{0,1\}^n和A⊆{0,1,…,n}A⊆{0,1,…,n}A \subseteq \{0,1,\ldots,n\}，让xAxAx^A表示nnn从获得的比特字xxx通过翻转由指定的比特AAA。如果A={i}A={i}A = \{i\}，我们将简单地表示这是xixix^i。 我们将f在x处的灵敏度fffxxx定义为s(f,x)=#{i|f(xi)≠f(x)}s(f,x)=#{i|f(xi)≠f(x)}s(f,x) = \# \{ i | f(x^i) \neq f(x)\}。换句话说，xxx的位数可以翻转以翻转fff的输出。我们定义灵敏度的fff为s(f)=maxxs(f,x)s(f)=maxxs(f,x)s(f) = \text{max}_x s(f,x)。 我们定义的块灵敏度fff在xxx（表示为bs(f,x)bs(f,x)bs(f,x)）为最大kkk使得存在不相交的子集B1,B2,…,BkB1,B2,…,BkB_1, B_2, \ldots, B_k的{1,2,…,n}{1,2,…,n}\{1,2,\ldots, n\}这样该f(xBi)≠f(x)f(xBi)≠f(x)f(x^{B_i}) \neq f(x)。我们定义块灵敏度的fff asbs(f)=maxxbs(f,x)bs(f)=maxxbs(f,x)bs(f) …
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在我们知道BPP在于P / poly之后，BPP与P是否是一个真正的问题？
我们知道（大约40年，感谢Adleman，Bennet和Gill）包容性BPP ＆SubsetEqual; ñ ñ⊆⊆\subseteq P / poly，甚至更强大的BPP / poly P / poly仍然成立。“ / poly”表示我们工作不均匀（每个输入长度单独的电路），而没有此“ / poly”的P表示我们对于所有可能的输入长度拥有一台图灵机，甚至比例如 =到下一个“大爆炸”的秒数。⊆⊆\subseteq nnnnnnnnn 问题1：在知道BPP P / poly 后，BPP = P的证明（或反证明）对我们的知识有何贡献？ ⊆⊆\subseteq 在“新”下，我指的是任何真正令人惊讶的后果，例如其他复杂性类别的崩溃/分离。将此与NP P / poly 的证明/取消证明所带来的后果进行比较。 ⊆⊆\subseteq [增加了2017年8月10日]：有一个人惊人的结果BPP P将是，如图Impagliazzo和Wigderson， 所有的问题（！） é = DTIME将有大小为。感谢Ryan召回此结果。⊈⊈\not\subseteq [2O(n)][2O(n)][2^{O(n)}]2o(n)2o(n)2^{o(n)} 问题2：为什么我们不能 沿着与BPP / poly P / poly 的证明相似的方式证明 BPP = P？ …
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同时计算n个输入位的AND和OR所需的二进制门数
同时计算输入位的AND和OR所需的最小数量的二进制门是多少？微小的上限是。我认为这是最佳选择，但是如何证明这一点呢？标准选通消除技术在这里不起作用，因为通过为任何输入变量分配一个常量可以使输出之一微不足道。2 n − 2nnn2n−22n−22n-2 该问题在Ingo Wegener的“布尔函数的复杂性”一书中以练习5.12的形式给出了稍有不同的形式：“让。通过消除方法，人们只能证明大小为下界。请尝试证明更大的下界。” Ñ + Ω （1 ）fn(x)=x1…xn∨x¯1…x¯nfn(x)=x1…xn∨x¯1…x¯nf_n(x) = x_1\dots x_n \lor \bar{x}_1 \dots \bar{x}_nn+Ω(1)n+Ω(1)n+\Omega(1)
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更统一的概念？
我一直不知道的一个差距是在非统一和统一计算复杂度之间，其中电路复杂度代表非统一版本，而图灵机则是事物是统一的。我认为“统一”是一种限制算法类型的方法，例如，与n + 1个变量的问题相比，对于具有n个变量的问题，不允许完全不同的电路。 我的问题是：1）仅仅在电路方面就均匀性进行了描述，2）是否有可能提供更强大的均匀性形式，从而对有效的（或约束的）算法给出更严格的概念。 P是？ 后期澄清：我在问题2中的意图是关于一种受限的算法，“实际上”具有与多项式算法相同的功效。
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哪些
尼尔·伊默曼（Neil Immerman）着名的《世界图片》如下（点击放大）： 他的“完全可行”课程不包括其他课程。我的问题是： 什么是AC 0问题，被认为是不切实际的，为什么？
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多深度和对数深度量子电路之间的口分离
在Aaronson列出的量子计算理论十大半挑战中，出现了以下问题。 被B Q P = B P PB Q N CBQP=BPP乙问ñC\mathsf{BQP}=\mathsf{BPP}^{\mathsf{BQNC}}换句话说，可以任何量子算法的“量子”部分被压缩至深度，提供我们”愿意做多项式时间经典后处理吗？（众所周知，这对于Shor的算法是正确的。）如果是这样，构建通用量子计算机将比通常认为的容易得多！顺便说一句，在 和之间进行oracle分隔并不难，但问题是是否存在任何具体的函数“实例化”这样的oracle。p ø 升ý 升ø 克（Ñ）pØ升ÿ升ØG（ñ）\mathrm{polylog}(n)乙Q P乙问P\mathsf{BQP}乙P PB Q N C乙PP乙问ñC\mathsf{BPP}^{\mathsf{BQNC}} 据推测由乔沙该问题的答案是量子计算“的'基于测量的模型是：其中局部测量，自适应局部门和高效的经典后处理是允许又见此相关的职位。 问题。我想知道此类之间当前已知的口头分离（或者至少是亚伦森所指的预言分离）。
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动态编程永不比贪婪弱吗？
在电路复杂度方面，我们将各种电路模型的电源分开。 在证明复杂性方面，我们将各种证明系统的能力进行了分隔。 但是在算法上，我们在算法范式的能力之间仍然只有很少的分离。 我下面的问题旨在用两个范式解决后一个问题：贪婪和动态编程。 我们有一套基础要素，并声明了一些子集家族是可行的解决方案。我们假设这个家庭是向下封闭的：可行解的子集是可行的。给定非负权重给地面要素，问题在于计算可行解的最大总权重。 贪心算法从一个空的部分解开始，并且在每个步骤中，如果可能，即如果扩展解仍然可行，则添加一个尚未处理的最大权重元素。著名的Rado-Edmonds定理指出，如果可行解家族是拟阵，该算法将为所有输入加权找到最佳解。 粗略地说，如果DP算法仅使用Max和Sum（或Min and Sum）运算，则它很简单。更具体地说（如约书亚所建议），通过一个简单的DP算法，我将表示一个具有fanin-2 Max和Sum门的（max，+）电路。输入是变量，变量的第iii个对应于赋予第i一世i个元素的权重。这样的电路可以通过仅计算可行解决方案的最大总重量来解决任何此类问题。但是，如果我们有成倍的此类解决方案（几乎总是如此），这可能是一个巨大的过高。 问题1： 是否有拟阵，在其上任何简单的DP算法都需要超多项式运算才能解决相应的最大化问题？ 评论（2015年12月24日添加）：已经回答了这个问题（请参阅下文）：即使在绝大多数国家中也存在这样的拟阵。 下一个问题要求将Greedy和简单DP分开以解决近似问题。在最大权重匹配问题中，可行解的族由完整的二分n × nñ×ñn\times n图中的所有匹配组成。对于给定的边缘权重分配，目标是计算匹配的最大权重（由于权重非负，因此这将始终是完美匹配）。 简单的贪心算法可以在因子2内近似此问题：只是始终取最大重量尚未出现的不相交边缘。所获得的重量将至少是最佳重量的一半。 问题2： 简单的DP算法是否可以仅使用多项式的Max和Sum运算来近似2因子内的Max-Weight匹配问题？ 当然，输出倍于边缘的最大权重的平凡DP算法可以在系数n内近似该问题。但是我们想要一个更小的因素。我猜想即使是因子n / log n也无法实现，但是，再次：如何证明这一点？ ññnññnn /日志ññ/日志⁡ñn/\log n 相关：最大重量匹配的一个表亲是分配问题：找到完美匹配的最小权重。仅使用运算即可通过线性编程（所谓的匈牙利算法）解决（甚至完全解决）此问题。但较低的Razborov对单调布尔电路的计算永久功能的大小必然意味着（不太直接），任何（分钟，+）电路的任何（！）有限因子必须使用内逼近这个问题ñ Ω （日志ñ ）业务。因此，为了最小化O(n3)O(n3)O(n^3)nΩ(logn)nΩ(log⁡n）n^{\Omega(\log n)}问题，简单的DP算法可能比线性编程要弱得多。我上面的问题旨在表明，这种DP算法可能比Greedy还要弱。 有人看到有人正在考虑类似的问题吗？ 已添加（2015年12月24日）：问题2旨在显示一个特定的最大化问题（最大权重匹配问题）可以通过贪婪算法以来近似，而不能用一个简单的多边形来近似具有相同因子r的 DP 。同时，我获得了贪婪和简单DP之间的较弱分离：对于每个r = o （n / log n ），都有一个显式的最大化问题，可以通过贪婪算法以因子r近似，但是没有多尺寸的简单DP算法可以用更小的近似值r = 2[R=2r=2[R[Rrr = o （n /对数n ）[R=Ø（ñ/日志⁡ñ）r=o(n/\log …
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使用XOR门的最小电路尺寸
假设我们得到了一组n个布尔变量x_1，...，x_n和一组m个函数y_1 ... y_m，其中每个y_i是这些变量（给定）子集的XOR。目标是计算要计算所有这些y_1 ... y_m函数所需执行的XOR运算的最小数量。 请注意，XOR运算的结果（例如x_1 XOR x_2）可用于多个y_j的计算，但被计为1。另外，请注意，为了更有效地计算y_i，计算x_i的更大集合（比任何y_i函数大，例如，计算所有x_i的XOR）可能对XOR有用， 等效地，假设我们有一个二进制矩阵A和一个向量X，目标是计算向量Y使得AX = Y，其中在GF（2）中使用最小数量的运算完成所有运算。 即使当A的每一行都恰好有k个（例如k = 3）时，也很有趣。有人知道这个问题的复杂性（近似难度）吗？ 穆罕默德（Mohammad Salavatiopur）
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任何难于计数但易于确定的多项式？
每个单调算术电路，即电路，都会计算一些具有非负整数系数的多元多项式F （x 1，… ，x n）。给定多项式 ，电路{+,×}{+,×}\{+,\times\}F(x1,…,xn)F(x1,…,xn)F(x_1,\ldots,x_n)f(x1,…,xn)f(x1,…,xn)f(x_1,\ldots,x_n) 如果对于所有都成立，则计算； fffF(a)=f(a)F(a)=f(a)F(a)=f(a)a∈Nna∈Nna\in \mathbb{N}^n 如果对于所有成立，则计算； fffF(a)=f(a)F(a)=f(a)F(a)=f(a)a∈{0,1}na∈{0,1}na\in\{0,1\}^n 对于所有当成立 时，确定是否恰好满足。 fffF(a)>0F(a)>0F(a)>0f(a)>0f(a)>0f(a)>0a∈{0,1}na∈{0,1}na\in\{0,1\}^n 我知道显式多项式（甚至是多线性的）表明电路大小的间隙“计算/计数”可以是指数的。我的问题涉及“计数/决定”的差距。fff 问题1：是否有人知道多项式计算比由{ + ，× }-回路决定的指数难计算？ fff{+,×}{+,×}\{+,\times\} 作为一个可能的候选者，人们可以采取的路径多项式其变量对应于完整图的边上{ 1 ，... ，Ñ }，并且每个单项对应于简单的路径从节点1到节点ñ在ķ Ñ。该多项式可以决定通过尺寸的电路ø （Ñ 3）实施，也就是说，贝尔曼-福特动态规划算法，它是相对容易证明，每{ + ，× } -电路计算KnKnK_n{1,…,n}{1,…,n}\{1,\ldots,n\}111nnnKnKnK_nO(n3)O(n3)O(n^3){+,×}{+,×}\{+,\times\}PATH必须有大小。 2Ω(n)2Ω(n)2^{\Omega(n)} 在另一方面，每个电路计数 PATH解决 PATH问题，即，计数的数目1 -到- ñ路径在由对应的指定的0 - 1的输入子图ķ Ñ。这就是所谓的＃ P -完全问题。因此，我们所有人都“相信” PATH不能具有多项式大小的任何计数{ + ，× }-电路。“唯一”的问题是证明这一点... ##\#111nnn000111KnKnK_n##\#{+,×}{+,×}\{+,\times\} 我可以证明，计算相关汉密尔顿路径多项式HP的每个电路都需要指数大小。该多项式对应的单项式1 -到- …
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确实
如果我们定义P P A DPPAD{\bf PPAD}，从而用对数图灵机或A C 0AC0{\bf AC^0}电路代替多时图灵机/多尺寸电路对问题进行编码，会发生什么？ 最近给予更快的算法电路可满足对小型电路竟然是重要的，所以我不知道会发生什么的rectricted版本P P 一dPPAD{\bf PPAD}。
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完整二进制基础上一次读取式的表征
背景 一组门（也称为基础）上的一次读取公式是每个输入变量出现一次的公式。通常在De Morgan基础（具有2位门AND和OR，以及1位门NOT）和全二进制基础（具有所有2位门）的基础上研究一次读取公式。 因此，例如，2位的AND可以在任何一个基础上写为一次读取公式，但2位的奇偶校验不能在De Morgan基础上写为一次读取公式。 可以在De Morgan基础上作为一次写入公式编写的所有函数的集合具有组合特征。参见，例如，M.Karchmer，N.Linial，I.Newman，M.Saks，A.Wigderson 的一次式的组合表征。 题 是否可以通过一次读取公式在完整的二进制基础上计算的函数集进行替换表征？ 较简单的问题（在v2中添加） 尽管我仍然对原始问题的答案感兴趣，但是由于没有收到任何答案，我想我会问一个更简单的问题：在整个二进制基础上，哪些下限技术可用于公式？（除了我在下面列出的那些。） 请注意，现在我正在尝试降低公式大小的下限（=叶数）。对于一次读取的公式，我们的公式大小=输入数量。因此，如果您可以证明函数需要大小严格大于n的公式，那么这也意味着该函数不能表示为一次读取的公式。 我知道以下技术（以及Boolean Function Complexity：Stasys Jukna的Advances and Frontiers中的每种技术的参考）： Nechiporuk的通用函数方法（第6.2节）：显示特定函数的大小下限。但是，这无法帮助您找到您可能感兴趣的特定功能的下限。ñ2 − o （1 ）ñ2-Ø（1个）n^{2-o(1)} Nechiporuk定理使用子函数（第6.5节）：从某种意义上说，这是一种适当的下界技术，它将为您感兴趣的任何函数提供一个下界。例如，它表明在表示该函数的完整二进制基础上的任何公式元素唯一性函数的大小为。（这是该技术可以证明的最大下界-对于任何功能。）Ω （n2/日志n ）Ω（ñ2/日志⁡ñ）\Omega(n^2/\log n)
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以
订单维护问题（或“维护列表中的订单”）是为了支持以下操作： singleton：创建一个包含一个项目的列表，并返回指向它的指针 insertAfter：给定一个指向项目的指针，在其后插入一个新项目，并返回指向该新项目的指针 delete：给定指向项目的指针，将其从列表中删除 minPointer：给定两个指向同一列表中项目的指针，则返回更靠近列表前面的那个 我知道此问题的三种解决方案可以在摊销时间内执行所有操作。它们都使用乘法。O(1)O(1)O(1) Athanasios K. Tsakalidis：维护广义链表中的顺序 Dietz，P.，D. Sleator，两种用于维护列表顺序的算法 Michael A. Bender，Richard Cole，Erik D. Demaine，Martin Farach-Colton和Jack Zito，“维护列表中顺序的两种简化算法” 是否可以在摊销时间内以列表形式维护订单，而无需使用A C 0以外的任何算术运算？O(1)O(1)O(1)AC0AC0AC^0
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